maths, like whaaaaaaaaaaaaaaa?

Question 1

Propietats T-1, Distributiva

Answer 1

φ ∧ (ψ ∨ θ) ≡ (φ ∧ ψ) ∨ (φ ∧ θ)
φ ∨ (ψ ∧ θ) ≡ (φ ∨ ψ) ∧ (φ ∨ θ)

Question 2

Propietats T-1, De Morgan

Answer 2

¬(φ ∧ ψ) ≡ ¬φ ∨ ¬ψ
¬(φ ∨ ψ) ≡ ¬φ ∧ ¬ψ

Question 3

Propietats T-1, Absorció

Answer 3

φ ∧ (φ ∨ ψ) ≡ φ
φ ∨ (φ ∧ ψ) ≡ φ

Question 4

Propietats T-1, Idempotència

Answer 4

φ ∧ φ ≡ φ
φ ∨ φ ≡ φ

Question 5

Propietats T-1, Commutativa

Answer 5

φ ∧ ψ ≡ ψ ∧ φ
φ ∨ ψ ≡ ψ ∨ φ

Question 6

Propietats T-1, Associativa

Answer 6

φ ∧ (ψ ∧ θ) ≡ (φ ∧ ψ) ∧ θ
φ ∨ (ψ ∨ θ) ≡ (φ ∨ ψ) ∨ θ

Question 7

Propietats T-1, Neutre

Answer 7

φ ∧ 1 ≡ φ
φ ∨ 0 ≡ φ

Question 8

Propietats T-1, Element absorbent

Answer 8

φ ∨ 1 ≡ 1
φ ∧ 0 ≡ 0

Question 9

Propietats T-1, Complementari

Answer 9

φ ∨ ¬φ ≡ 1
φ ∧ ¬φ ≡ 0

Question 10

Propietats T-1, Doble negació

Answer 10

¬¬φ ≡ φ
¬1 ≡ 0
¬0 ≡ 1

Question 11

Traducció de la →

Answer 11

φ → ψ ≡ ¬φ ∨ ψ

Question 12

Traducció de la ↔

Answer 12

φ ↔ ψ ≡ (φ → ψ) ∧ (ψ → φ)

≡ (φ ∧ ψ) ∨ (¬φ ∧ ¬ψ)

Question 13

¬∀𝑥φ ≡

Answer 13

∃𝑥¬φ

Question 14

∀𝑥∀𝑦φ ≡

Answer 14

∀𝑦∀𝑥φ

Question 15

∃𝑥∃𝑦φ ≡

Answer 15

∃𝑦∃𝑥φ

Question 16

¬∃𝑥φ ≡

Answer 16

∀𝑥¬φ

Question 17

∀𝑥 (φ ∧ ψ) ≡

Answer 17

∀𝑥φ ∧ ∀𝑥ψ

Question 18

∃𝑥 (φ ∨ ψ) ≡

Answer 18

∃𝑥φ ∨ ∃𝑥ψ

Question 19

Demostració d’un existencial ∃𝑥𝑃(𝑥):

Answer 19

El mètode més senzill és donar un element 𝑎 del domini que tingui la propietat 𝑃. Un sol exemple és suficient.

Això mateix s’aplica a la demostració que un enunciat universal és fals, ja que ¬∀𝑥𝑃(𝑥) ≡ ∃𝑥¬𝑃(𝑥). La demostració de la falsedat de ∀𝑥𝑃(𝑥) es fa donant un element 𝑎 del domini que no tingui la propietat 𝑃; 𝑎 rep el nom de contraexemple.

Question 20

Demostració d’un universal ∀𝑥𝑃(𝑥):

Answer 20

Hem de veure que tots els elements del domini satisfan la propietat 𝑃. Si hi ha pocs elements, ho podem verificar un a un. Si n’hi ha molts o infinits no quedarà més remei que donar-ne una “demostració”. Una demostració és un raonament que segueix unes certes regles. Tot i que fer una demostració pot arribar a ser molt difícil, la comprovació que aquesta és correcte no hauria de ser-ho. Però això requereix que la demostració estigui ben escrita. A l’apartat següent explicarem com es fa això. El mateix s’aplica a la demostració que un existencial és fals.

