Brainscape's Knowledge GenomeTM

Browse over 1 million classes created by top students, professors, publishers, and experts.


See full index

Maths SUP > Bases Mathematiques > Flashcards

Bases Mathematiques Flashcards

1
Q

Qu’est-ce qu’une proposition ?

A

Une proposition est une phrase logique, construite à partir de propositions élémentaires.

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
2
Q

Qu’est-ce qu’une implication ?

A

Soient P et Q des propositions, P implique Q signifie «non P ou Q» (jamais aucun des deux)

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
3
Q

Qu’est-ce que la réciproque ?

A

Soient P et Q des propositions, la réciproque de P ⇒ Q est : Q ⇒ P

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
4
Q

Qu’est-ce qu’une équivalence ?

A

Soient P et Q des propositions, «P ⇔ Q» signifie «P ⇒ Q et Q ⇒ P»

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
5
Q

Qu’est-ce qu’une condition nécessaire, et une condition suffisante ?

A

Soient P et Q des propositions, si P ⇒ Q, alors P est une condition suffisante pour Q, et Q est une condition nécessaire pour P

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
6
Q

Qu’est-ce que le quantificateur universel et le quantificateur existentiel ?

A

Le quantificateur universel est «pour tout» (∀), le quantificateur existentiel est «il existe» (∃)

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
7
Q

Peut-on intervertir les quantificateurs différents ?

A

❌❌❌

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
8
Q

Comment rédiger la démonstration d’une proposition mettant en jeu un «pour tout» ?

A

Soit x€E, montrons P(x)
…
En conclusion, ∀x€E, P(x)

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
9
Q

Faut-il réintroduire les variables muettes, si on les utilise en dehors de la formule ?

A

✅✅✅, car elle ne sont définies que pour leur formule

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
10
Q

À quoi faut-il faire attention dans une démonstration ?

A
  • faire une étape par ligne
  • bien séparer le langage français des mathématiques par , ou :
  • si une des hypothèse de départ n’est pas exploitée c’est qu’il y’a un problème
  • toujours introduire les variables avant de raisonner
  • toujours bien expliquer ce que l’on fait
How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
11
Q

Comment rédiger une proposition mettant en jeu un «il existe» ?

A

Posons x=l’élément qui convient, montrons que x vérifie P(x)
vérifier que x convient
En conclusion : il existe un x€E tel que P(x)

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
12
Q

Soit P une proposition, non(non P) équivaut à

A

P

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
13
Q

Soient P et Q des propositions, non(P ou Q) équivaut à

A

non P et non Q

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
14
Q

Soient P et Q des propositions, non(P et Q) équivaut à

A

non P ou non Q

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
15
Q

Soient P et Q des propositions, non(P ⇒ Q) ⇔ ?

A

P et non Q

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
16
Q

Comment démontrer des relations entre propositions ?

A

Utiliser leurs définitions pour avancer étape par étape, en citant bien «par définition»

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
17
Q

Comment nier une proposition ?

A
  1. Changer les ou en et, et inversement
  2. Changer les «il existe» en «pour tout», et inversement
  3. Nier la conclusion
How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
18
Q

Soient P et Q des propositions, comment montrer que P ⇒ Q ? Rédaction

A

Montrons que : P ⇒ Q :
Supposons P,
partir de P pour arv a Q
En conclusion : P ⇒ Q

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
19
Q

Soit P et Q des propositions, montrer que : (P ⇒ Q) ⇔ (non Q ⇒ non P) ?

A

(non Q ⇒ non P) ⇔ (non(non Q) ou non P) ⇔ (Q ou non P)
Or, ( P ⇒ Q ) ⇔ (Q ou non P)
En conclusion : ( P ⇒ Q) ⇔ ( non Q ⇒ non P )

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
20
Q

Comment raisonner par contraposée ?

A

Montrons que : P ⇒ Q :
En raisonnant par contraposée,
montrer que non Q ⇒ non P
On en conclut par contraposée que : P ⇒ Q

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
21
Q

Soit A et B des propositions, comment montrer que A ⇔ B ?

A
  1. Montrer que A ⇒ B puis que B ⇒ A
  2. Montrer direct par équivalence
How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
22
Q

Comment montrer qu’une proposition est vraie par l’absurde ?

A

Supposons par l’absurde que … est fausse,
montrer que c’est absurde dans tout les cas
On en conclut pas l’absurde que : …

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
23
Q

Comment raisonner par récurrence ?

A

Montrons que P_n «…» est vraie pour tout n€N.

