Intégration

Question 1

Qu’appelle-t-on «subdivision de [a;b]» et «pas d’une subsdivision» ?

Answer 1

Question 2

Qu’appelle-t-on fonction en escalier et subdivision subordonnée ?

Answer 2

Question 3

Comment note-t-on l’ensemble des fonctions en escalier sur [a;b] à valeurs dans R ?

Answer 3

Question 4

Que peut-on dire de la combinaison linéaire et du produit de deux fonctions en escalier ?

Answer 4

Ce sont des fonctions en escaliers

Question 5

Qu’appelle-t-on intégrale d’une fonction en escalier ?

Answer 5

Question 6

Que sont les propriétés de :

• linéarité
• positivité
• croissance
• inégalité triangulaire
• chasles
• croissance par rapport à l’intervalle d’intégration

de l’intégrale ?

Answer 6

Question 7

Définir E+(f) et I+(f)

Answer 7

Question 8

Qu’est-ce qu’une fonction intégrable au sens de Riemann ?

Answer 8

Question 9

Que peut-on dire d’une fonction continue au niveau de l’intégration ?

Answer 9

Question 10

Donner les notations et appellations dans l’intégrale de Riemann

Answer 10

Question 11

Que peut-on dire de la variable d’intégration ?

Answer 11

Elle est muette

Question 12

Qu’est-ce que l’interprétation géométrique de ∫<a→b>(f) ?

Answer 12

C’est l’aire algébrique entre C_f et l’axe des abscisses, sur le segment [a;b]

Question 13

Quel est le lien entre ∫<a→b>(f) et ∫<b→a>(f)

Answer 13

∫<a→b>(f) = -∫<b→a>(f)

Question 14

Exo :

Answer 14

Question 15

Qu’est-ce que le théorème de la stricte positivité de l’intégrale

Answer 15

Question 16

Answer 16

Question 17

Comment lier parité et intégrale ?
Justif

Answer 17

Question 18

Qu’est-ce que le théorème fondamental de l’analyse ?
Justif

Answer 18

Puis :

Supposons y<x,

1/(y-x) × ∫<x→y>(f(t).dt) = 1/(x-y) × ∫<y→x>(f(t).dt)

Par le même raisonnement, la limite est f(x)

Donc, 1/(y-x) × ∫<x→y>(f(t).dt) → f(x)

Donc par définition, c’est une primitive de f

Enfin ∫<a→a>(f(t).dt) = 0 par définition

Question 19

Comment lier intégrale et périodicité ?

Answer 19

Question 20

Montrer que

Answer 20

Question 21

Qu’est-ce qu’une somme de Riemann et quelle est sa propriété ?

Answer 21

Question 22

Que peut-on dire d’une somme de Riemann si la fonction est C1 ? Quel est la cas particulier courant ?

Answer 22

Question 23

Answer 23

Question 24

Comment majorer |sin(x)| par x et sur quel intervalle ?

Answer 24

|sin(x)| ≤ |x| sur R

Question 25

Quel cas indique qu’il faut sûrement utiliser les sommes de Riemann ?

Answer 25

Lorsque ce qu’il y a dans la somme dépend de k et de n

Question 26

Définir l’intégrale d’une fonction complexe

Answer 26

Question 27

Qu’est-ce que l’inégalité de Taylor-Lagrange ?

Answer 27

Question 28

Démontrer l’inégalité de Taylor-Lagrange, sachant que

Answer 28

Question 29

Quelle méthode permet de calculer la limite d’une fonction qui associe une intégrale d’une fonction concave/convexe et dont on ne peut pas déterminer explicitement l’intégrale ?

Answer 29

On peut utiliser un encadrement grâce à une tangente et une inégalité des cordes

Question 30

Quelles sont les méthodes pour encadrer une intégrale ?

Answer 30

• inégalité triangulaire
• encadrer par la longueur de l’intervalle multipliée par le min/max
• pareil avec une fonction de la forme f×g, en laissant g dans l’intégrale
• utiliser une tangente + une inégalité des cordes (si l’intégrande est convexe ou concave
• de manière plus générale, utiliser la croissance de l’intégrale

Question 31

Comment faire apparaître une somme de Riemann lorsqu’on cherche la limite d’un produit ?

Answer 31

On applique le ln, ce qui transforme le produit en somme et c’est bon. On conclut ensuite en appliquant exp à l’intégrale par continuité de exp en +∞

Question 32

A quoi faut-il faire attention lorsqu’on utilise la stricte positivité ?

Answer 32

Ne pas oublier de dire que la fonction est continue

Question 33

Que faire si on se retrouve avec l’intégrale/la série, d’une fonction/suite définie par morceau ?

Answer 33

Séparer sur les différents ensembles de définition (Chasles)