Fonctions Usuelles Flashcards
Qu’est-ce que le domaine de définition d’une fonction ?
On appelle D le domaine de définition d’une fonction f, l’ensemble des x tels que f(x) ait un sens
Qu’est-ce qu’un ensemble symétrique par rapport à 0 ?
C’est un ensemble D tel que :
¥x€D, -x€D
Qu’est-ce qu’une fonction paire ?
Soit D un ensemble et f€R^D, on dit que f est paire si : ¥x€D, -x€D et f(x)=f(-x)
Qu’est-ce qu’une fonction impaire ?
Soit D un ensemble et f€R^D, on dit que f est impaire si : ¥x€D, -x€D et -f(x)=f(-x)
Qu’est-ce qu’une fonction périodique ?
Soit f€R^R, on dit que f est périodique si :
Il existe T>0, ¥x€R, f(x+T)=f(x)
On dit que T est une période de f
Qu’est-ce que le graphe d’une fonction ?
Soit f€R^D, D un ensemble non vide, on appelle représentation graphique de f (ou graphe de f) : {(x;f(x)), x€D}=C_f
Quelle est la conséquence de la parité sur le graphe ? Et la conséquence de la périodicité ?
Soit f€R^R tel que f soit paire :
Alors, C_f est symétrique par rapport à l’axe des ordonnés <=> ¥(x;y)€C_f, (-x;y)€C_f
Soit f€R^R tel que f soit impaire :
Alors, C_f est symétrique par rapport à l’origine du repère
Soit f€R^R tel que f soit T-périodique :
Alors, C_f est invariante par translation de vecteur de coordonnée (T,0)
Qu’est-ce qu’une fonction croissante ?
Soit f€R^D_f, soit I inclus dans D_f, on dit que f est croissante sur I si :
¥(x,x’)€I^2, ((x > x’) ⇒ (f(x) ≥ f(x’))
Pour strictement croissante on met un > au lieu du >=
Qu’est-ce qu’une fonction décroissante ?
Soit f€R^D_f, soit I inclus dans D_f, on dit que f est décroissante sur I si :
¥(x,y)€I^2, ((x>y) ⇒ (f(x) ≤ f(y)))
Pour strictement décroissante on met un < au lieu du ≤
Soit (f;g)€(R^R)^2, qu’est-ce que f+g ? Et f×g ?
f+g est la fonction h€R^R qui a x associe f(x)+g(x)
f*g est la fonction h€R^R qui a x associe f(x) × g(x)
Si f et g sont deux fonctions paires, f+g est-elle paire ? De même pour f.g et fog
✅✅✅
Si f et g sont deux fonctions T-périodiques, f+g est-elle T-périodique ? De même pour f.g et fog
✅✅✅
Si f et g sont deux fonctions croissantes, f+g est-elle croissante ? De même pour f.g et fog
✅✅✅
✅uniquement si f et g de même signe✅
✅✅✅
Qu’est-ce qu’une fonction majorée ?
Soit f€R^D_f, A inclus dans D_f, on dit que f est majorée sur A si :
il existe M€R, ¥x€A, f(x)<=M
Qu’est-ce qu’une fonction minorée ?
Soit f€R^D_f, A inclus dans D_f, on dit que f est minorée sur A si :
il existe m€R, ¥x€A, f(x)>=m
Qu’est-ce qu’une fonction bornée sur un ensemble ?
On dit que f est bornée sur un ensemble si elle y est majorée et minorée
Soit A un ensemble, traduire f bornée sur A en quantificateur
f bornée sur A ⇔ ∃ M€R+, ∀x€A, |f(x)|≤ M
Qu’est ce qu’une fonction inversible ?
Soient E et F deux ensembles, avec f€F^E, on dit que f est inversible s’il existe g€E^F telle que gof=Id_E et fog=Id_F
Si f est inversible, g est unique et on l’appelle inverse de f (ou bijection réciproque de f), on la note f^-1
Que peut-on dire de la bijectivité d’une fonction f€F^E inversible ?
Elle est bijective de E sur F
Qu’est-ce que le théorème de la bijection ?
Soit I un intervalle non vide, soit f€R^I continue, strictement monotone sur I, alors f est bijective de I sur f(I).
De plus, f^-1 est continue et de même monotonie que f.