Question 21

Tema 1.2 passos lògics

Answer 21

I. 𝐴 , 𝐵 ⇒ 𝐴
II. 𝐴 ⇒ 𝐴 𝑜 𝐵
III. 𝐴 𝑜 𝐵, 𝑛𝑜 𝐴 ⇒ 𝐵
IV. 𝐴 , 𝐴 ⇒ 𝐵 ⇒ 𝐵
V. 𝑛𝑜 𝐵 , 𝐴 ⇒ 𝐵 ⇒ 𝑛𝑜 𝐴
VI. 𝐴 ⇒ 𝐵 , 𝐵 ⇒ 𝐶 ⇒ 𝐴 ⇒ 𝐶
VII. 𝐴𝐵𝑆𝑈𝑅𝐷 ⇒ 𝐴

tautologies,
I. (𝑝 ∧ 𝑞) → 𝑝
II. 𝑝 → (𝑝 ∨ 𝑞)
III. ((𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬𝑝) → 𝑞
IV. (𝑝 ∧ (𝑝 → 𝑞)) → 𝑞
V. (¬𝑞 ∧ (𝑝 → 𝑞)) → ¬𝑝
VI. ((𝑝 → 𝑞) ∧ (𝑞 → 𝑟)) → (𝑝 → 𝑟)
VII. 0 → 𝑝

Question 22

Tema 1.2 passos no lògics

Answer 22

Passos no lògics: (aquí 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑… són números reals)
I. 𝑎 = 𝑏 ⇒ 𝐸(𝑎) = 𝐸(𝑏) (aquí 𝐸(𝑥) és una expressió on apareix 𝑥)
II. 𝑎 = 𝑏 , 𝑏 = 𝑐 ⇒ 𝑎 = 𝑐.
III. 𝑎 = 𝑏, 𝑎’ = 𝑏’ ⇒ 𝑎 + 𝑎’ = 𝑏 + 𝑏’, 𝑎𝑎’ = 𝑏𝑏’.
IV. 𝑎 ≤ 𝑏, 𝑏 ≤ 𝑎 ⇒ 𝑎 = 𝑏.
V. 𝑎 ≤ 𝑏 ⇒ − 𝑏 ≤− 𝑎.
VI. 𝑎 ≤ 𝑏 ⇒ 𝑎 + 𝑐 ≤ 𝑏 + 𝑐.
VII. 𝑎 ≤ 𝑏, 𝑐 ≤ 𝑑 ⇒ 𝑎 + 𝑐 ≤ 𝑏 + 𝑑.
VIII. 𝑎 ≤ 𝑏, 𝑐 ≥ 0 ⇒ 𝑎𝑐 ≤ 𝑏𝑐.
IX. 0 ≤ 𝑎 ≤ 𝑏, 0 ≤ 𝑐 ≤ 𝑑 ⇒ 𝑎𝑐 ≤ 𝑏𝑑.
X. Les propietats V,VI,VII,VIII i IX també valen amb < enlloc de ≤.

Question 23

llenguatge demostratiu

Answer 23

Question 24

Mètodes de demostració

Answer 24

Prova directa.
Prova pel contrarecíproc.
Reducció a l’absurd
Reducció a l’absurd II
Prova d’una disjunció
Disjunció al conseqüent
Disjunció a l’antecedent
Prova per casos
Demostració d’una equivalència
Demostració de la unicitat

Question 25

1.3 Passos no lògics, Propietats de la igualtat

Answer 25

1. 𝑎 = 𝑎 (reflexiva) 2. 𝑎 = 𝑏 ⇒ 𝑏 = 𝑎 (simètrica) 3. 𝑎 = 𝑏 , 𝑏 = 𝑐 ⇒ 𝑎 = 𝑐 (transitiva) 4. 𝑎 = 𝑏 ⇒ 𝐸(𝑎) = 𝐸(𝑏) (aquí 𝐸(𝑥) és una expressió on apareix 𝑥) 5. 𝑎 = 𝑏 ⇒ 𝑎 + 𝑐 = 𝑏 + 𝑐 6. 𝑎 = 𝑏 ⇒ 𝑎𝑐 = 𝑏𝑐 7. 𝑎 = 𝑏 ⇒ 𝑎 2 = 𝑏 2 8. 𝑎 = 𝑏, 𝑎' = 𝑏' ⇒ 𝑎 + 𝑎' = 𝑏 + 𝑏' 9. 𝑎 = 𝑏, 𝑎' = 𝑏' ⇒ 𝑎𝑎' = 𝑏𝑏'

