Matrices et Applications Linéaire

Question 1

Qu’appelle-t-on matrice de x€E dans BE ?

Answer 1

Question 2

Qu’appelle-t-on matrice de F dans BE, F une famille d’éléments de E ? Quelles informations donne cette matrice ?

Answer 2

Question 3

Qu’appelle-t-on matrice d’une application linéaire ?

Answer 3

Question 4

Donner la matrice de
Dans les bases canoniques

Answer 4

Question 5

Donner la matrice de
Dans la base canonique

Answer 5

Question 6

Qu’appelle-t-on application linéaire canoniquement associée à une matrice A ?

Answer 6

Question 7

Answer 7

u : (x;y) → (x + 3y ; 2x + 4y)

Question 8

Que peut-on dire de θ

Answer 8

θ est un isomorphisme

Question 9

Comment écrire matriciellement l’image d’un vecteur x€E par une application linéaire u de E dans F ?

Answer 9

Mat(u(x))BF = Mat(u)BE;BF × Mat(x)BE

Question 10

Que vaut la matrice de la composée de deux applications linéaires ?

Answer 10

Question 11

Démontrer que la matrice de la composée est le produit des matrices

Answer 11

Question 12

Comment montrer qu’une application linéaire est un isomorphisme grâce aux matrices ?
Justif

Answer 12

Question 13

Définir le noyau, l’image et le rang d’une matrice A

Answer 13

Question 14

Que peut-on dire de AX, pour X€K^p ?
Justif

Answer 14

Question 15

Quel est le lien entre le rang d’une matrice et le rang d’une application linéaire ?

Answer 15

Question 16

A quoi faut-il faire attention lorsqu’on utilise les propriétés des applications linéaires pour démontrer quelque chose (Ker, Im, etc…)

Answer 16

Il faut d’abord montrer que c’est bien une application linéaire

Question 17

Quelles sont les quatre propositions équivalentes pour A€M_n(K) ?

Answer 17

C’est la même propriété que pour les applications linéaires lorsque dim(E) = dim(F), injective ⇔ surjective ⇔ bijective

Question 18

Qu’est-ce que le théorème du rang matriciel ?

Answer 18

Question 19

Qu’est-ce qu’une matrice inversible à gauche ? À droite ?

Answer 19

Question 20

Quelles sont les trois propositions équivalentes au niveau de l’inversibilité d’une matrice A€M_n(K) ?

Answer 20

Question 21

Qu’appelle-t-on opération élémentaire sur les colonnes ?

Answer 21

Question 22

Que peut-on dire du noyau et de l’image après des opérations élémentaires ?
Comment le justifier ?

Answer 22

Pour le justifier, on décompose A en colonnes ou lignes et après les propriétés sont celles du Ker et de l’Im

Question 23

Exprimer AX et XA grâce aux colonnes et aux lignes de A

Answer 23

AX = (X×C1(A) | X×C2(A) | … | X×Cn(A))

XA = (L1(A)×X | L2(A)×X | … | Ln(A)×X)

Question 24

Comment le rang d’une matrice est-il modifié après des opérations élémentaires ?

Answer 24

Il n’est pas modifié

Question 25

Quel est le lien entre le rang d’une matrice et le rang de sa transposée ? Que peut-on en déduire ?

Answer 25

Donc, on peut déterminer le rang d’une matrice en regardant indifféremment l’espace engendré par ses lignes ou par ses colonnes

Question 26

Comment montrer que A est non inversible en étudiant les colonnes ? Justif

Answer 26

Question 27

Quand une matrice triangulaire est-elle inversible ? Justif

Answer 27

Non nuls*

Question 28

Qu’appelle-t-on matrice de passage ?

Answer 28

Question 29

Donner l’expression de P_B;B’ Justif

Answer 29

Question 30

Exprimer le lien entre Mat(x) dans BE et BF, grâce à une matrice de passage Justif

Answer 30

Question 31

Qu’est-ce que la propriété du produit de matrices de passage Justif

Answer 31

Question 32

Comment écrire Ci(A) comme le produit de A€M_n;p(K) et d’une matrice ?

Answer 32

Ci(A) = A×Ei, avec Ei = (δ_i;j)_j€[|1;p|]

Question 33

Que peut-on dire d’une matrice de passage, niveau inverse ? Justif

Answer 33

Question 34

Donner le lien entre Mat(u)B;C et Mat(u)B’;C’ Justif

Answer 34

Question 35

Donner le lien entre Mat(u)B et Mat(u)B’

Answer 35

Question 36

Qu’appelle-t-on deux matrices semblables ?

Answer 36

Question 37

Comment caractériser deux matrices semblables ? Justif

Answer 37

Deux matrices sont semblables si et seulement si elles représentent un même endomorphisme dans deux bases différentes

Question 38

Quelles sont les propriétés qui se conservent pour deux matrices semblables ?

Answer 38

Question 39

Comment déterminer, en pratique, le noyau d’une matrice ?

Answer 39

On résout l’ensemble d’équations *ligne* = 0

Question 40

Qu’est-ce que la propriété du binôme de Newton de composition ?

Answer 40

Question 41

Que vaut le rang d’une matrice diagonale ?

Answer 41

C’est le nombre de coefficients non nuls

Question 42

Comment déterminer la matrice d’une famille dans une base ?

Answer 42

Exprimer la décomposition dans la base de chaque élément de la famille et mettre en matrice

Question 43

Comment déterminer le noyau d’une matrice A/application linéaire u, connaissant le noyau de u/A ?

Answer 43

Φ : x → Mat(x)B, est une bijection de Ker(u) dans Ker(A) Dans un cas on a le vecteur, dans un cas ses cordonnées

Question 44

Comment montrer que deux matrices sont semblables ?

Answer 44

- elles sont images d’un même endomorphisme dans deux bases différentes - on détermine P tel que : A = P-1 × B × P

Question 45

Montrer que Ker(p) ⊕ Im(p) = E, avec p un projecteur

Answer 45

Soit x€E, x€Ker(p) n Im(p), Alors on dispose de y€E tel que p(y)=x, par définition de l’image, Donc, p²(y) = p(x) = 0, par définition d’un projecteur et du noyau, Par définition d’un projecteur on a également que p(y) = p²(y) = 0, Donc, x = p(y) = 0, Donc Ker(p) n Im(p) = {0E}, Donc Ker(p) et Im(p) sont en somme directe De plus, par théorème du rang, dim(E) = dim(Ker(p)) + dim(Im(p)), Donc, par propriété, Ker(p) ⊕ Im(p) = E

Question 46

Montrer que, pour p un projecteur et P n’importe quelle matrice associée, rg(p) = Tr(P)

Answer 46

- Si Ker(p) et Im(p) sont tous deux non nuls : Soit (e1, …, er) une base de Im(p) et (e(r+1), …, en) une base de Ker(p), alors B = (e1, …, en) est une base de E, car Ker(p) ⊕ Im(p) = E Posons M = Mat(p)B, ∀k€[|r+1, n|], p(ek) = 0, par définition du noyau ∀k€[|1, n|, p(ek) = ek par définition du projecteur *écrire alors Mat(p)B* Donc, tr(M) = r = rg(p) - Si Ker(p) = {0} : De même, M = Id et tr(M) = n = dim(E) = rg(p), par théorème du rang - Si Im(p) = {0} : p = 0_L(E), donc Tr(M) = 0 = rg(p) Or, M et P sont deux matrices associées à p, donc sont semblables, donc tr(P) = tr(M) = rg(p)