15. Absolutna vrednost

Question 1

Definiraj absolutno vrednost realnega števila in razloži njen geometrijski pomen.

Answer 1

Absolutna vrednost realnega števila je enočlena operacija, ki pozitivna števila in število 0 ohranja, negativna števila pa spremeni v nasportna pozitivna števila. |a| grafično pomeni oddaljenost točke a od izhodišča številske premice

.

Question 2

Naštej vsaj štiri lastnosti absolutne vrednosti realnega števila in jih ponazori s primeri.

Answer 2

• |a| grafično pomeni oddaljenost točke a od izhodišča številske premice.
• |a| ≥ 0, |a| = 0 <==> a=0
• |-a| = |a| Nasprotni števili imata enako absolutno vrednost.
• |axb| = |a| x |b| Absolutna vrednost produkta je enaka produktu absolutnih vrednosti posameznih faktorjev.
• |a/b| = |a| / |b| Absolutna vrednost kvocienta je enaka kvocientu absolutnih vrednosti.
• |a+b| ≤ |a| + |b| Tikotniška neenakost.

Primeri:

2. lastnost: I3I = 3
3. lastnost: I-3I = 3
4. lastnost: I-3 ∙ 4I = I-12I = 12 ali I-3 ∙ 4I = I-3I ∙ I4I = 3 ∙ 4 = 12
5. lastnost: I3/4I = 3/4 ali I3/4I = I3I/I4I = 3/4
6. lastnost:

Leva stran: I-3+5I = I2I = 2

Desna stran: I-3+5I = I-3I + I5I = 3+5 = 8

Torej velja I-3+5I ≤ I-3I + I5I

Question 3

Dokaži, da za poljubni realni števili x in y velja Ix+yI ≤ IxI + IyI.

Answer 3

Ix+yI ≤ IxI + IyI

IxI + IyI - Ix+yI ≥ 0 Torej dokazati moramo, da je izraz I na desni strani vedno ≥ 0.Če sta x in y nenegativni števili, je nenegativna tudi njuna vsota:

IxI = x

IyI = y

Ix+yI = x+y

Velja: I = IxI + IyI - Ix+yI = x + y - (x+y) = x + y - x - y = 0

Če sta x in y negativni števili, je negativna tudi njuna vsota in velja:

IxI = -x

IyI = -y

Ix+yI = -(x+y)

Velja: I = IxI + IyI - Ix+yI = -x + (-y) + (x+y) = -x - y + x + y = 0

Če sta x in y nasprotno predznačeni števili, npr. naj bo x pozitivno število, y pa negativno število. Odvisno od predznaka vsote velja:Če je vsota x+y ≥ 0, potem velja:

I = x + (-y) - (x+y) = x - y - x - y = -2y > 0 (ker je y negativno število!)

Če je vsota x+y < 0, potem velja:

I = x + (-y) + (x+y) = x - y + x + y = 2x > 0 (ker je x pozitivno število!)

To je dokaz, da je izraz I za vse vrednosti x in y pozitiven ali enak nič.