Initialisation :
Montrons que P_0 est vraie : … montrer que P0 est vraie

Hérédité :
Soit n€N, supposons que P_n soit vraie, montrons que P_n+1 est vraie :
«D’après l’hypothèse de récurrence»
montrer que Pn => Pn+1

En conclusion, Pn est vraie pour tout n€N, par principe de récurrence.

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
24
Q

Comment raisonner et rédiger pour montrer l’unicité sur un ensemble E d’une propriété P(x) ?

A

Soit (x;x’)€E^2, tels que P(x) et P(x’),
montrer que x=x’

En conclusion, il existe un unique élément de E tel que P(x)

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
25
Q

Comment raisonner par disjonction et comment rédiger?

A

Pour montrer une proposition qui se décompose en plusieurs cas on prends les cas 1 par 1 et on montre la proposition :
Raisonnons par disjonction sur l’élément qui différencie les cas
- cas 1 : …
…
- cas n : …
donc, par disjonction des cas, propositon

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
26
Q

Quels sont les ensembles de nombres classiques et leurs notations ?

A

Ensemble des entiers naturels : N
Ensemble des entiers relatifs : Z
Ensemble des décimaux : D
Ensemble des rationnels : Q
Ensemble des réels : R
Ensemble des complexes : C
Ensemble vide : ∅

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
27
Q

Qu’est-ce que la notation en compréhension, prendre R+ comme exemple ?

A

Décrire notre ensemble comme une partie d’un ensemble E plus grand vérifiant qlq conditions :
{x€E | conditions}

Pour R+: {x€R | x ≥ 0}

28
Q

Qu’est-ce que la notation en extension, prendre R+ comme exemple ?

A

Décrire l’ensemble par la liste de ses éléments : {forme de l’élément, introduction des variables et conditions}

Pour R+ : {x, x€R, x>=0}

29
Q

Soient E et F deux ensembles, que signifie E inclus dans F ?

A

Pour tout x€E, x€F

30
Q

Soient E et F des ensembles, quand dit-on que E=F ?

A

E ⊂ F et F ⊂ E

31
Q

Comment montrer que E ⊂ F avec E et F deux ensembles ?

A

Montrons que E⊂F:
Soit x€E,
montrer que x€F
Donc pour tout x€E, x€F,
En conclusion, E ⊂ F

32
Q

Soient E et F des ensembles, qu’est-ce que l’union de E et F ?

A

L’ensemble qui contient les éléments appartenant à et E ou à F : x€(EUF) <=> x€E ou x€F

33
Q

Soient E et F des ensembles, qu’est-ce que l’intersection de E et F ?

A

L’ensemble qui contient les éléments appartenant à E et à F : x€(EnF) <=> x€E et x€F

34
Q

Qu’est-ce que le complémentaire de E par rapport à A, avec E et A des ensembles ?

A

Soit A contenant E, on appelle complémentaire de E dans A (A\E ou [_A(E)) l’ensemble qui contient tous les éléments de A appartenant pas à E :
Pour tout x€A, x€A\E <=> x ∉ E

35
Q

A\(A\E)=

A

E

36
Q

A\(EnF)=

A

A\E U A\F

37
Q

A\(EUF)=

A

A\E n A\F

38
Q

Qu’est-ce que le produit cartésien de E et F ?

A

E×F={(x;y), x€E, y€F}

39
Q

Qu’est-ce que P(E) avec E un ensemble ? Prendre E={0;1} comme exemple

A

L’ensemble des parties de E, attention c’est un ensemble d’ensembles ! Ne pas oublier ∅ !
P({0;1)={∅, {0}, {1}, {0,1}}

40
Q

Qu’est-ce qu’une partition d’un ensemble E ?

A

Une partition de E est un sous ensemble de P(E) dont les éléments sont non vides, deux à deux disjoints et dont la réunion est égale à E.

41
Q

Comment noter l’ensemble des fonctions de E dans F ?

A

F^E ou F(E,F) (premier F bizarre)

42
Q

Qu’est-ce que E et F pour une fonction f€F(E,F) ?

A

E est l’ensemble de départ / domaine de définition
F est l’ensemble d’arrivée

43
Q

Soit E et F deux ensembles et f€F(E,F), qu’est ce qu’une restriction de f à E’ ?

A

f|_E’ de E’ dans F et qui à x associe f(x)

44
Q

Soit E et F deux ensembles, et f€F(E’,F), qu’est ce qu’un prolongement de f à E ?

A

Un prolongement de f à E est une fonction g€F(E;F) telle que g|_E’=f

45
Q

Comment rédiger pour montrer qu’une proposition avec un ∀ est fausse ? (Contre exemple)

A

Montrons que P(x) fausse :
Posons x=…
montrer que pour x=…, P(x) fausse
En conclusion : P(x) fausse

46
Q

Qu’est-ce que la fonction identité ?

