Intégration Flashcards
Qu’appelle-t-on «subdivision de [a;b]» et «pas d’une subsdivision» ?
Qu’appelle-t-on fonction en escalier et subdivision subordonnée ?
Comment note-t-on l’ensemble des fonctions en escalier sur [a;b] à valeurs dans R ?
Que peut-on dire de la combinaison linéaire et du produit de deux fonctions en escalier ?
Ce sont des fonctions en escaliers
Qu’appelle-t-on intégrale d’une fonction en escalier ?
Que sont les propriétés de :
- linéarité
- positivité
- croissance
- inégalité triangulaire
- chasles
- croissance par rapport à l’intervalle d’intégration
de l’intégrale ?
Définir E+(f) et I+(f)
Qu’est-ce qu’une fonction intégrable au sens de Riemann ?
Que peut-on dire d’une fonction continue au niveau de l’intégration ?
Donner les notations et appellations dans l’intégrale de Riemann
Que peut-on dire de la variable d’intégration ?
Elle est muette
Qu’est-ce que l’interprétation géométrique de ∫<a→b>(f) ?
C’est l’aire algébrique entre C_f et l’axe des abscisses, sur le segment [a;b]
Quel est le lien entre ∫<a→b>(f) et ∫<b→a>(f)
∫<a→b>(f) = -∫<b→a>(f)
Exo :
Qu’est-ce que le théorème de la stricte positivité de l’intégrale
Comment lier parité et intégrale ?
Justif
Qu’est-ce que le théorème fondamental de l’analyse ?
Justif
Puis :
Supposons y<x,
1/(y-x) × ∫<x→y>(f(t).dt) = 1/(x-y) × ∫<y→x>(f(t).dt)
Par le même raisonnement, la limite est f(x)
Donc, 1/(y-x) × ∫<x→y>(f(t).dt) → f(x)
Donc par définition, c’est une primitive de f
Enfin ∫<a→a>(f(t).dt) = 0 par définition
Comment lier intégrale et périodicité ?
Montrer que
Qu’est-ce qu’une somme de Riemann et quelle est sa propriété ?
Que peut-on dire d’une somme de Riemann si la fonction est C1 ? Quel est la cas particulier courant ?
Comment majorer |sin(x)| par x et sur quel intervalle ?
|sin(x)| ≤ |x| sur R
Quel cas indique qu’il faut sûrement utiliser les sommes de Riemann ?
Lorsque ce qu’il y a dans la somme dépend de k et de n
Définir l’intégrale d’une fonction complexe
Qu’est-ce que l’inégalité de Taylor-Lagrange ?
Démontrer l’inégalité de Taylor-Lagrange, sachant que
Quelle méthode permet de calculer la limite d’une fonction qui associe une intégrale d’une fonction concave/convexe et dont on ne peut pas déterminer explicitement l’intégrale ?
On peut utiliser un encadrement grâce à une tangente et une inégalité des cordes
Quelles sont les méthodes pour encadrer une intégrale ?
- inégalité triangulaire
- encadrer par la longueur de l’intervalle multipliée par le min/max
- pareil avec une fonction de la forme f×g, en laissant g dans l’intégrale
- utiliser une tangente + une inégalité des cordes (si l’intégrande est convexe ou concave
- de manière plus générale, utiliser la croissance de l’intégrale
Comment faire apparaître une somme de Riemann lorsqu’on cherche la limite d’un produit ?
On applique le ln, ce qui transforme le produit en somme et c’est bon. On conclut ensuite en appliquant exp à l’intégrale par continuité de exp en +∞
A quoi faut-il faire attention lorsqu’on utilise la stricte positivité ?
Ne pas oublier de dire que la fonction est continue
Que faire si on se retrouve avec l’intégrale/la série, d’une fonction/suite définie par morceau ?
Séparer sur les différents ensembles de définition (Chasles)
