Variables Aléatoires

Question 1

Définir une variable aléatoire, une variable aléatoire réelle

Answer 1

Question 2

Que note-t-on (X€A), (X=x) et (X≤x) ?

Answer 2

Question 3

Que signifie-t-il de dire qu’une variable aléatoire suit une loi de Bernoulli de paramètre p ?

Answer 3

Question 4

Que signifie-t-il de dire qu’une variable aléatoire suit une loi Binomiale de paramètres n et p ?

Answer 4

Question 5

Que signifie-t-il de dire qu’une variable aléatoire suit une loi uniforme ?

Answer 5

|E|*

Question 6

Comment note-t-on deux variables qui ont la même loi ?

Answer 6

Question 7

Comment composer X~Y ?

Answer 7

Question 8

Dans quel cas, donc comment justifier, a-t-on une loi binomiale de paramètres n et p ?

Answer 8

Il faut vérifier que l’on effectue :

• n expériences identiques et indépendantes
• chaque expérience peut mener à un succès ou un échec
• on compte les succès

Question 9

A quoi sert la loi binomiale ?

Answer 9

A compter le nombre de cas favorables, lorsque la probabilité de succès est inchangée

Question 10

Answer 10

Question 11

Answer 11

Question 12

Définir la loi conditionnelle de X sachant A ⊂ Ω

Answer 12

Question 13

Définir un couple de variable aléatoire

Answer 13

Question 14

Définir la loi jointe d’un couple et sa loi marginale

Answer 14

Question 15

Comment déterminer les lois marginales à partir de la loi du couple ?

Answer 15

Question 16

Démontrer

Answer 16

Question 17

Déterminer la loi de S

Answer 17

Question 18

Définir l’indépendance de deux variables

Answer 18

Question 19

Que vaut la loi du couple si les deux variables sont indépendantes ?

Answer 19

La loi du couple est le produit des lois marginales

Question 20

Answer 20

Question 21

Définir des variables aléatoires mutuellement indépendantes

Answer 21

Question 22

Comment composer l’indépendance ?

Answer 22

Question 23

Qu’est-ce que le lemme des coalitions ?

Answer 23

sont mutuellement indépendantes

Question 24

A quelle condition la somme de n variables aléatoires suit-elle une loi binomiale de paramètres n et p ?

Answer 24

Question 25

Définir l’espérance

Answer 25

Question 26

Quand dit-on qu’une variable aléatoire est centrée ?

Answer 26

Si son espérance est nulle

Question 27

Quelle est l’espérance d’une variable aléatoire X=a€R ?

Answer 27

IE[X] = a, logique car X renvoie toujours a

Question 28

Quelle est l’espérance d’une variable X qui suit la loi de Bernoulli de variable p ?

Answer 28

IE[X] = p, logique car le résultat est entre 0 et 1 et en moyenne on aura p

Question 29

Quelle est l’espérance d’une variable X qui est l’indicatrice d’un ensemble A ?

Answer 29

IE[X] = IP(A), ce qui est logique car on va être entre 0 et 1 et sur un grand nombre d’événements on aura en moyenne la probabilité de A qu’on obtienne un élément de A, donc 1

Question 30

Quelle est l’espérance d’une variable X suivant la loi uniforme sur [|1,n|], avec n€IN* ?

Answer 30

IE[X] = (n+1)/2, ce qui est logique car on prend le milieu exact

Question 31

Quelle est l’espérance d’une variable X suivant la loi binomiale de paramètres n et p ?

Answer 31

IE[X] = n×p, ce qui est logique car à chaque fois on aura p en moyenne et on l’aura fait en n fois

Question 32

Quelle est l’espérance d’une variable X suivant la loi uniforme sur les racines n-ième de l’unité ?

Answer 32

IE[X] = { 0, si n≥2 • 1, si n=1 }, ce qui est logique car si n=1 il n’y a que 1, sinon on a une symétrie qui fait revenir à 0

Question 33

Que sont les propriétés de linéarité, de positivité et de croissance de l’espérance ?

Answer 33

Question 34

Qu’est-ce que le théorème de transfert ?

Answer 34

Question 35

J’aime les zizis

Answer 35

Oui

Question 36

Que peut-on dire de l’espérance du produit de deux variables aléatoires et à quelle condition ?

Answer 36

Question 37

Définir la variance et l’écart-type

Answer 37

Question 38

Qu’est-ce que la formule de Huggens ?

Answer 38

Question 39

Démontrer la formule de Huygens

Answer 39

Question 40

Que vaut la variance d’une variable aléatoire constante ?

Answer 40

0 (logique, varie pas et s’écarte pas)

Question 41

Que vaut la variance d’une variable aléatoire qui suit une loi de Bernoulli de paramètre p ?

Answer 41

p.(1-p)

Question 42

Que vaut la variance d’une variable aléatoire qui suit une loi Binomiale de paramètres n et p ?

Answer 42

n.p.(1-p)

Question 43

Que vaut la variance d’une variable aléatoire qui suit une loi uniforme sur [|1,n|] ?

Answer 43

(n+1)(n-1)/12

Question 44

Que vaut la variance de a.X + b ? Justif

Answer 44

Question 45

Quand dit-on qu’une variable aléatoire est centrée réduite et qu’appelle-t-on variable aléatoire réduite ?

Answer 45

Question 46

Définir la covariance

Answer 46

Question 47

Exprimer la variance en fonction de la covariance

Answer 47

V[X] = cov(X,X)

Question 48

Exprimer cov(X,Y) grâce à l’espérance

Answer 48

Question 49

Qu’est-ce que la propriété de symétrie de la covariance ?

Answer 49

cov(X,Y) = cov(Y,X)

Question 50

Que peut-on dire de la linéarité de la covariance ?

Answer 50

Elle est bilinéaire

Question 51

Que vaut cov(X,Y) si X et Y sont indépendants ?

Answer 51

cov(X,Y) = 0

Question 52

Que signifie-t-il de dire que X et Y sont décorélées ?

Answer 52

cov(X,Y) = 0

Question 53

Montrer la bilinéarité de la covariance

Answer 53

Question 54

Déterminer la loi de Xi, son espérance et sa variance, pour i€[|1;n|]

Answer 54

Question 55

Calculer cov(X1 + … + Xn ; Xi), sachant que V[Xi] = a × (1 - 1/n). En déduire cov(Xi,Xj), pour i≠j et (i,j)€[|1,n|]²

Answer 55

Question 56

Déterminer IE[Y]

Answer 56

Question 57

Qu’est-ce que l’inégalité de Markov ? Démo

Answer 57

Question 58

Dans quel cas (X = x) = (f(X) = f(x)) ?

Answer 58

Si f est bijective

Question 59

Dans quel cas (X ≥ x) = (f(X) ≥ f(x)) ?

Answer 59

Si f est croissante

Question 60

Qu’est-ce que l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev ?

Answer 60

Question 61

Que vaut max(p.(1-p)) ?

Answer 61

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