Question 26

1.3 Passos no lògics, Propietats de la suma i el producte

Answer 26

1. 𝑎 + (𝑏 + 𝑐) = (𝑎 + 𝑏) + 𝑐 (Associativa de la suma) 2. 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎 (Commutativa de la suma) 3. 𝑎 + 0 = 𝑎 (0 és el neutre de la suma) 4. 𝑎 + (− 𝑎) = 0 (− 𝑎 és l’invers de 𝑎 per la suma) 5. 𝑎(𝑏𝑐) = (𝑎𝑏)𝑐 (Associativa del producte) 6. 𝑎𝑏 = 𝑏𝑎 (Commutativa del producte) 7. 𝑎1 = 𝑎 (1 és el neutre del producte) 8. 𝑎 ≠ 0 ⇒ 𝑎·(1/𝑎) = 1 (1/𝑎 és l’invers de 𝑎 pel producte) 9. 𝑎(𝑏 + 𝑐) = 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 (distributiva )

Question 27

1.3 Passos no lògics, Propietats de l’ordre

Answer 27

Question 28

1.3 Passos no lògics, Altres:

Answer 28

Question 29

Inducció simple

Answer 29

Question 30

Inducció completa

Answer 30

Question 31

Prova directa.

Answer 31

Question 32

Prova pel contrarecíproc.

Answer 32

Question 33

Reducció a l’absurd

Answer 33

Question 34

Reducció a l’absurd II

Answer 34

Question 35

Prova d’una disjunció

Answer 35

Question 36

Disjunció al conseqüent

Answer 36

Question 37

Disjunció a l’antecedent

Answer 37

Question 38

Prova per casos

Answer 38

Question 39

Demostració d’una equivalència

Answer 39

Question 40

Demostració de la unicitat

Answer 40

Question 41

Descripció d’un conjunt

Answer 41

Question 42

Igualtat entre conjunts (principi d’extensionalitat)

Answer 42

𝐴 = 𝐵 ⇔ ∀𝑥 (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵) 𝐴 = 𝐵 ⇔ 𝐴 ⊆ 𝐵, 𝐵 ⊆ A

Question 43

Conjunt buit

Answer 43

Ø = {} = {𝑥 | 𝑥 ≠ 𝑥}

Question 44

Inclusió entre conjunts

Answer 44

𝐴 ⊆ 𝐵 ⇔ ∀𝑥 (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵)

Question 45

propietats d'inclusió

Answer 45

I. Ø ⊆ 𝐴. II. 𝐴 ⊆ 𝐴. III. 𝐴 ⊆ 𝐵 i 𝐵 ⊆ 𝐶 implica 𝐴 ⊆ 𝐶.

Question 46

Unió

Answer 46

𝐴 ∪ 𝐵 = {𝑥 | 𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵} 𝑥 ∈ 𝐴 ∪ 𝐵 ⇔ 𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ B

Question 47

propietats unió

Answer 47

I. 𝐴 ∪ 𝐴 = 𝐴. II. 𝐴 ∪ Ø = 𝐴. III. 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐵 ∪ 𝐴. IV. 𝐴 ∪ (𝐵 ∪ 𝐶) = (𝐴 ∪ 𝐵) ∪ 𝐶. V. 𝐴 ⊆ 𝐴 ∪ 𝐵, 𝐵 ⊆ 𝐴 ∪ 𝐵. VI. 𝐴 ⊆ 𝐵 ⇔ 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐵. VII. 𝐴 ∪ 𝐵 ⊆ 𝐶 ⇔ 𝐴 ⊆ 𝐶 , 𝐵 ⊆ 𝐶 .

Question 48

Intersecció

Answer 48

𝐴 ∩ 𝐵 = {𝑥 | 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵} 𝑥 ∈ 𝐴 ∩ 𝐵 ⇔ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑖 𝑥 ∈ 𝐵 𝐴 i 𝐵 són disjunts ⇔ 𝐴 ∩ 𝐵 = Ø

Question 49

propietats intersecció

Answer 49

I. 𝐴 ∩ 𝐴 = 𝐴. II. 𝐴 ∩ Ø = Ø. III. 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐵 ∩ 𝐴. IV. 𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶) = (𝐴 ∩ 𝐵) ∩ 𝐶. V. 𝐴 ∩ 𝐵⊆ 𝐴, 𝐴 ∩ 𝐵⊆ 𝐵. VI. 𝐴 ⊆ 𝐵 ⇔ 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐴. VII. 𝐶 ⊆ 𝐴 ∩ 𝐵 ⇔ 𝐶 ⊆ 𝐴 i 𝐶 ⊆ 𝐵.

