Probabilités

Question 1

Définir un univers

Answer 1

L’univers, très souvent noté Ω est l’ensemble des issues (résultats possibles) d’une expérience aléatoire

Question 2

L’univers est-il fixe pour une même expérience

Answer 2

Non, une même expérience peut donner lieu à plusieurs univers, en fonction de ce que l’on observe

Question 3

Quel est l’univers lorsqu’on lance deux dés et qu’on observe les deux résultats ?

Answer 3

[|1;6|]²

Question 4

Définir un événement

Answer 4

On appelle événement tout sous ensemble d’un univers

Question 5

Comment traduit-on en ensemble :

• événement élémentaire/épreuve
• issue ou résultat
• événement certain
• événement impossible
• évènement contraire de A
• événement A et B
• événement A ou B
• A entraine B
• A et B sont incompatibles

Answer 5

• événement élémentaire/épreuve : {ω}, avec ω€Ω
• issue ou résultat : ω€R
• événement certain : Ω
• événement impossible : ∅
• évènement contraire de A : Ω\A
• événement A et B : AnB
• événement A ou B : AUB
• A entraine B : A ⊂ B
• A et B sont incompatibles : AnB = ∅

Question 6

Que signifie-t-il de dire qu’une famille d’événements est incompatible

Answer 6

Question 7

Traduire en ensemble : «pour tout i€I, Ai est vérifié»

Answer 7

Question 8

Traduire en ensemble : «il existe i€I tel que Ai soit vérifié»

Answer 8

Question 9

Qu’appelle-t-on probabilité sur un univers Ω ? Espace probabilisé fini ?

Answer 9

Question 10

Qu’appelle-t-on probabilité uniforme ?

Answer 10

Question 11

Qu’appelle-t-on distribution de probabilités ?

Answer 11

Question 12

Soit A et B deux parties de Ω, que vaut IP(AUB)

Answer 12

IP(AUB) = IP(A) + IP(B) - IP(AnB)

Question 13

Comment aborder un calcul de probabilité (lorsqu’il y a équiprobabilité)

Answer 13

Probabilité = nombre de cas possibles/nombre de cas total (probabilité uniforme)

Question 14

Comment aborder un calcul de probabilité (lorsqu’il n’y a pas équiprobabilité)

Answer 14

• Définir des événements simples issus de l’expérience décrites (introduire les notations)
• Décrire l’événement A dont on cherche la probabilité par une condition nécessaire et suffisante (en français) puis l’exprimer en fonction des événements simples (union/intersection/complémentaire)
• Calculer enfin IP(A)

Question 15

A quoi faut-il faire attention lorsqu’on introduit les notations correspondant à un événement ?

Answer 15

Il faut les numéroter si l’expérience est répétée

Question 16

Qu’appelle-t-on probabilité de B sachant A ? Comment voir rapidement que la définition est cohérente ?

Answer 16

IP(A|A) = 1 et IP(/A|A) = 0, ce qui est cohérent

Question 17

Que peut-on dire de B → IP(B|A) ?
Justif

Answer 17

Question 18

Montrer que IP_BnC = IP_B_C

(À redémontrer si on l’utilise)

Answer 18

Question 19

Qu’est-ce que la formule des probabilités composées, quand sert-elle ?

Answer 19

IP(A1)* (pour le Ai tout seul)

Question 20

Answer 20

Question 21

Answer 21

Question 22

Quel est le lien entre probabilité et distribution de probabilité ?

Answer 22

C’est* (le «c’est-à-dire»)

Question 23

Montrer que

Answer 23

Question 24

Soit A et B deux parties de Ω, A ⊂ B, que peut-on dire de IP(A) et IP(B) ? Que peut-on dire de IP(/A) ?
Justif

Answer 24

Question 25

Que peut-on dire de la probabilité de l’union lorsque les Ai sont incompatibles ? Et de manière générale ?

Answer 25

Question 26

Définir un système complet d’évènements

Answer 26

Question 27

Donner un système complet d’évènements de Ω par rapport à un événement A différent de Ω et non nul, par rapport à chacune des issues, par rapport à deux événements A et B non disjoints et non inclus l’un dans l’autre

Answer 27

Question 28

Qu’est-ce que la formule des probabilités totales ? Démo

Answer 28

Question 29

Qu’est-ce que la formule de Bayes ?

Answer 29

Question 30

Qu’est-ce que le corollaire de la formule de Bayes ?

Answer 30

Question 31

Quand dit-on que deux événements sont indépendants ?

Answer 31

Question 32

Quand dit-on qu’une famille d’événements est mutuellement indépendante ?

Answer 32

Question 33

Où peut-on rajouter des barres si A et B sont indépendants ?

Answer 33

Où on veut

Question 34

Quand dit-on que (Ai)i€[|1;n|] sont deux à deux indépendants ?

Answer 34

On dit que A1, …, An sont deux à deux indépendants si : ∀(i;j)€[|1,n|]², i≠j ⇒ IP(AinAj)=IP(Ai)×IP(Aj)

Question 35

Quand utilise-t-on la formule de Bayes ?

Answer 35

Lorsqu’on a la conséquence et qu’on veut déterminer une probabilité de cause

Question 36

Que peut-on dire si (A1, …, An) sont des événements mutuellement indépendants, au niveau du complémentaire ?

Answer 36

Question 37

Answer 37

Question 38

Comment calculer la probabilité d’une intersection ?

Answer 38

- en cas d’indépendance : produit des probabilités - en cas de dépendance : formule des probabilités composées - sinon : calculer la probabilité du contraire de l’intersection (l’union des contraires)

Question 39

Comment calculer la probabilité d’une union ?

Answer 39

- en cas disjointure : Somme des probabilités - en cas de jointure : Inférieur à la somme des probabilités Ou formule de base - sinon : Calculer la probabilité du contraire de l’union (l’intersection des contraires)

Question 40

Quand utilise-t-on la formule des probabilités composées ?

Answer 40

- pour calculer une intersection - dans le cas d’une suite d’événements où chacun dépend de tous les précédents

Question 41

Quand utilise-t-on la formule des probabilités totales ?

Answer 41

- Pour établir une relation de récurrence - Pour fixer un paramètre

Question 42

Quand utilise-t-on la formule de Bayes ?

Answer 42

Pour calculer la probabilité d’une cause, sachant la conséquence, on utilise souvent la formule des probabilités totales ensuites