Probabilités Flashcards
Définir un univers
L’univers, très souvent noté Ω est l’ensemble des issues (résultats possibles) d’une expérience aléatoire
L’univers est-il fixe pour une même expérience
Non, une même expérience peut donner lieu à plusieurs univers, en fonction de ce que l’on observe
Quel est l’univers lorsqu’on lance deux dés et qu’on observe les deux résultats ?
[|1;6|]²
Définir un événement
On appelle événement tout sous ensemble d’un univers
Comment traduit-on en ensemble :
- événement élémentaire/épreuve
- issue ou résultat
- événement certain
- événement impossible
- évènement contraire de A
- événement A et B
- événement A ou B
- A entraine B
- A et B sont incompatibles
- événement élémentaire/épreuve : {ω}, avec ω€Ω
- issue ou résultat : ω€R
- événement certain : Ω
- événement impossible : ∅
- évènement contraire de A : Ω\A
- événement A et B : AnB
- événement A ou B : AUB
- A entraine B : A ⊂ B
- A et B sont incompatibles : AnB = ∅
Que signifie-t-il de dire qu’une famille d’événements est incompatible
Traduire en ensemble : «pour tout i€I, Ai est vérifié»
Traduire en ensemble : «il existe i€I tel que Ai soit vérifié»
Qu’appelle-t-on probabilité sur un univers Ω ? Espace probabilisé fini ?
Qu’appelle-t-on probabilité uniforme ?
Qu’appelle-t-on distribution de probabilités ?
Soit A et B deux parties de Ω, que vaut IP(AUB)
IP(AUB) = IP(A) + IP(B) - IP(AnB)
Comment aborder un calcul de probabilité (lorsqu’il y a équiprobabilité)
Probabilité = nombre de cas possibles/nombre de cas total (probabilité uniforme)
Comment aborder un calcul de probabilité (lorsqu’il n’y a pas équiprobabilité)
- Définir des événements simples issus de l’expérience décrites (introduire les notations)
- Décrire l’événement A dont on cherche la probabilité par une condition nécessaire et suffisante (en français) puis l’exprimer en fonction des événements simples (union/intersection/complémentaire)
- Calculer enfin IP(A)
A quoi faut-il faire attention lorsqu’on introduit les notations correspondant à un événement ?
Il faut les numéroter si l’expérience est répétée
Qu’appelle-t-on probabilité de B sachant A ? Comment voir rapidement que la définition est cohérente ?
IP(A|A) = 1 et IP(/A|A) = 0, ce qui est cohérent
Que peut-on dire de B → IP(B|A) ?
Justif
Montrer que IP_BnC = IP_B_C
(À redémontrer si on l’utilise)
Qu’est-ce que la formule des probabilités composées, quand sert-elle ?
IP(A1)* (pour le Ai tout seul)
Quel est le lien entre probabilité et distribution de probabilité ?
C’est* (le «c’est-à-dire»)
Montrer que
Soit A et B deux parties de Ω, A ⊂ B, que peut-on dire de IP(A) et IP(B) ? Que peut-on dire de IP(/A) ?
Justif
Que peut-on dire de la probabilité de l’union lorsque les Ai sont incompatibles ? Et de manière générale ?
Définir un système complet d’évènements
Donner un système complet d’évènements de Ω par rapport à un événement A différent de Ω et non nul, par rapport à chacune des issues, par rapport à deux événements A et B non disjoints et non inclus l’un dans l’autre
Qu’est-ce que la formule des probabilités totales ?
Démo
Qu’est-ce que la formule de Bayes ?
Qu’est-ce que le corollaire de la formule de Bayes ?
Quand dit-on que deux événements sont indépendants ?
Quand dit-on qu’une famille d’événements est mutuellement indépendante ?
Où peut-on rajouter des barres si A et B sont indépendants ?
Où on veut
Quand dit-on que (Ai)i€[|1;n|] sont deux à deux indépendants ?
On dit que A1, …, An sont deux à deux indépendants si :
∀(i;j)€[|1,n|]², i≠j ⇒ IP(AinAj)=IP(Ai)×IP(Aj)
Quand utilise-t-on la formule de Bayes ?
Lorsqu’on a la conséquence et qu’on veut déterminer une probabilité de cause
Que peut-on dire si (A1, …, An) sont des événements mutuellement indépendants, au niveau du complémentaire ?
Comment calculer la probabilité d’une intersection ?
- en cas d’indépendance : produit des probabilités
- en cas de dépendance : formule des probabilités composées
- sinon : calculer la probabilité du contraire de l’intersection (l’union des contraires)
Comment calculer la probabilité d’une union ?
- en cas disjointure :
Somme des probabilités - en cas de jointure :
Inférieur à la somme des probabilités
Ou formule de base - sinon :
Calculer la probabilité du contraire de l’union (l’intersection des contraires)
Quand utilise-t-on la formule des probabilités composées ?
- pour calculer une intersection
- dans le cas d’une suite d’événements où chacun dépend de tous les précédents
Quand utilise-t-on la formule des probabilités totales ?
- Pour établir une relation de récurrence
- Pour fixer un paramètre
Quand utilise-t-on la formule de Bayes ?
Pour calculer la probabilité d’une cause, sachant la conséquence, on utilise souvent la formule des probabilités totales ensuites