Comment montrer que f€F^I est bijective de I sur F ? (Différentes méthodes)
- utiliser le théorème de bijection
- montrer que y=f(x) n’admet qu’une unique solution x (analyse-synthèse)
- montrer l’injectivité et la surjectivité
- exhiber f^-1
Que signifie-t-il de dire qu’une fonction est dérivable en un point ?
Soit f€R^I avec I un ensemble, soit a€I, on dit que f est dérivable en a si lim<x—>a>(f(x)-f(a))/(x-a) est finie.
On appelle cette limite f’(a) le nombre dérivé en a.
Que signifie-t-il de dire que f est dérivable sur I ?
f est dérivable en tout point de I, on note f’€(R^I) telle que a|—>f’(a) la dérivée de f
Peut-on dire quelque chose de la combinaison linéaire de deux fonctions dérivables ?
Elle est dérivable et sa dérivée est la combinaison linéaire des dérivées
Peut-on dire quelque chose du produit de deux fonction dérivables ?
Il est dérivable et sa dérivée est f’g + g’f
Peut-on dire quelque chose du quotient de deux fonction dérivables ?
Il est dérivable si celle du dénominateur ne s’annule pas et sa dérivée est (f’g - g’f)/g²
Peut-on dire quelque chose de la composition de deux fonctions dérivables ?
gof est dérivable si f(I) inclus dans I par f’ * g’(f)
Qu’est ce qu’une tangente à une courbe en un point ?
Soit f€R^I, a€I, on suppose f dérivable en a et on appelle tangente à C_f en a la droite d’équation y=f’(a)(x-a) + f(a)
Qu’est-ce que le théorème de la bijection dérivable ?
Théorème de la bijection
+
f dérivable sur I et f’ ne s’annule pas sur I, alors f^-1 est dérivable sur f(I) et : ¥x€f(I), f^-1’(x)=1/f’(f^-1(x))
Qu’est-ce que la partie positive d’un réel ?
Soit x€R, on appelle partie positive de x le réel noté x_+ = max(x;0)
Qu’est ce que la partie négative d’un réel ?
Soit x€R, on appelle partie négative de x le réel noté x_- = min(x;0)
Qu’est-ce que la valeur absolue d’un réel ?
On appelle valeur absolue de x€R notée |x|, le réel positif tel que |x|=x si x>=0 et -x si x<0,
C’est-à-dire : |x|=x_+ - x_-
Soit (x;a)€R2, |x|≤ a ⇔ ?
-a ≤ x ≤ a
Soit (x;l;a)€R3, |x-l|≤ a ⇔ ?
l-a ≤ x ≤ l+a
Soit (c;d)€R2, x€[c;d] <=> ? (Inégalité triangulaire)
|x - (c+d)/2| ≤ (d - c)/2
Quel est le cas d’égalité pour les inégalités triangulaires dans les réels ?
Les deux réels sont de même signe
Peut-on dire quelque chose de la valeur absolue du produit ?
C’est le produit des valeurs absolues
Qu’est-ce que la partie entière ?
On appelle partie entière de x, notée E(x) ou ⌊x⌋, l’unique entier tel que x-1<⌊x⌋≤ x < ⌊x+1⌋
Qu’est-ce que l’exponentielle réelle ?
On appelle fonction exponentielle, notée e^ ou exp(), l’unique fonction de R dans R dérivable telle que : ¥x€R, f’(x)=f(x) et f(0)=1
Que vaut l’exponentielle de la somme ?
Comment le démontrer ?
L’exponentielle de la somme et le produit des exponentielle
Poser f_x(y) : y—>exp(x+y)/exp(x),
Préciser exp(x)≠0,
Montrer f_x’(y)=f_x(y),
Montrer f_x(0)=1,
Donc fct expo par unicité,
Donc exp(x+y)/exp(x)=exp(y),
Conclusion
Par quelle valeur est minorée l’exponentielle ?
¥x€R, exp(x)>0
Quelle est la croissance de l’exponentielle ?
Justif
Exponentielle strictement croissante
Exp>0
Or exp’=exp>0
Donc exp est croissante sur R
Comment peut-on minorer exp(x) avec x ?
Comment justifier ?
