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Maths SUP > Polynômes > Flashcards

Polynômes Flashcards

1
Q

Que valent la somme et le produit de deux polynômes ?

A
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Q

Définir le degré d’un polynôme, et son coefficient dominant, quand dit-on qu’un polynôme est unitaire ?
Comment simplifier l’expression d’un polynôme en fonction de son degré ?

A
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3
Q

Qu’appelle-t-on polynôme dérivé ?

A
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4
Q

Que peut-on dire du degré de la somme de deux polynômes ?

A
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5
Q

Que peut-on dire du degré du produit de deux polynômes ?

A

deg(P×Q)=deg(P) + deg(Q)

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6
Q

Qu’est-ce qu’une égalité de polynômes ?

A
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7
Q

Que signifie P(X)=0 ?

A

Cela signifie que P est le polynôme nul

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8
Q

Que signifie P(x) = 0 ?

A

x est une racine du polynôme P

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9
Q

Démontrer le degré du produit de deux polynômes ?

A
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10
Q

Peut-on utiliser le binôme de Newton avec les polynômes ?

A

Oui

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11
Q

Comment traiter une équation polynômiale ?

A
  • Faire une analyse synthèse
  • En général, passer par le degré, le coefficient dominant ou les racines
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12
Q

Comment rédiger lorsqu’on nous demande un coefficient dominant, ou un degré ?

A

Il faut faire sortir le plus haut terme de la somme pour le mettre en évidence

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13
Q

Qu’est-ce que la dérivée de la somme de deux polynômes, la dérivée du produit de deux polynômes, la formule de Leibniz ?

A
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14
Q

Qu’est-ce que la racine d’une polynôme ?

A

Soit P€K[X], a€K, on dit que a est une racine de P ssi P(a) = 0

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15
Q

Que peut-on dire du conjugué d’une racine ? A quoi faut-il faire attention ?
Justif

A

C’est une racine également, lorsque tous les coefficients sont réels uniquement

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16
Q

Quand dit-on qu’un polynôme Q divise un polynôme P ?

A
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17
Q

Quel est le théorème qui lie racine d’un polynôme et divisibilité ?
Et son corollaire ?
Démos

A

a€K racine de P ⇔ (X-a)|P

Corollaire : (a1, …, an)€K^n racines de P ⇔ (X-a1)×…×(X-an)|P

Le sens indirect du corollaire se montre de la même manière. Le sens direct se montre par récurrence sur P.

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18
Q

Comment montrer qu’un polynôme en divise un autre en factorisant ?

A
  • On factorise le polynôme diviseur, en regardant ses racines
  • On vérifie que toutes ces racines sont également racines du polynôme divisé
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19
Q

Que peut-on dire du nombre de racines d’un polynôme en fonction de son degré ?
Justif

A

Le degré d’un polynôme non nul majore son nombre de racines distinctes

Soit z1, …, zp les racines distinctes de P,
Alors : (X-z1)×…×(X-zp)|P,
Donc par lemme, p ≤ deg(P)

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20
Q

Que peut-on dire du degré de Q et P si Q|P ?
Justif

A

deg(Q) ≤ deg(P)

Il existe R€K[X], R≠0, tel que : P = Q×R,
Donc, deg(P) = deg(Q) + deg(R) ≥ deg(Q)

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21
Q

Comment note-t-on l’ensemble des polynômes de degré inférieur à n€N ?

A
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22
Q

Qu’est-ce qu’un polynôme de Lagrange ?
Démontrer son existence et son unicité

A
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23
Q

Quelle est la méthode classique pour montrer une égalité de polynômes ?

A

On pose R la différence de ces deux polynômes, on montre que R admet plus de racines que son degré, donc R=0 et les deux polynômes sont égaux

24
Q

Comment faire passer un polynôme par un ensemble de complexes déterminés ? Que peut-on dire de ce polynôme et que vaut-il
Démo

A
25
Q

Qu’est-ce qu’une racine de multiplicité r€N* ?

A
26
Q

Qu’est-ce que la formule de Taylor ?

A

Pas racine enfaite

27
Q

Démontrer la formule de Taylor

A
  • Exprimer la dérivée k-ième de Q en a en fonction de k
  • Utiliser l’hypothèse de récurrence pour exprimer R en fonction de Q
  • Remplacer R dans l’expression de Q(X) - Q(a)
  • Effectuer un changement d’indice et reconnaître que Q(a) est le cas k=0
28
Q

Quel est le lien entre multiplicité de racine et dérivée ?

A
29
Q

Montrer le sens direct

A
30
Q

Montrer le sens indirect

A

Supposons …

31
Q

Quelle est la méthode générale pour montrer qu’un polynôme est constant ?

A

Raisonner par l’absurde et utiliser D’Alembert/Gauss

32
Q

Qu’est-ce qu’un polynôme scindé sur K[X] ?

A
33
Q

Qu’est-ce que le théorème de D’Alembert/Gauss et son corollaire ? Comment démontrer le corollaire ?

A
34
Q

Quelles sont les relations racines-coefficients ?

