maths, like whaaaaaaaaaaaaaaa? Flashcards

Question 1

Q

Propietats T-1, Distributiva

Answer

A

φ ∧ (ψ ∨ θ) ≡ (φ ∧ ψ) ∨ (φ ∧ θ)
φ ∨ (ψ ∧ θ) ≡ (φ ∨ ψ) ∧ (φ ∨ θ)

Question 2

Q

Propietats T-1, De Morgan

Answer

A

¬(φ ∧ ψ) ≡ ¬φ ∨ ¬ψ
¬(φ ∨ ψ) ≡ ¬φ ∧ ¬ψ

Question 3

Q

Propietats T-1, Absorció

Answer

A

φ ∧ (φ ∨ ψ) ≡ φ
φ ∨ (φ ∧ ψ) ≡ φ

Question 4

Q

Propietats T-1, Idempotència

Answer

A

φ ∧ φ ≡ φ
φ ∨ φ ≡ φ

Question 5

Q

Propietats T-1, Commutativa

Answer

A

φ ∧ ψ ≡ ψ ∧ φ
φ ∨ ψ ≡ ψ ∨ φ

Question 6

Q

Propietats T-1, Associativa

Answer

A

φ ∧ (ψ ∧ θ) ≡ (φ ∧ ψ) ∧ θ
φ ∨ (ψ ∨ θ) ≡ (φ ∨ ψ) ∨ θ

Question 7

Q

Propietats T-1, Neutre

Answer

A

φ ∧ 1 ≡ φ
φ ∨ 0 ≡ φ

Question 8

Q

Propietats T-1, Element absorbent

Answer

A

φ ∨ 1 ≡ 1
φ ∧ 0 ≡ 0

Question 9

Q

Propietats T-1, Complementari

Answer

A

φ ∨ ¬φ ≡ 1
φ ∧ ¬φ ≡ 0

Question 10

Q

Propietats T-1, Doble negació

Answer

A

¬¬φ ≡ φ
¬1 ≡ 0
¬0 ≡ 1

Question 11

Q

Traducció de la →

Answer

A

φ → ψ ≡ ¬φ ∨ ψ

Question 12

Q

Traducció de la ↔

Answer

A

φ ↔ ψ ≡ (φ → ψ) ∧ (ψ → φ)

≡ (φ ∧ ψ) ∨ (¬φ ∧ ¬ψ)

Question 13

Q

¬∀𝑥φ ≡

Answer

A

∃𝑥¬φ

Question 14

Q

∀𝑥∀𝑦φ ≡

Answer

A

∀𝑦∀𝑥φ

Question 15

Q

∃𝑥∃𝑦φ ≡

Answer

A

∃𝑦∃𝑥φ

Question 16

Q

¬∃𝑥φ ≡

Answer

A

∀𝑥¬φ

Question 17

Q

∀𝑥 (φ ∧ ψ) ≡

Answer

A

∀𝑥φ ∧ ∀𝑥ψ

Question 18

Q

∃𝑥 (φ ∨ ψ) ≡

Answer

A

∃𝑥φ ∨ ∃𝑥ψ

Question 19

Q

Demostració d’un existencial ∃𝑥𝑃(𝑥):

Answer

A

El mètode més senzill és donar un element 𝑎 del domini que tingui la propietat 𝑃. Un sol exemple és suficient.

Això mateix s’aplica a la demostració que un enunciat universal és fals, ja que ¬∀𝑥𝑃(𝑥) ≡ ∃𝑥¬𝑃(𝑥). La demostració de la falsedat de ∀𝑥𝑃(𝑥) es fa donant un element 𝑎 del domini que no tingui la propietat 𝑃; 𝑎 rep el nom de contraexemple.

Question 20

Q

Demostració d’un universal ∀𝑥𝑃(𝑥):

Answer

A

Hem de veure que tots els elements del domini satisfan la propietat 𝑃. Si hi ha pocs elements, ho podem verificar un a un. Si n’hi ha molts o infinits no quedarà més remei que donar-ne una “demostració”. Una demostració és un raonament que segueix unes certes regles. Tot i que fer una demostració pot arribar a ser molt difícil, la comprovació que aquesta és correcte no hauria de ser-ho. Però això requereix que la demostració estigui ben escrita. A l’apartat següent explicarem com es fa això. El mateix s’aplica a la demostració que un existencial és fals.

