Matrices et Applications Linéaire Flashcards
Qu’appelle-t-on matrice de x€E dans BE ?
Qu’appelle-t-on matrice de F dans BE, F une famille d’éléments de E ? Quelles informations donne cette matrice ?
Qu’appelle-t-on matrice d’une application linéaire ?
Donner la matrice de
Dans les bases canoniques
Donner la matrice de
Dans la base canonique
Qu’appelle-t-on application linéaire canoniquement associée à une matrice A ?
u : (x;y) → (x + 3y ; 2x + 4y)
Que peut-on dire de θ
θ est un isomorphisme
Comment écrire matriciellement l’image d’un vecteur x€E par une application linéaire u de E dans F ?
Mat(u(x))BF = Mat(u)BE;BF × Mat(x)BE
Que vaut la matrice de la composée de deux applications linéaires ?
Démontrer que la matrice de la composée est le produit des matrices
Comment montrer qu’une application linéaire est un isomorphisme grâce aux matrices ?
Justif
Définir le noyau, l’image et le rang d’une matrice A
Que peut-on dire de AX, pour X€K^p ?
Justif
Quel est le lien entre le rang d’une matrice et le rang d’une application linéaire ?
A quoi faut-il faire attention lorsqu’on utilise les propriétés des applications linéaires pour démontrer quelque chose (Ker, Im, etc…)
Il faut d’abord montrer que c’est bien une application linéaire
Quelles sont les quatre propositions équivalentes pour A€M_n(K) ?
C’est la même propriété que pour les applications linéaires lorsque dim(E) = dim(F), injective ⇔ surjective ⇔ bijective
Qu’est-ce que le théorème du rang matriciel ?
Qu’est-ce qu’une matrice inversible à gauche ? À droite ?
Quelles sont les trois propositions équivalentes au niveau de l’inversibilité d’une matrice A€M_n(K) ?
Qu’appelle-t-on opération élémentaire sur les colonnes ?
Que peut-on dire du noyau et de l’image après des opérations élémentaires ?
Comment le justifier ?
Pour le justifier, on décompose A en colonnes ou lignes et après les propriétés sont celles du Ker et de l’Im
Exprimer AX et XA grâce aux colonnes et aux lignes de A
AX = (X×C1(A) | X×C2(A) | … | X×Cn(A))
XA = (L1(A)×X | L2(A)×X | … | Ln(A)×X)
Comment le rang d’une matrice est-il modifié après des opérations élémentaires ?
Il n’est pas modifié
Quel est le lien entre le rang d’une matrice et le rang de sa transposée ?
Que peut-on en déduire ?
Donc, on peut déterminer le rang d’une matrice en regardant indifféremment l’espace engendré par ses lignes ou par ses colonnes
Comment montrer que A est non inversible en étudiant les colonnes ?
Justif
Quand une matrice triangulaire est-elle inversible ?
Justif
Non nuls*
Qu’appelle-t-on matrice de passage ?
Donner l’expression de P_B;B’
Justif
Exprimer le lien entre Mat(x) dans BE et BF, grâce à une matrice de passage
Justif
Qu’est-ce que la propriété du produit de matrices de passage
Justif
Comment écrire Ci(A) comme le produit de A€M_n;p(K) et d’une matrice ?
Ci(A) = A×Ei, avec Ei = (δ_i;j)_j€[|1;p|]
Que peut-on dire d’une matrice de passage, niveau inverse ?
Justif
Donner le lien entre Mat(u)B;C et Mat(u)B’;C’
Justif
Donner le lien entre Mat(u)B et Mat(u)B’
Qu’appelle-t-on deux matrices semblables ?
Comment caractériser deux matrices semblables ?
Justif
Deux matrices sont semblables si et seulement si elles représentent un même endomorphisme dans deux bases différentes
Quelles sont les propriétés qui se conservent pour deux matrices semblables ?
Comment déterminer, en pratique, le noyau d’une matrice ?
On résout l’ensemble d’équations ligne = 0
Qu’est-ce que la propriété du binôme de Newton de composition ?
Que vaut le rang d’une matrice diagonale ?
C’est le nombre de coefficients non nuls
Comment déterminer la matrice d’une famille dans une base ?
Exprimer la décomposition dans la base de chaque élément de la famille et mettre en matrice
Comment déterminer le noyau d’une matrice A/application linéaire u, connaissant le noyau de u/A ?
Φ : x → Mat(x)B, est une bijection de Ker(u) dans Ker(A)
Dans un cas on a le vecteur, dans un cas ses cordonnées
Comment montrer que deux matrices sont semblables ?
- elles sont images d’un même endomorphisme dans deux bases différentes
- on détermine P tel que : A = P-1 × B × P
Montrer que Ker(p) ⊕ Im(p) = E, avec p un projecteur
Soit x€E, x€Ker(p) n Im(p),
Alors on dispose de y€E tel que p(y)=x, par définition de l’image,
Donc, p²(y) = p(x) = 0, par définition d’un projecteur et du noyau,
Par définition d’un projecteur on a également que p(y) = p²(y) = 0,
Donc, x = p(y) = 0,
Donc Ker(p) n Im(p) = {0E},
Donc Ker(p) et Im(p) sont en somme directe
De plus, par théorème du rang, dim(E) = dim(Ker(p)) + dim(Im(p)),
Donc, par propriété, Ker(p) ⊕ Im(p) = E
Montrer que, pour p un projecteur et P n’importe quelle matrice associée, rg(p) = Tr(P)
- Si Ker(p) et Im(p) sont tous deux non nuls :
Soit (e1, …, er) une base de Im(p) et (e(r+1), …, en) une base de Ker(p), alors B = (e1, …, en) est une base de E, car Ker(p) ⊕ Im(p) = E
Posons M = Mat(p)B,
∀k€[|r+1, n|], p(ek) = 0, par définition du noyau
∀k€[|1, n|, p(ek) = ek par définition du projecteur
écrire alors Mat(p)B
Donc, tr(M) = r = rg(p) - Si Ker(p) = {0} :
De même, M = Id et tr(M) = n = dim(E) = rg(p), par théorème du rang - Si Im(p) = {0} :
p = 0_L(E), donc Tr(M) = 0 = rg(p)
Or, M et P sont deux matrices associées à p, donc sont semblables, donc tr(P) = tr(M) = rg(p)