Question 50

Diferència

Answer 50

𝐴 − 𝐵 = {𝑥 | 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∉ 𝐵} 𝑥 ∈ 𝐴 − 𝐵 ⇔ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑖 𝑥 ∉ 𝐵

Question 51

propietats diferència

Answer 51

I. 𝐴 − 𝐴 = Ø II. 𝐴 − Ø = 𝐴 III. Ø − 𝐴 = Ø IV. 𝐴 − 𝐵⊆ 𝐴 V. (𝐴 − 𝐵) ∩ 𝐵 = Ø VI. 𝐴 ⊆ 𝐵 ⇔ 𝐴 − 𝐵 = Ø VII. 𝐶 ⊆ 𝐴 − 𝐵 ⇔ 𝐶 ⊆ 𝐴 , 𝐶 ∩ 𝐵 = Ø

Question 52

Altres propietats de conjunts

Answer 52

I. (distributiva) 𝐴 ∩ (𝐵 ∪ 𝐶) = (𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∩ 𝐶), 𝐴 ∪ (𝐵 ∩ 𝐶) = (𝐴 ∪ 𝐵) ∩ (𝐴 ∪ 𝐶) II. 𝐴 ∩ (𝐴 ∪ 𝐵) = 𝐴, 𝐴 ∪ (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐴 III. 𝐴 − (𝐵 ∪ 𝐶) = (𝐴 − 𝐵) ∩ (𝐴 − 𝐶) IV. 𝐴 ∪ 𝐵 = (𝐴 − 𝐵) ∪ (𝐵 − 𝐴) ∪ (𝐴 ∩ 𝐵) i la unió és disjunta (els conjunts (𝐴 − 𝐵), (𝐵 − 𝐴), (𝐴 ∩ 𝐵) són disjunts 2 a 2)

Question 53

Complementaris

Answer 53

𝐴^c= Ω − 𝐴 = { 𝑥 ∈ Ω | 𝑥 ∉ 𝐴 } 𝑥 ∈ 𝐴^c ⇔ 𝑥 ∈ Ω ∧ 𝑥 ∉ A

Question 54

propietats complementaris

Answer 54

Question 55

Parts d’un conjunt

Answer 55

𝑃(𝐴) = { 𝑥 | 𝑥 ⊆ 𝐴 } 𝑥 ∈ 𝑃(𝐴) ⇔ 𝑥 ⊆ A 𝑃( {1, 2, 3} ) = { Ø, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3} }

Question 56

Propietat de parts de conjunts

Answer 56

I. Ø ∈ 𝑃(𝐴). II. 𝐴 ∈ 𝑃(𝐴).

Question 57

Parella ordenada

Answer 57

(𝑎, 𝑏) = (𝑐, 𝑑) ⇔ 𝑎 = 𝑐 , 𝑏 = �

Question 58

Producte cartesià

Answer 58

𝐴 × 𝐵 = { 𝑥 | 𝑥 = (𝑎, 𝑏) 𝑝𝑒𝑟 𝑎 𝑢𝑛𝑠 𝑐𝑒𝑟𝑡𝑠 𝑎 ∈ 𝐴 𝑖 𝑏 ∈ 𝐵 } 𝐴 × 𝐵 = { (𝑎, 𝑏) | 𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐵 } {1, 2, 3, 4} × {𝑎, 𝑏} = { (1, 𝑎), (2, 𝑎), (3, 𝑎), (4, 𝑎), (1, 𝑏), (2, 𝑏), (3, 𝑏), (4, 𝑏) } 𝑥 ∈ 𝐴 × 𝐵 ⇔ 𝑥 = (𝑎, 𝑏) 𝑝𝑒𝑟 𝑎 𝑢𝑛𝑠 𝑐𝑒𝑟𝑡𝑠 𝑎 ∈ 𝐴 𝑖 𝑏 ∈ B (𝑎, 𝑏) ∈ 𝐴 × 𝐵 ⇔ 𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ B Notem que: |𝐴 × 𝐵| = |𝐴|·|𝐵|

Question 59

propietats producte cartesia

Answer 59

I. 𝐴 × Ø = Ø, Ø × 𝐴 = Ø. II. 𝐴 × (𝐵 ∩ 𝐶) = (𝐴 × 𝐵) ∩ (𝐴 × 𝐶). III. 𝐴 × (𝐵 ∪ 𝐶) = (𝐴 × 𝐵) ∪ (𝐴 × 𝐶). IV. 𝐴 × (𝐵 − 𝐶) = (𝐴 × 𝐵) − (𝐴 × 𝐶).