Question 21

Q

Tema 1.2 passos lògics

Answer

A

I. 𝐴 , 𝐵 ⇒ 𝐴
II. 𝐴 ⇒ 𝐴 𝑜 𝐵
III. 𝐴 𝑜 𝐵, 𝑛𝑜 𝐴 ⇒ 𝐵
IV. 𝐴 , 𝐴 ⇒ 𝐵 ⇒ 𝐵
V. 𝑛𝑜 𝐵 , 𝐴 ⇒ 𝐵 ⇒ 𝑛𝑜 𝐴
VI. 𝐴 ⇒ 𝐵 , 𝐵 ⇒ 𝐶 ⇒ 𝐴 ⇒ 𝐶
VII. 𝐴𝐵𝑆𝑈𝑅𝐷 ⇒ 𝐴

tautologies,
I. (𝑝 ∧ 𝑞) → 𝑝
II. 𝑝 → (𝑝 ∨ 𝑞)
III. ((𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬𝑝) → 𝑞
IV. (𝑝 ∧ (𝑝 → 𝑞)) → 𝑞
V. (¬𝑞 ∧ (𝑝 → 𝑞)) → ¬𝑝
VI. ((𝑝 → 𝑞) ∧ (𝑞 → 𝑟)) → (𝑝 → 𝑟)
VII. 0 → 𝑝

Question 22

Q

Tema 1.2 passos no lògics

Answer

A

Passos no lògics: (aquí 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑… són números reals)
I. 𝑎 = 𝑏 ⇒ 𝐸(𝑎) = 𝐸(𝑏) (aquí 𝐸(𝑥) és una expressió on apareix 𝑥)
II. 𝑎 = 𝑏 , 𝑏 = 𝑐 ⇒ 𝑎 = 𝑐.
III. 𝑎 = 𝑏, 𝑎’ = 𝑏’ ⇒ 𝑎 + 𝑎’ = 𝑏 + 𝑏’, 𝑎𝑎’ = 𝑏𝑏’.
IV. 𝑎 ≤ 𝑏, 𝑏 ≤ 𝑎 ⇒ 𝑎 = 𝑏.
V. 𝑎 ≤ 𝑏 ⇒ − 𝑏 ≤− 𝑎.
VI. 𝑎 ≤ 𝑏 ⇒ 𝑎 + 𝑐 ≤ 𝑏 + 𝑐.
VII. 𝑎 ≤ 𝑏, 𝑐 ≤ 𝑑 ⇒ 𝑎 + 𝑐 ≤ 𝑏 + 𝑑.
VIII. 𝑎 ≤ 𝑏, 𝑐 ≥ 0 ⇒ 𝑎𝑐 ≤ 𝑏𝑐.
IX. 0 ≤ 𝑎 ≤ 𝑏, 0 ≤ 𝑐 ≤ 𝑑 ⇒ 𝑎𝑐 ≤ 𝑏𝑑.
X. Les propietats V,VI,VII,VIII i IX també valen amb < enlloc de ≤.

Question 23

Q

llenguatge demostratiu

Question 24

Q

Mètodes de demostració

Answer

A

Prova directa.
Prova pel contrarecíproc.
Reducció a l’absurd
Reducció a l’absurd II
Prova d’una disjunció
Disjunció al conseqüent
Disjunció a l’antecedent
Prova per casos
Demostració d’una equivalència
Demostració de la unicitat

Question 25

Q

1.3 Passos no lògics, Propietats de la igualtat

Answer

A

𝑎 = 𝑎 (reflexiva)
𝑎 = 𝑏 ⇒ 𝑏 = 𝑎 (simètrica)
𝑎 = 𝑏 , 𝑏 = 𝑐 ⇒ 𝑎 = 𝑐 (transitiva)
𝑎 = 𝑏 ⇒ 𝐸(𝑎) = 𝐸(𝑏) (aquí 𝐸(𝑥) és una expressió on apareix 𝑥)
𝑎 = 𝑏 ⇒ 𝑎 + 𝑐 = 𝑏 + 𝑐
𝑎 = 𝑏 ⇒ 𝑎𝑐 = 𝑏𝑐
𝑎 = 𝑏 ⇒ 𝑎
2 = 𝑏
2
𝑎 = 𝑏, 𝑎’ = 𝑏’ ⇒ 𝑎 + 𝑎’ = 𝑏 + 𝑏’
𝑎 = 𝑏, 𝑎’ = 𝑏’ ⇒ 𝑎𝑎’ = 𝑏𝑏’