Exp(x) ≥ 1 + x
Justifier que concave et prendre la tangente en 0
Soit x€R, exp(-x)=…
exp(-x)=1/exp(x)
lim(x → +∞)(exp(x)) = …
Justif ?
lim<x—>+∞>exp(x) = +∞
¥x€R, exp(x)>1+x,
Or, lim<x—>+∞>(1+x) = +∞,
Par croissance comparée
lim(x → -∞)(exp(x)) = ?
lim(x → -∞)(exp(x)) = 0
Qu’est-ce que le logarithme népérien ?
Sa dérivée ? Ses variations ?
Exp est bijective de R sur R*+, on appelle ln logarithme népérien, sa bijection réciproque.
Par théorème de bijection réciproque, ln est strictement croissante sur R*+ et sa dérivée est ln’(x)=1/x (exp>0)
Qu’est-ce que le logarithme népérien du produit ?
Démo
La somme des logarithmes népériens
exp(ln(xy))=xy, par def de ln et
exp(ln(x)+ln(y))=xy, par propriété de l’exponentielle et def de ln
Donc exp(ln(xy))=exp(ln(x)+ln(y)) et par injectivité de l’exponentielle,
ln(xy)=ln(x)+ln(y)
Ln(1)= ?
Ln(1)=0
Soit n€Z, ln(x^n)=…
Justif
ln(x^n) = n.ln(x)
Récurrence pour n€N,
Appliquer avec -n pour n€Z\N
Quelle est la limite de ln lorsque x tend vers +∞ ?
Justif
+∞
x=ln(exp(x))
Donc, ln(exp(x)) → +∞ lorsque x → +∞
Définir la puissance réelle
Soit a€R, x€R*+,
x^a=exp(a.ln(x))
Quelle est la dérivée de la fonction puissance ?
Soit α€R, ¥x€R*+, f_α’(x)=α.x^(α-1)
Qu’est-ce que le cosinus hyperbolique ?
On défini sur R, le cosinus hyperbolique, noté ch la fonction qui à x associe ch(x)=(exp(x)+exp(-x))/2
Qu’est-ce que le sinus hyperbolique ?
On défini sur R, le sinus hyperbolique, noté sh la fonction qui à x associe sh(x)=(exp(x)-exp(-x))/2
Quelle est la parité de ch ?
Paire
Quelle est la parité de sh ?
Impaire
Que peut-on dire de la dérivabilité de ch ?
Ch derivable et ch’(x)=sh(x)
Que peut-on dire de la dérivabilité de sh ?
Sh derivable et sh’(x)=ch(x)
Quelles sont les variations de ch et ses limites ?
Strictement croissante sur R+ et strictement décroissante sur R-, tends vers +∞, en -∞ et en +∞
Quelles sont les variations de sh et ses limites ?
Strictement croissante sur R, tends vers -∞ en -∞ et +∞ en +∞
Que peut-on dire de la bijectivité de ch ?
Ch bijective de R- sur [1;+∞] et bijective de R+ sur [1;+∞]
Que peut-on dire de la bijectivité de sh ?
Sh est bijective de R sur R
Quelle est la relation fondamentale entre ch et sh ?
ch(x)² - sh(x)² = 1
Qu’est-ce ce que arccos ?
On appelle arccos la bijection réciproque de cos de [-1;1] sur [0;π]
Qu’est-ce que arcsin ?
On appelle arcsin la bijection réciproque de sin de [-1;1] sur [-π/2;π/2]
Que peut-on dire de la dérivabilité de arccos ?
Justif
Elle est dérivable sur ]-1;1[ par :
arccos’(x)=-1/√(1-x²)
Théorème de la bijection dérivable
Que peut-on dire de la dérivabilité de arcsin ?
Elle est dérivable sur ]-1;1[ par :
arcsin’(x)=1/√(1-x²)
Théorème de la bijection dérivable
Comment montrer ch>sh sur R ?
¥x€R, sh(x) < sh(x)+exp(-x)=ch(x),
Car exp(-x)>0
Que peut-on dire de la bijectivité de cos ?
Cos est bijective de [0;π] sur [-1;1]
Que peut-on dire de la bijectivité de sin ?
Sin est bijective de [-π/2;π/2] sur [-1;1]
Que peut-on dire de la bijectivité de tan ?
Tan est bijective de ]-π/2;π/2[ sur R
Que peut-on dire de la dérivabilité de arctan ?