A

Enlever le - au début du Π

35
Q

Lorsque dans un exercice on a trouvé un certain nombre de racines sur un ensemble et qu’on veut montrer que ce sont les seules pour un ensemble plus grand, comment peut-on faire ?

A

On dit que le nombre de racines est majoré par le degré pour un polynôme non nul

36
Q

Comment réécrire le coefficient constant d’un polynôme P lorsqu’on ne le connaît pas ?

A

P(0)

37
Q

Comment utiliser les polynômes pour calculer un produit Π ou une somme Σ ?

A

On trouve un polynôme qui a pour racines l’ensemble des termes du produit et on utilise les relations coefficients-racines

38
Q

Qu’est-ce que le théorème de division euclidienne dans les polynômes ? Démo

A

Hérédité : n≥d-1

39
Q

Lorsqu’on cherche le reste de la division euclidienne d’un polynôme A par un polynôme B, comment procéder ?

A
  • On écrit A = Q × B + R, en mettant R sous sa forme avec les coefficients car on sait que son degré est inférieur à celui de B
  • On applique A aux racines de B, sous ses deux formes
  • On résout le système
40
Q

Comment montrer par récurrence qu’une propriété est vraie pour tout polynôme ?

A

Faire un récurrence sur le degré

41
Q

Lorsqu’on cherche à déterminer la multiplicité d’une racine a, quand utiliser la définition et quand utiliser la caractérisation différentielle ?

A
  • on utilise la définition de la multiplicité si on connaît explicitement la racine (divisions euclidiennes successives par X-a)
  • on utilise la caractérisation différentielle sinon
42
Q

Qu’est-ce qu’un polynôme réductible/irréductible ?

A
43
Q

Comment rédiger pour montrer qu’un polynôme donné de degré 2 est irréductible sur un ensemble ?

A
  • Déterminer ses racines (elles seront pas sur cet ensemble)
  • «Soit P€K[X] un diviseur de Polynôme, alors il existe Q€K[X] tel que polynôme=Q(X)×P(X)»
  • Traiter les cas de deg(P)=0 et deg(P)=2, alors P constant ou P multiple de polynôme
  • Si deg(P)=1, alors P est de la forme aX+b, donc P admet -b/a comme racine sur cet ensemble, donc Polynôme aussi, absurde
44
Q

Quels sont les polynômes irréductibles de C[X] ?
Justif

A

Les polynômes irréductibles de C[X] sont les polynômes de degré 1

45
Q

Quels sont les polynômes irréductibles de R[X] ?

A

Les polynômes irréductibles de R[X] sont les polynômes de degré 1 et les polynômes de degré 2 à discriminant strictement négatif

46
Q

Qu’est-ce que la décomposition en facteurs irréductibles dans C[X] ?

A
47
Q

Qu’est-ce que la décomposition en facteurs irréductibles dans R[X] ?

A
48
Q

Qu’est-ce que la décomposition en éléments simples ?

A

On peut «casser» une fraction polynomiale

49
Q

Quelles sont les étapes pour effectuer une décomposition en éléments simples en pratique ?

A
  1. Si deg(Q) ≥ deg(P), faire une division euclidienne de Q par P pour avoir A + R/P avec deg(R)<deg(P)
  2. Factoriser P
  3. Faire la décomposition en éléments simple formelle (sans déterminer les constantes)
  4. Déterminer les constantes
50
Q

Quelle est la méthode de base pour déterminer les constantes dans une décomposition en éléments simples ?

A

Tout remettre au même dénominateur puis identifier les coefficient et résoudre le système

51
Q

Qu’est-ce que la «technique multiplicative» qui permet de déterminer les constantes dans une décomposition en éléments simples ? Pour quelles constantes l’utiliser ?

A

A répéter pour chaque constante :

  1. On multiplie tout par le polynôme sous la constante
  2. On applique pour le X qui annule les autres

On utilise cette technique pour les constantes associées au plus haut degré de chacune des racines

52
Q

Qu’est-ce que la «technique de poser des X» qui permet de déterminer les constantes dans une décomposition en éléments simples ? Pour quelles constantes l’utiliser ?

A
  1. On pose X=nombre pratique et qui évite la division par 0, ce qui donne une première équation
  2. On pose autant de X différents que l’on cherche de constantes
  3. On résout le système

On utilise cette technique pour les constantes qui ne sont pas associées au plus haut degré de chacune des racines

53
Q

Si on tombe plusieurs fois sur la même équation lorsqu’on utilise la «technique de poser des X» pour déterminer les constantes d’une décomposition en éléments simples, on ne peut résoudre le système, comment doit-on faire ?

A

On doit poser un autre X pour avoir des équations différentes

54
Q

A quoi peuvent servir les relations coefficients-racines ?

A
  • A déterminer la dernière racine quand on a toutes les autres
  • A calculer des sommes ou des produits
55
Q

Quelle notation simple utiliser pour simplifier si on nous demande de déterminer un degré et un coefficient dominant ?

A

On pose p=deg(P) pour simplifier les calculs

56
Q

Que vaut le degré de la composée de polynômes ?

A

C’est le produit des degrés

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