Question 26

Q

1.3 Passos no lògics, Propietats de la suma i el producte

Answer

A

𝑎 + (𝑏 + 𝑐) = (𝑎 + 𝑏) + 𝑐 (Associativa de la suma)
𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎 (Commutativa de la suma)
𝑎 + 0 = 𝑎 (0 és el neutre de la suma)
𝑎 + (− 𝑎) = 0 (− 𝑎 és l’invers de 𝑎 per la suma)
𝑎(𝑏𝑐) = (𝑎𝑏)𝑐 (Associativa del producte)
𝑎𝑏 = 𝑏𝑎 (Commutativa del producte)
𝑎1 = 𝑎 (1 és el neutre del producte)
𝑎 ≠ 0 ⇒ 𝑎·(1/𝑎) = 1 (1/𝑎 és l’invers de 𝑎 pel producte)
𝑎(𝑏 + 𝑐) = 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 (distributiva )

Question 27

Q

1.3 Passos no lògics, Propietats de l’ordre

Question 28

Q

1.3 Passos no lògics, Altres:

Question 29

Q

Inducció simple

Question 30

Q

Inducció completa

Question 31

Q

Prova directa.

Question 32

Q

Prova pel contrarecíproc.

Question 33

Q

Reducció a l’absurd

Question 34

Q

Reducció a l’absurd II

Question 35

Q

Prova d’una disjunció

Question 36

Q

Disjunció al conseqüent

Question 37

Q

Disjunció a l’antecedent

Question 38

Q

Prova per casos

Question 39

Q

Demostració d’una equivalència

Question 40

Q

Demostració de la unicitat

Question 41

Q

Descripció d’un conjunt

Question 42

Q

Igualtat entre conjunts (principi d’extensionalitat)

Answer

A

𝐴 = 𝐵 ⇔ ∀𝑥 (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵)
𝐴 = 𝐵 ⇔ 𝐴 ⊆ 𝐵, 𝐵 ⊆ A

Question 43

Q

Conjunt buit

Answer

A

Ø = {} = {𝑥 | 𝑥 ≠ 𝑥}

Question 44

Q

Inclusió entre conjunts

Answer

A

𝐴 ⊆ 𝐵 ⇔ ∀𝑥 (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵)

Question 45

Q

propietats d’inclusió

Answer

A

I. Ø ⊆ 𝐴.
II. 𝐴 ⊆ 𝐴.
III. 𝐴 ⊆ 𝐵 i 𝐵 ⊆ 𝐶 implica 𝐴 ⊆ 𝐶.

Question 46

Q

Unió

Answer

A

𝐴 ∪ 𝐵 = {𝑥 | 𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵}
𝑥 ∈ 𝐴 ∪ 𝐵 ⇔ 𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ B

Question 47

Q

propietats unió

Answer

A

I. 𝐴 ∪ 𝐴 = 𝐴.
II. 𝐴 ∪ Ø = 𝐴.
III. 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐵 ∪ 𝐴.
IV. 𝐴 ∪ (𝐵 ∪ 𝐶) = (𝐴 ∪ 𝐵) ∪ 𝐶.
V. 𝐴 ⊆ 𝐴 ∪ 𝐵, 𝐵 ⊆ 𝐴 ∪ 𝐵.
VI. 𝐴 ⊆ 𝐵 ⇔ 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐵.
VII. 𝐴 ∪ 𝐵 ⊆ 𝐶 ⇔ 𝐴 ⊆ 𝐶 , 𝐵 ⊆ 𝐶 .

Question 48

Q

Intersecció

Answer

A

𝐴 ∩ 𝐵 = {𝑥 | 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵}
𝑥 ∈ 𝐴 ∩ 𝐵 ⇔ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑖 𝑥 ∈ 𝐵

𝐴 i 𝐵 són disjunts ⇔ 𝐴 ∩ 𝐵 = Ø

Question 49

Q

propietats intersecció

Answer

A

I. 𝐴 ∩ 𝐴 = 𝐴.
II. 𝐴 ∩ Ø = Ø.
III. 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐵 ∩ 𝐴.
IV. 𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶) = (𝐴 ∩ 𝐵) ∩ 𝐶.
V. 𝐴 ∩ 𝐵⊆ 𝐴, 𝐴 ∩ 𝐵⊆ 𝐵.
VI. 𝐴 ⊆ 𝐵 ⇔ 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐴.
VII. 𝐶 ⊆ 𝐴 ∩ 𝐵 ⇔ 𝐶 ⊆ 𝐴 i 𝐶 ⊆ 𝐵.