Elle est dérivable sur R par :
arctan’(x)=1/(1+x²)
Que vaut sin(Arccos(x)) ?
Justif
sin(Arccos(x)) = √(1-x²)
Soit x€]-1;1[,
sin(Arccos(x))² = 1 - cos(Arccos(x))²
= 1 - x²
Or, 1-x² > 0, car x€]-1;1[, et Arccos(x)€]0;π[ et sin positif sur ]0;π[, donc sin(Arccos(x))² > 0
D’où, par injectivité de la fonction racine carrée sur R+,
|sin(Arccos(x))|= √(1 - x²) <=> sin(Arccos(x)) = √(1 - x²)
Que vaut cos(Arcsin(x)) ?
Justif
Cos(Arcsin(x)) = √(1-x²)
Soit x€]-1;1[,
Cos(Arcsin(x))^2 = 1 - sin(Arcsin(x))^2
= 1 - x^2
Or, 1-x^2 > 0, car x€]-1;1[, et Arcsin(x)€]-π/2;π/2[ et cos positif sur ]-π/2;π/2[, donc cos(Arcsin(x))^2 > 0
D’où, par croissance de la fonction racine carrée sur R+,
|cos(Arcsin(x))|= sqrt(1 - x^2) <=> cos(Arcsin(x)) = sqrt(1 - x^2)
Tracer les graphes de arccos et arcsin
Rouge : arccos
Bleu : arcsin
Tracer le graphe de arctan
Comment dériver x → a^x, a€R+ et x€R ?
a^x = exp(x × ln(a))
Donc sa dérivée est ln(a) × exp(x × ln(a)) = ln(a) × a^x
Quelle astuce permet de gagner du temps lorsqu’on dérive une fraction où le dénominateur est une puissance ?
Passer en produit en mettant - a la puissance du dénominateur, il est plus simple de dériver un produit
Que signifie étudier une fonction ?
- Image
- calculer les valeurs de la fonction aux points où la dérivée s’annule
- résumer tout ceci dans le tableau de variation
- tracer la courbe représentative de la fonction (en y faisant figurer les asymptotes et les tangentes éventuellement détecté lors de l’étude)
Remarque : si f n’est pas périodique/paire/impaire, il n’y a pas besoin de le préciser
Remarque : il est bon de déterminer les x tels que f(x)=0
Remarque : lors du calcul des limites, en déduire les asymptotes
Quelle technique permet de montrer une inégalité de la forme f(x)≤g(x) lorsque c’est compliqué ?
On pose une fonction égale à f-g et on détermine son signe
Que peut-on dire si Arccos(x) = θ ? Si Arcsin(x) = θ ? Si Arctan(x) = θ ?
Quand peut-on conclure que f est constante dans le cas où f’(x)=0, ∀x€D_f
Si D_f est un intervalle, dans le cas où D_f est une union d’intervalles, f est constantes sur chacun de ces intervalles mais pas forcément de même constante
Comment résoudre une égalité d’Arcsin, Arccos et Arctan ?
- Déterminer le domaine de définition
- Raisonner par analyse synthèse en appliquant dans l’analyse cos, sin ou tan pour enlever les Arc
- Dans la synthèse, vérifier premièrement la localisation des Arc sur le cercle trigo et si ça colle, appliquer cos, sin ou tan au Arc pour déterminer une égalité ou non et justifier l’égalité par la bijectivité de cos, sin ou tan
Exemple (synthèse pour vérifier que 1/√(5) vérifie bien Arcos(x)=Arcsin(2x)) :
Quelle relation lie arcsin et arccos ?
∀x€]-1;1[, arccos(x) + arcsin(x) = π/2
Comment déterminer l’ensemble des points fixes d’une fonction f ?
On étudie la fonction x → f(x) - x et on cherche ses annulations
Qu’est-ce que la technique du «bridge» qui sert assez souvent ?
|a - b| = |a - c + c - b|
Arctan(x) + Arctan(1/x) = ?
π/2
Que peut-on dire si f≥0 et f≠0 ?
Rien, il faut f que ne s’annule pas pour pouvoir en déduire f>0 (f≠0 donne l’existence d’un point seulement)
Quelle est la première chose à faire (très rapidement) lorsqu’on nous présente une fonction ?
Regarder si elle est paire ou périodique
