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Maths SUP > Matrices et Applications Linéaire > Flashcards

Matrices et Applications Linéaire Flashcards

1
Q

Qu’appelle-t-on matrice de x€E dans BE ?

A
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Q

Qu’appelle-t-on matrice de F dans BE, F une famille d’éléments de E ? Quelles informations donne cette matrice ?

A
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3
Q

Qu’appelle-t-on matrice d’une application linéaire ?

A
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4
Q

Donner la matrice de
Dans les bases canoniques

A
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5
Q

Donner la matrice de
Dans la base canonique

A
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6
Q

Qu’appelle-t-on application linéaire canoniquement associée à une matrice A ?

A
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7
Q
A

u : (x;y) → (x + 3y ; 2x + 4y)

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8
Q

Que peut-on dire de θ

A

θ est un isomorphisme

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9
Q

Comment écrire matriciellement l’image d’un vecteur x€E par une application linéaire u de E dans F ?

A

Mat(u(x))BF = Mat(u)BE;BF × Mat(x)BE

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10
Q

Que vaut la matrice de la composée de deux applications linéaires ?

A
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11
Q

Démontrer que la matrice de la composée est le produit des matrices

A
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12
Q

Comment montrer qu’une application linéaire est un isomorphisme grâce aux matrices ?
Justif

A
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13
Q

Définir le noyau, l’image et le rang d’une matrice A

A
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14
Q

Que peut-on dire de AX, pour X€K^p ?
Justif

A
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15
Q

Quel est le lien entre le rang d’une matrice et le rang d’une application linéaire ?

A
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16
Q

A quoi faut-il faire attention lorsqu’on utilise les propriétés des applications linéaires pour démontrer quelque chose (Ker, Im, etc…)

A

Il faut d’abord montrer que c’est bien une application linéaire

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17
Q

Quelles sont les quatre propositions équivalentes pour A€M_n(K) ?

A

C’est la même propriété que pour les applications linéaires lorsque dim(E) = dim(F), injective ⇔ surjective ⇔ bijective

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18
Q

Qu’est-ce que le théorème du rang matriciel ?

A
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19
Q

Qu’est-ce qu’une matrice inversible à gauche ? À droite ?

A
20
Q

Quelles sont les trois propositions équivalentes au niveau de l’inversibilité d’une matrice A€M_n(K) ?

A
21
Q

Qu’appelle-t-on opération élémentaire sur les colonnes ?

A
22
Q

Que peut-on dire du noyau et de l’image après des opérations élémentaires ?
Comment le justifier ?

A

Pour le justifier, on décompose A en colonnes ou lignes et après les propriétés sont celles du Ker et de l’Im

23
Q

Exprimer AX et XA grâce aux colonnes et aux lignes de A

A

AX = (X×C1(A) | X×C2(A) | … | X×Cn(A))

XA = (L1(A)×X | L2(A)×X | … | Ln(A)×X)

24
Q

Comment le rang d’une matrice est-il modifié après des opérations élémentaires ?

A

Il n’est pas modifié

25
Q

Quel est le lien entre le rang d’une matrice et le rang de sa transposée ?
Que peut-on en déduire ?

A

Donc, on peut déterminer le rang d’une matrice en regardant indifféremment l’espace engendré par ses lignes ou par ses colonnes

26
Q

Comment montrer que A est non inversible en étudiant les colonnes ?
Justif

A
27
Q

Quand une matrice triangulaire est-elle inversible ?
Justif

A

Non nuls*

28
Q

Qu’appelle-t-on matrice de passage ?

A
29
Q

Donner l’expression de P_B;B’
Justif

A
30
Q

Exprimer le lien entre Mat(x) dans BE et BF, grâce à une matrice de passage
Justif

A
31
Q

Qu’est-ce que la propriété du produit de matrices de passage
Justif

A
32
Q

Comment écrire Ci(A) comme le produit de A€M_n;p(K) et d’une matrice ?

A

Ci(A) = A×Ei, avec Ei = (δ_i;j)_j€[|1;p|]

33
Q

Que peut-on dire d’une matrice de passage, niveau inverse ?
Justif

A
34
Q

Donner le lien entre Mat(u)B;C et Mat(u)B’;C’
Justif

A
35
Q

Donner le lien entre Mat(u)B et Mat(u)B’

A
36
Q

Qu’appelle-t-on deux matrices semblables ?

A
37
Q

Comment caractériser deux matrices semblables ?
Justif

A

Deux matrices sont semblables si et seulement si elles représentent un même endomorphisme dans deux bases différentes

38
Q

Quelles sont les propriétés qui se conservent pour deux matrices semblables ?

A
39
Q

Comment déterminer, en pratique, le noyau d’une matrice ?

A

On résout l’ensemble d’équations ligne = 0

40
Q

Qu’est-ce que la propriété du binôme de Newton de composition ?

A
41
Q

Que vaut le rang d’une matrice diagonale ?

A

C’est le nombre de coefficients non nuls

42
Q

Comment déterminer la matrice d’une famille dans une base ?

A

Exprimer la décomposition dans la base de chaque élément de la famille et mettre en matrice

43
Q

Comment déterminer le noyau d’une matrice A/application linéaire u, connaissant le noyau de u/A ?

A

Φ : x → Mat(x)B, est une bijection de Ker(u) dans Ker(A)

Dans un cas on a le vecteur, dans un cas ses cordonnées

44
Q

Comment montrer que deux matrices sont semblables ?

A
  • elles sont images d’un même endomorphisme dans deux bases différentes
  • on détermine P tel que : A = P-1 × B × P
45
Q

Montrer que Ker(p) ⊕ Im(p) = E, avec p un projecteur

A

Soit x€E, x€Ker(p) n Im(p),
Alors on dispose de y€E tel que p(y)=x, par définition de l’image,
Donc, p²(y) = p(x) = 0, par définition d’un projecteur et du noyau,
Par définition d’un projecteur on a également que p(y) = p²(y) = 0,
Donc, x = p(y) = 0,
Donc Ker(p) n Im(p) = {0E},
Donc Ker(p) et Im(p) sont en somme directe

De plus, par théorème du rang, dim(E) = dim(Ker(p)) + dim(Im(p)),

Donc, par propriété, Ker(p) ⊕ Im(p) = E

46
Q

Montrer que, pour p un projecteur et P n’importe quelle matrice associée, rg(p) = Tr(P)

A
  • Si Ker(p) et Im(p) sont tous deux non nuls :
    Soit (e1, …, er) une base de Im(p) et (e(r+1), …, en) une base de Ker(p), alors B = (e1, …, en) est une base de E, car Ker(p) ⊕ Im(p) = E
    Posons M = Mat(p)B,
    ∀k€[|r+1, n|], p(ek) = 0, par définition du noyau
    ∀k€[|1, n|, p(ek) = ek par définition du projecteur
    écrire alors Mat(p)B
    Donc, tr(M) = r = rg(p)
  • Si Ker(p) = {0} :
    De même, M = Id et tr(M) = n = dim(E) = rg(p), par théorème du rang
  • Si Im(p) = {0} :
    p = 0_L(E), donc Tr(M) = 0 = rg(p)

Or, M et P sont deux matrices associées à p, donc sont semblables, donc tr(P) = tr(M) = rg(p)

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