A

∀x€E, Id(x)=x

47
Q

Qu’est-ce que la fonction indicatrice de A, avec A un sous ensemble de E ?

A

La fonction indicatrice de A, notée 1_A est la fonction de E sur {0;1} qui à x associe : 1 si x€A et 0 si x∉A

48
Q

1_(AnB)=…

A

1_A * 1_B

49
Q

1_(AUB)=…

A

1_A + 1_B - 1_A * 1_B

50
Q

Soit E un ensemble, A une partie de E, 1_E\A=…

A

1-1_A

51
Q

Soit A un sous ensemble de E, f une fonction de E dans F, qu’est-ce que l’image directe de A par f ?

A

f(A)={f(x), x€A}
Donc f(A) ⊂ F

52
Q

Soit E et F deux ensembles, f€F^E, pour tout (A,B)€P(E)^2, f(AUB)=..?

A

f(AUB) = f(A) U f(B)

53
Q

Soient E et F deux ensembles, f€F(E;F) et un ensemble B ⊂ F, qu’est-ce que l’image réciproque de B par f ?

A

f^<-1>(B)={x€E|f(x)€B}
f^<-1>(B) ⊂ E

54
Q

Soient E et F deux ensembles, f€F(E;F) et deux ensembles A et B inclus dans F, qu’est-ce que l’image réciproque de AUB par f ? (f^<-1>(AUB))

A

f^<-1>(A) U f^<-1>(B)

55
Q

Soient E et F deux ensembles, f€F(E;F) et deux ensembles A et B inclus dans F, qu’est-ce que l’image réciproque de AnB par f ? (f^<-1>(AnB))

A

f^<-1>(A) n f^<-1>(B)

56
Q

Qu’est-ce qu’une fonction injective ?

A

Soit E et F deux ensembles, f€F(E,F), on dit que f est injective de E dans F si : pour tout (x;x’)€E^2, (f(x)=f(x’))=>x=x’
(Unicité de l’antécédent)

Cad que tout élément de l’ensemble arrivée admet au plus un antécédent dans l’ensemble de départ par la fonction f.

57
Q

Qu’est-ce qu’une fonction surjective ?

A

Soit E et F deux ensembles, f€F(E,F), on dit que f est surjective de E dans F si : pour tout y€F, il existe x€E, y=f(x)
(Existence de l’antécédent)

Cad que tout élément de l’ensemble arrivée admet au moins un antécédent dans l’ensemble de départ par la fonction f.

58
Q

Comment modifier les ensembles de définition d’une fonction pour la rendre injective ?

A

On restreint l’ensemble de départ

59
Q

Comment modifier les ensembles de définition d’une fonction pour la rendre surjective ?

A

On restreint l’ensemble d’arrivée

60
Q

Qu’est-ce qu’une fonction bijective ?

A

Soit E et F deux ensembles, f€F(E,F), on dit que f est bijective de E dans F si : pour tout y€F, il existe un unique x€E, y=f(x)
(Existence + unicité de l’antécédent)

Cad que tout élément de l’ensemble arrivée admet exactement un antécédent dans l’ensemble de départ par la fonction f. (Injective et surjective)

61
Q

Soient E,F,G des ensembles, f€F(E,F) et g€F(F,G), qu’est-ce que la composée de g et f ?

A

Notée gof€F(E,G), gof(x)=g(f(x))
Attention ! fog≠gof
Dans le cas ou fog=gof, on dit que f et g commutent

62
Q

Soient E un ensemble et f€F(E,E), qu’est-ce que la composée n-ième de f ?

A

Notée f^n, f^0=Id et f^(n)=fof^(n-1)

63
Q

Soient E,F,G des ensembles, f€F(E,F) et g€(F,G), quand la composée de g et f est-elle injective ? Surjective ? Bijective ? (De E sur G)

A

Si f injective de E dans F et g injective de F dans G, alors gof est injective de E dans G.

Si f surjective de E sur F et g surjective de F sur G, alors gof est surjective de E sur G.

Si f bijective de E sur F et g bijective de F sur G, alors gof est bijective de E sur G.

64
Q

Comment traduire x€S avec S=U<i€Z>E_i avec E_i des ensembles ?

A

x€S <=> ∃i€Z, x€E_i

65
Q

Comment traduire x€S avec S=n<i€Z>E_i avec E_i des ensembles ?

A

x€S <=> ∀i€Z, x€E_i

Maths SUP (24 decks)

Brainscape helps you reach your goals faster, through stronger study habits.
© 2024 Bold Learning Solutions. Terms and Conditions