Question 50

Q

Diferència

Answer

A

𝐴 − 𝐵 = {𝑥 | 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∉ 𝐵}
𝑥 ∈ 𝐴 − 𝐵 ⇔ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑖 𝑥 ∉ 𝐵

Question 51

Q

propietats diferència

Answer

A

I. 𝐴 − 𝐴 = Ø
II. 𝐴 − Ø = 𝐴
III. Ø − 𝐴 = Ø
IV. 𝐴 − 𝐵⊆ 𝐴
V. (𝐴 − 𝐵) ∩ 𝐵 = Ø
VI. 𝐴 ⊆ 𝐵 ⇔ 𝐴 − 𝐵 = Ø
VII. 𝐶 ⊆ 𝐴 − 𝐵 ⇔ 𝐶 ⊆ 𝐴 , 𝐶 ∩ 𝐵 = Ø

Question 52

Q

Altres propietats de conjunts

Answer

A

I. (distributiva)
𝐴 ∩ (𝐵 ∪ 𝐶) = (𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∩ 𝐶),
𝐴 ∪ (𝐵 ∩ 𝐶) = (𝐴 ∪ 𝐵) ∩ (𝐴 ∪ 𝐶)

II. 𝐴 ∩ (𝐴 ∪ 𝐵) = 𝐴, 𝐴 ∪ (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐴
III. 𝐴 − (𝐵 ∪ 𝐶) = (𝐴 − 𝐵) ∩ (𝐴 − 𝐶)
IV. 𝐴 ∪ 𝐵 = (𝐴 − 𝐵) ∪ (𝐵 − 𝐴) ∪ (𝐴 ∩ 𝐵) i la unió és disjunta (els conjunts
(𝐴 − 𝐵), (𝐵 − 𝐴), (𝐴 ∩ 𝐵) són disjunts 2 a 2)

Question 53

Q

Complementaris

Answer

A

𝐴^c= Ω − 𝐴 = { 𝑥 ∈ Ω | 𝑥 ∉ 𝐴 }
𝑥 ∈ 𝐴^c ⇔ 𝑥 ∈ Ω ∧ 𝑥 ∉ A

Question 54

Q

propietats complementaris

Question 55

Q

Parts d’un conjunt

Answer

A

𝑃(𝐴) = { 𝑥 | 𝑥 ⊆ 𝐴 }
𝑥 ∈ 𝑃(𝐴) ⇔ 𝑥 ⊆ A

𝑃( {1, 2, 3} ) = { Ø, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3} }

Question 56

Q

Propietat de parts de conjunts

Answer

A

I. Ø ∈ 𝑃(𝐴).
II. 𝐴 ∈ 𝑃(𝐴).

Question 57

Q

Parella ordenada

Answer

A

(𝑎, 𝑏) = (𝑐, 𝑑) ⇔ 𝑎 = 𝑐 , 𝑏 = �

Question 58

Q

Producte cartesià

Answer

A

𝐴 × 𝐵 = { 𝑥 | 𝑥 = (𝑎, 𝑏) 𝑝𝑒𝑟 𝑎 𝑢𝑛𝑠 𝑐𝑒𝑟𝑡𝑠 𝑎 ∈ 𝐴 𝑖 𝑏 ∈ 𝐵 }
𝐴 × 𝐵 = { (𝑎, 𝑏) | 𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐵 }

{1, 2, 3, 4} × {𝑎, 𝑏} = { (1, 𝑎), (2, 𝑎), (3, 𝑎), (4, 𝑎), (1, 𝑏), (2, 𝑏), (3, 𝑏), (4, 𝑏) }

𝑥 ∈ 𝐴 × 𝐵 ⇔ 𝑥 = (𝑎, 𝑏) 𝑝𝑒𝑟 𝑎 𝑢𝑛𝑠 𝑐𝑒𝑟𝑡𝑠 𝑎 ∈ 𝐴 𝑖 𝑏 ∈ B

(𝑎, 𝑏) ∈ 𝐴 × 𝐵 ⇔ 𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ B

Notem que: |𝐴 × 𝐵| = |𝐴|·|𝐵|

Question 59

Q

propietats producte cartesia

Answer

A

I. 𝐴 × Ø = Ø, Ø × 𝐴 = Ø.
II. 𝐴 × (𝐵 ∩ 𝐶) = (𝐴 × 𝐵) ∩ (𝐴 × 𝐶).
III. 𝐴 × (𝐵 ∪ 𝐶) = (𝐴 × 𝐵) ∪ (𝐴 × 𝐶).
IV. 𝐴 × (𝐵 − 𝐶) = (𝐴 × 𝐵) − (𝐴 × 𝐶).

