Calcul Matriciel Flashcards
Comment note-t-on l’ensemble des matrices à n lignes et p colonnes à valeurs dans un corps K ?
M_(n,p)(K)
Qu’est-ce que l’ensemble K ?
K = R ou C
Comment sommer deux matrices ?
On somme leurs coefficients
Comment multiplier une matrice par un scalaire ?
On multiplie tous les coefficients par ce scalaire
Qu’est-ce que E_ij, comment l’appelle-t-on ?
Soit (i;j)€[[1;n]]×[[1;p]], on appelle E_ij la matrice dont le coefficient en ligne i et en colonne j vaut 1 et les autres coefficients sont nuls.
On dit que c’est une matrice élémentaire.
Qu’est ce que le symbole de Kronecker ?
On appelle, ∀(k,l)€N², δ_kl = { 1 si k=l • 0 sinon }, symbole de Kronecker de k et l.
Comment exprimer [E_ij]_lk en symbole de kronecker ?
[E_ij]_lk = δ_il × δ_kj
Comment transformer une matrice en double somme ? Justif
Comment note-t-on le coefficient la k-ième ligne et l-ième colonne d’une matrice A ?
[A]_(k;l)
Qu’est-ce que le produit matriciel ?
Que peut-on dire de l’associativité du produit de matrices et de sa distribution ?
Démo pour l’associativité
Qu’est-ce que la transposée d’une matrice ?
Que peut-on dire de la transposée de la somme, de la transposée du produit d’une matrice et d’un scalaire, de la transposée du produit de deux matrices ?
Démontrer la transposée de la somme
Démontrer la transposée du produit de deux matrices
=[TC × TA]_ij
Comment note-t-on l’ensemble des matrices carrées de n lignes et n colonnes ?
Quand dit-on que deux matrices commutent ?
On dit que 2 matrices A et B (carrées de même nombre de lignes/colonnes) commutent si AB=BA
Qu’est-ce que la matrice nulle ? Comment la note-t-on ?
On appelle matrice nulle à n lignes et p colonnes, notée photo, dont tous les coefficients sont nuls.
Qu’appelle-t-on matrice identité ?
Que peut-on dire du produit d’une matrice A€M_n(K) avec I_n, de la transposée de I_n et de la somme de A avec la matrice nulle de M_n(K)
Démontrer le produit d’une matrice A€M_n(K) avec I_n
Quand dit-on qu’une matrice est scalaire ?
Qu’est-ce qu’une matrice symétrique ? Une matrice anti symétrique ? Comment note-t-on l’ensemble des matrices symétriques ? Et l’ensemble des matrices antisymétriques ?
La somme de deux matrices symétriques est-elle symétrique ?
Oui
La multiplication d’une matrice symétrique par un scalaire est-elle symétrique ?
Oui
Le produit de deux matrices symétrique est-il symétrique ?
Non
A quelle condition le produit de deux matrices symétriques est-il symétrique ?
Si les deux matrices commutent
Qu’est-ce qu’une matrice diagonale et comment note-t-on l’ensemble des matrices diagonales ?
Comment note-t-on la matrice diagonale dont les valeurs de la diagonale sont d1, d2, …, dn ?
diag(d1, d2, …, dn)
Qu’est-ce qu’une matrice triangulaire supérieure ? Comment note-t-on l’ensemble des matrices triangulaires supérieures ?
On note T_n++(K) respectivement
Que peut-on dire de la somme de deux matrices diagonales, du produit d’une matrice diagonale par un scalaire, d’une matrice diagonale (par rapport à sa symétrie), du produit de deux matrices diagonales ?
Démontrer la somme de deux matrices diagonales
Démontrer le produit de deux matrices diagonales
Démontrer la somme de deux matrices triangulaires supérieures T et T’
Démontrer le produit de deux matrices triangulaires
Qu’est-ce qu’une puissance de matrice ?
A×A^(k-1)
Comment utiliser le binôme de Newton dans les matrices ?
ne pas introduire k
Quelles sont les différentes manières pour déterminer une puissance n-ième d’une matrice ?
- Séparer en somme d’une matrice scalaire et d’une matrice simple, utiliser le binôme de Newton
- Raisonner par récurrence
- La diagonalisation
- La méthode polynomiale
Qu’est-ce qu’une matrice inversible et son inverse ? Comment note-t-on l’ensemble des matrices inversibles ?
Montrer l’unicité de l’inverse matriciel
Que peut-on dire du produit d’une matrice inversible par un scalaire, par une autre matrice inversible, de sa transposée ? Niveau inverse
Que peut-on dire d’une matrice diagonale et d’une matrice triangulaire supérieure ? Niveau inverse
Comment montrer l’inverse B d’une matrice A ?
Poser B, calculer A×B et montrer que A×B=I=B×A, donc B=A^-1
Comme trouve-t-on la matrice inverse de A par pivot de Gauss ?
On écrit la matrice augmentée (A|I)
On effectue des opérations élémentaires entre les lignes en utilisant la première comme outils pour mettre des 0 dans la première colonne, puis la deuxième pour mettre des 0 dans la deuxième etc…, inversement pour la partie supérieure.
La matrice finale à droite est l’inverse
Qu’est-ce que la diagonalisation ?
C’est transformer une matrice en P-1×D×P avec P une matrice inversible et D une matrice diagonale
Que signifie «intègre» pour un produit ?
Si le produit est égal à 0, l’un des composants vaut 0
Le produit matriciel est-il intègre ?
Non
Comment utiliser le pivot de Gauss dans un système ?
On aligne en colonne les mêmes inconnues, puis on fait comme avec une matrice
Comment déterminer la puissance d’une matrice A par diagonalisation ?
- Mettre A sous la forme P-1×D×P (on peu mettre D sous la forme P×A×P-1) avec P une matrice inversible et D une matrice diagonale
- Pour une matrice diagonale, D^n est la matrice D avec tous les coefficients diagonaux élevés à la puissance n
- A^n = P-1×D^n×P, par récurrence
Qu’est-ce que la méthode polynomiale pour déterminer l’expression de la puissance n-ième d’une matrice A ?
- Déterminer un polynôme P(X) dont A est une racine
- Faire la division euclidienne de X^n par P(X) et écrire R(X) sous sa forme polynomiale (condition sur son degré) en faisant attention au fait que les coefficients dépendent de n
- Évaluation aux racines réelles de P(X) pour trouver l’expression de R(X)
- Remplacer X par A, on a alors A^n = R(A) car P(A)=0
- Finir les calculs pour trouver l’expression de A^n
Qu’appelle-t-on trace d’une matrice ?
On appelle trace de A, notée Tr(A), la somme de ses coefficients diagonaux
Que peut-on dire de la trace de la combinaison linéaire de matrices ?
C’est la combinaison linéaire des traces
Que peut-on dire de la trace du produit de deux matrices ?
Tr(AB) = Tr(BA)
E_ij × E_pq = ?
δ_jp × E_iq
Comment calculer les puissances d’une matrice de ce type ?
On «pousse» à chaque fois la diagonale de 1 vers l’extérieur