Question 60

Demostracions amb conjunts Demostració de la igualtat entre conjunts (1a. manera)

Answer 60

Volem veure: 𝐴 = 𝐵 Sigui x qualsevol: 𝑥 ∈ 𝐴 ⇔ ··· ⇔ ··· ⇔ 𝑥 ∈ 𝐵

Question 61

Demostracions amb conjunts Demostració d’una inclusió entre conjunts

Answer 61

Volem veure: 𝐴 ⊆ 𝐵 Sigui x qualsevol: 𝑥 ∈ 𝐴 ⇒ ··· ⇒ ··· ⇒ 𝑥 ∈ B

Question 62

Demostracions amb conjunts Demostració de la igualtat entre conjunts (2a. manera)

Answer 62

Volem veure: 𝐴 = 𝐵 Demostrem dues coses: 𝐴 ⊆ 𝐵, 𝐵 ⊆ A

Question 63

Demostracions amb conjunts Demostració que un conjunt és buit

Answer 63

Volem veure: 𝐴 = ∅ Per reducció a l’absurd: ∃𝑥 ∈ 𝐴 ⇒ ··· ⇒ ··· ⇒ 𝐴𝑏𝑠𝑢𝑟d Més generalment: Demostració on intervé que un conjunt és buit En aquest tipus de demostracions una bona estratègia és usar contrarecíproc o reducció a l’absurd per tal que la condició “ser buit” hi aparegui negada. Notem que: ● 𝐴 ≠ ∅ ⇔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 ● 𝐴⊈𝐵 ⇔ ∃𝑥 ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∉ 𝐵 ) ● 𝐴 ≠ 𝐵 ⇔ ∃𝑥 ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∉ 𝐵 ) ∨ ∃𝑥 ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∉ 𝐴 )

Question 64

RELACIONS binaries

Answer 64

Idea intuïtiva: una relació binària en un conjunt 𝐴 “relaciona” parelles d’elements de 𝐴. Cada parella d’elements de 𝐴 poden estar o no estar relacionats. Determinar la relació consisteix en indicar quines parelles estan relacionades i quines no. Siguin 𝑥, 𝑦ϵ𝐴. Si estan relacionats per la relació 𝑅 ho escriurem així: 𝑥𝑅𝑦 (si no, R tachada) Propietats importants que poden tenir les relacions: Reflexiva ∀𝑥ϵ𝐴 𝑥𝑅𝑥 Simètrica ∀𝑥, 𝑦ϵ𝐴 ( 𝑥𝑅𝑦 → 𝑦𝑅𝑥 ) Transitiva ∀𝑥, 𝑦, 𝑧ϵ𝐴 ( (𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧 ) Antisimètrica ∀𝑥, 𝑦ϵ𝐴 ( (𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑥) → 𝑥 = 𝑦 ) Una relació d’equivalència és una relació binària que és reflexiva, simètrica i transitiva

Question 65

Classes d’equivalència i conjunt quocient

Answer 65

-𝑎- = { 𝑥ϵ𝐴 | 𝑥𝑅𝑎 } 𝑥ϵ-𝑎- ⇔ 𝑥𝑅a El conjunt quocient , que denotem per 𝐴/𝑅, és el conjunt de totes les classes: 𝐴/𝑅 = { 𝑥 | 𝑥 = -𝑎- 𝑝𝑒𝑟 𝑎 𝑢𝑛 𝑐𝑒𝑟𝑡 𝑎ϵ𝐴 } = { -𝑎- | 𝑎ϵ𝐴 } Notem que: 1. Cada classe d’equivalència és un subconjunt del domini 𝐴. 2. El conjunt quocient 𝐴/𝑅 és un subconjunt de 𝑃(𝐴)

Question 66

Propietats que satisfà tota relació d’equivalència:

Answer 66

Question 67

PARTICIONS

Answer 67

La idea de partició és molt senzilla: tenim un conjunt 𝐴 i el trenquem (o repartim) en trossos. El conjunt format per aquestes 4 parts és una partició de 𝐴: { {𝑏, 𝑐}, {𝑑}, {𝑒, 𝑓, 𝑔, 𝑗}, {𝑎, ℎ, 𝑖} } Definició: Una partició 𝑃 de 𝐴 és un conjunt de subconjunts no buits de 𝐴, disjunts dos a dos i tal que la seva reunió és 𝐴.