Question 60

Q

Demostracions amb conjunts
Demostració de la igualtat entre conjunts (1a. manera)

Answer

A

Volem veure: 𝐴 = 𝐵

Sigui x qualsevol:
𝑥 ∈ 𝐴 ⇔ ··· ⇔ ··· ⇔ 𝑥 ∈ 𝐵

Question 61

Q

Demostracions amb conjunts
Demostració d’una inclusió entre conjunts

Answer

A

Volem veure: 𝐴 ⊆ 𝐵

Sigui x qualsevol:
𝑥 ∈ 𝐴 ⇒ ··· ⇒ ··· ⇒ 𝑥 ∈ B

Question 62

Q

Demostracions amb conjunts
Demostració de la igualtat entre conjunts (2a. manera)

Answer

A

Volem veure: 𝐴 = 𝐵

Demostrem dues coses: 𝐴 ⊆ 𝐵, 𝐵 ⊆ A

Question 63

Q

Demostracions amb conjunts
Demostració que un conjunt és buit

Answer

A

Volem veure: 𝐴 = ∅

Per reducció a l’absurd:
∃𝑥 ∈ 𝐴 ⇒ ··· ⇒ ··· ⇒ 𝐴𝑏𝑠𝑢𝑟d

Més generalment:
Demostració on intervé que un conjunt és buit
En aquest tipus de demostracions una bona estratègia és usar contrarecíproc o
reducció a l’absurd per tal que la condició “ser buit” hi aparegui negada.
Notem que:
● 𝐴 ≠ ∅ ⇔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴
● 𝐴⊈𝐵 ⇔ ∃𝑥 ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∉ 𝐵 )
● 𝐴 ≠ 𝐵 ⇔ ∃𝑥 ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∉ 𝐵 ) ∨ ∃𝑥 ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∉ 𝐴 )

Question 64

Q

RELACIONS binaries

Answer

A

Idea intuïtiva: una relació binària en un conjunt 𝐴 “relaciona” parelles d’elements de 𝐴. Cada parella d’elements de 𝐴 poden estar o no estar relacionats. Determinar la relació consisteix en indicar quines parelles estan relacionades i quines no.

Siguin 𝑥, 𝑦ϵ𝐴. Si estan relacionats per la relació 𝑅 ho escriurem així:
𝑥𝑅𝑦 (si no, R tachada)

Propietats importants que poden tenir les relacions:
Reflexiva ∀𝑥ϵ𝐴 𝑥𝑅𝑥
Simètrica ∀𝑥, 𝑦ϵ𝐴 ( 𝑥𝑅𝑦 → 𝑦𝑅𝑥 )
Transitiva ∀𝑥, 𝑦, 𝑧ϵ𝐴 ( (𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧 )
Antisimètrica ∀𝑥, 𝑦ϵ𝐴 ( (𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑥) → 𝑥 = 𝑦 )

Una relació d’equivalència és una relació binària que és reflexiva, simètrica i transitiva

Answer 48

A

-𝑎- = { 𝑥ϵ𝐴 | 𝑥𝑅𝑎 }

𝑥ϵ-𝑎- ⇔ 𝑥𝑅a

El conjunt quocient , que denotem per 𝐴/𝑅, és el conjunt de totes les classes:
𝐴/𝑅 = { 𝑥 | 𝑥 = -𝑎- 𝑝𝑒𝑟 𝑎 𝑢𝑛 𝑐𝑒𝑟𝑡 𝑎ϵ𝐴 } = { -𝑎- | 𝑎ϵ𝐴 }

Notem que:
1. Cada classe d’equivalència és un subconjunt del domini 𝐴.
2. El conjunt quocient 𝐴/𝑅 és un subconjunt de 𝑃(𝐴)

Answer 49

A

La idea de partició és molt senzilla: tenim un conjunt 𝐴 i el trenquem (o repartim) en trossos.

El conjunt format per aquestes 4 parts és una partició de 𝐴:
{ {𝑏, 𝑐}, {𝑑}, {𝑒, 𝑓, 𝑔, 𝑗}, {𝑎, ℎ, 𝑖} }

Definició:
Una partició 𝑃 de 𝐴 és un conjunt de subconjunts no buits de 𝐴,
disjunts dos a dos i tal que la seva reunió és 𝐴.

Brainscape's Knowledge GenomeTM

maths, like whaaaaaaaaaaaaaaa? Flashcards

Brainscape's Knowledge Genome^TM