Variables Aléatoires Flashcards
Définir une variable aléatoire, une variable aléatoire réelle
Que note-t-on (X€A), (X=x) et (X≤x) ?
Que signifie-t-il de dire qu’une variable aléatoire suit une loi de Bernoulli de paramètre p ?
Que signifie-t-il de dire qu’une variable aléatoire suit une loi Binomiale de paramètres n et p ?
Que signifie-t-il de dire qu’une variable aléatoire suit une loi uniforme ?
|E|*
Comment note-t-on deux variables qui ont la même loi ?
Comment composer X~Y ?
Dans quel cas, donc comment justifier, a-t-on une loi binomiale de paramètres n et p ?
Il faut vérifier que l’on effectue :
- n expériences identiques et indépendantes
- chaque expérience peut mener à un succès ou un échec
- on compte les succès
A quoi sert la loi binomiale ?
A compter le nombre de cas favorables, lorsque la probabilité de succès est inchangée
Définir la loi conditionnelle de X sachant A ⊂ Ω
Définir un couple de variable aléatoire
Définir la loi jointe d’un couple et sa loi marginale
Comment déterminer les lois marginales à partir de la loi du couple ?
Démontrer
Déterminer la loi de S
Définir l’indépendance de deux variables
Que vaut la loi du couple si les deux variables sont indépendantes ?
La loi du couple est le produit des lois marginales
Définir des variables aléatoires mutuellement indépendantes
Comment composer l’indépendance ?
Qu’est-ce que le lemme des coalitions ?
sont mutuellement indépendantes
A quelle condition la somme de n variables aléatoires suit-elle une loi binomiale de paramètres n et p ?
Définir l’espérance
Quand dit-on qu’une variable aléatoire est centrée ?
Si son espérance est nulle
Quelle est l’espérance d’une variable aléatoire X=a€R ?
IE[X] = a, logique car X renvoie toujours a
Quelle est l’espérance d’une variable X qui suit la loi de Bernoulli de variable p ?
IE[X] = p, logique car le résultat est entre 0 et 1 et en moyenne on aura p
Quelle est l’espérance d’une variable X qui est l’indicatrice d’un ensemble A ?
IE[X] = IP(A), ce qui est logique car on va être entre 0 et 1 et sur un grand nombre d’événements on aura en moyenne la probabilité de A qu’on obtienne un élément de A, donc 1
Quelle est l’espérance d’une variable X suivant la loi uniforme sur [|1,n|], avec n€IN* ?
IE[X] = (n+1)/2, ce qui est logique car on prend le milieu exact
Quelle est l’espérance d’une variable X suivant la loi binomiale de paramètres n et p ?
IE[X] = n×p, ce qui est logique car à chaque fois on aura p en moyenne et on l’aura fait en n fois
Quelle est l’espérance d’une variable X suivant la loi uniforme sur les racines n-ième de l’unité ?
IE[X] = { 0, si n≥2 • 1, si n=1 }, ce qui est logique car si n=1 il n’y a que 1, sinon on a une symétrie qui fait revenir à 0
Que sont les propriétés de linéarité, de positivité et de croissance de l’espérance ?
Qu’est-ce que le théorème de transfert ?
J’aime les zizis
Oui
Que peut-on dire de l’espérance du produit de deux variables aléatoires et à quelle condition ?
Définir la variance et l’écart-type
Qu’est-ce que la formule de Huggens ?
Démontrer la formule de Huygens
Que vaut la variance d’une variable aléatoire constante ?
0 (logique, varie pas et s’écarte pas)
Que vaut la variance d’une variable aléatoire qui suit une loi de Bernoulli de paramètre p ?
p.(1-p)
Que vaut la variance d’une variable aléatoire qui suit une loi Binomiale de paramètres n et p ?
n.p.(1-p)
Que vaut la variance d’une variable aléatoire qui suit une loi uniforme sur [|1,n|] ?
(n+1)(n-1)/12
Que vaut la variance de a.X + b ?
Justif
Quand dit-on qu’une variable aléatoire est centrée réduite et qu’appelle-t-on variable aléatoire réduite ?
Définir la covariance
Exprimer la variance en fonction de la covariance
V[X] = cov(X,X)
Exprimer cov(X,Y) grâce à l’espérance
Qu’est-ce que la propriété de symétrie de la covariance ?
cov(X,Y) = cov(Y,X)
Que peut-on dire de la linéarité de la covariance ?
Elle est bilinéaire
Que vaut cov(X,Y) si X et Y sont indépendants ?
cov(X,Y) = 0
Que signifie-t-il de dire que X et Y sont décorélées ?
cov(X,Y) = 0
Montrer la bilinéarité de la covariance
Déterminer la loi de Xi, son espérance et sa variance, pour i€[|1;n|]
Calculer cov(X1 + … + Xn ; Xi), sachant que V[Xi] = a × (1 - 1/n).
En déduire cov(Xi,Xj), pour i≠j et (i,j)€[|1,n|]²
Déterminer IE[Y]
Qu’est-ce que l’inégalité de Markov ?
Démo
Dans quel cas (X = x) = (f(X) = f(x)) ?
Si f est bijective
Dans quel cas (X ≥ x) = (f(X) ≥ f(x)) ?
Si f est croissante
Qu’est-ce que l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev ?
Que vaut max(p.(1-p)) ?
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