Intégration Flashcards

1
Q

Qu’appelle-t-on «subdivision de [a;b]» et «pas d’une subsdivision» ?

A
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Q

Qu’appelle-t-on fonction en escalier et subdivision subordonnée ?

A
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3
Q

Comment note-t-on l’ensemble des fonctions en escalier sur [a;b] à valeurs dans R ?

A
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4
Q

Que peut-on dire de la combinaison linéaire et du produit de deux fonctions en escalier ?

A

Ce sont des fonctions en escaliers

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5
Q

Qu’appelle-t-on intégrale d’une fonction en escalier ?

A
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6
Q

Que sont les propriétés de :

  • linéarité
  • positivité
  • croissance
  • inégalité triangulaire
  • chasles
  • croissance par rapport à l’intervalle d’intégration

de l’intégrale ?

A
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7
Q

Définir E+(f) et I+(f)

A
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8
Q

Qu’est-ce qu’une fonction intégrable au sens de Riemann ?

A
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9
Q

Que peut-on dire d’une fonction continue au niveau de l’intégration ?

A
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10
Q

Donner les notations et appellations dans l’intégrale de Riemann

A
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11
Q

Que peut-on dire de la variable d’intégration ?

A

Elle est muette

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12
Q

Qu’est-ce que l’interprétation géométrique de ∫<a→b>(f) ?

A

C’est l’aire algébrique entre C_f et l’axe des abscisses, sur le segment [a;b]

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13
Q

Quel est le lien entre ∫<a→b>(f) et ∫<b→a>(f)

A

∫<a→b>(f) = -∫<b→a>(f)

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14
Q

Exo :

A
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15
Q

Qu’est-ce que le théorème de la stricte positivité de l’intégrale

A
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17
Q

Comment lier parité et intégrale ?
Justif

18
Q

Qu’est-ce que le théorème fondamental de l’analyse ?
Justif

A

Puis :

Supposons y<x,

1/(y-x) × ∫<x→y>(f(t).dt) = 1/(x-y) × ∫<y→x>(f(t).dt)

Par le même raisonnement, la limite est f(x)

Donc, 1/(y-x) × ∫<x→y>(f(t).dt) → f(x)

Donc par définition, c’est une primitive de f

Enfin ∫<a→a>(f(t).dt) = 0 par définition

19
Q

Comment lier intégrale et périodicité ?

20
Q

Montrer que

21
Q

Qu’est-ce qu’une somme de Riemann et quelle est sa propriété ?

22
Q

Que peut-on dire d’une somme de Riemann si la fonction est C1 ? Quel est la cas particulier courant ?

24
Q

Comment majorer |sin(x)| par x et sur quel intervalle ?

A

|sin(x)| ≤ |x| sur R

25
Quel cas indique qu’il faut sûrement utiliser les sommes de Riemann ?
Lorsque ce qu’il y a dans la somme dépend de k et de n
26
Définir l’intégrale d’une fonction complexe
27
Qu’est-ce que l’inégalité de Taylor-Lagrange ?
28
Démontrer l’inégalité de Taylor-Lagrange, sachant que
29
Quelle méthode permet de calculer la limite d’une fonction qui associe une intégrale d’une fonction concave/convexe et dont on ne peut pas déterminer explicitement l’intégrale ?
On peut utiliser un encadrement grâce à une tangente et une inégalité des cordes
30
Quelles sont les méthodes pour encadrer une intégrale ?
- inégalité triangulaire - encadrer par la longueur de l’intervalle multipliée par le min/max - pareil avec une fonction de la forme f×g, en laissant g dans l’intégrale - utiliser une tangente + une inégalité des cordes (si l’intégrande est convexe ou concave - de manière plus générale, utiliser la croissance de l’intégrale
31
Comment faire apparaître une somme de Riemann lorsqu’on cherche la limite d’un produit ?
On applique le ln, ce qui transforme le produit en somme et c’est bon. On conclut ensuite en appliquant exp à l’intégrale par continuité de exp en +∞
32
A quoi faut-il faire attention lorsqu’on utilise la stricte positivité ?
Ne pas oublier de dire que la fonction est continue
33
Que faire si on se retrouve avec l’intégrale/la série, d’une fonction/suite définie par morceau ?
Séparer sur les différents ensembles de définition (Chasles)