Bases Mathematiques Flashcards by Gaspard de Saint Sernin

Qu’est-ce qu’une proposition ?

Une proposition est une phrase logique, construite à partir de propositions élémentaires.

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Qu’est-ce qu’une implication ?

Soient P et Q des propositions, P implique Q signifie «non P ou Q» (jamais aucun des deux)

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Qu’est-ce que la réciproque ?

Soient P et Q des propositions, la réciproque de P ⇒ Q est : Q ⇒ P

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Qu’est-ce qu’une équivalence ?

Soient P et Q des propositions, «P ⇔ Q» signifie «P ⇒ Q et Q ⇒ P»

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Qu’est-ce qu’une condition nécessaire, et une condition suffisante ?

Soient P et Q des propositions, si P ⇒ Q, alors P est une condition suffisante pour Q, et Q est une condition nécessaire pour P

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Qu’est-ce que le quantificateur universel et le quantificateur existentiel ?

Le quantificateur universel est «pour tout» (∀), le quantificateur existentiel est «il existe» (∃)

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Peut-on intervertir les quantificateurs différents ?

❌❌❌

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Comment rédiger la démonstration d’une proposition mettant en jeu un «pour tout» ?

Soit x€E, montrons P(x)
…
En conclusion, ∀x€E, P(x)

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Faut-il réintroduire les variables muettes, si on les utilise en dehors de la formule ?

✅✅✅, car elle ne sont définies que pour leur formule

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À quoi faut-il faire attention dans une démonstration ?

faire une étape par ligne
bien séparer le langage français des mathématiques par , ou :
si une des hypothèse de départ n’est pas exploitée c’est qu’il y’a un problème
toujours introduire les variables avant de raisonner
toujours bien expliquer ce que l’on fait

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Comment rédiger une proposition mettant en jeu un «il existe» ?

Posons x=l’élément qui convient, montrons que x vérifie P(x)
vérifier que x convient
En conclusion : il existe un x€E tel que P(x)

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Soit P une proposition, non(non P) équivaut à

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Soient P et Q des propositions, non(P ou Q) équivaut à

non P et non Q

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Soient P et Q des propositions, non(P et Q) équivaut à

non P ou non Q

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Soient P et Q des propositions, non(P ⇒ Q) ⇔ ?

P et non Q

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Comment démontrer des relations entre propositions ?

Utiliser leurs définitions pour avancer étape par étape, en citant bien «par définition»

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Comment nier une proposition ?

Changer les ou en et, et inversement
Changer les «il existe» en «pour tout», et inversement
Nier la conclusion

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Soient P et Q des propositions, comment montrer que P ⇒ Q ? Rédaction

Montrons que : P ⇒ Q :
Supposons P,
partir de P pour arv a Q
En conclusion : P ⇒ Q

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Soit P et Q des propositions, montrer que : (P ⇒ Q) ⇔ (non Q ⇒ non P) ?

(non Q ⇒ non P) ⇔ (non(non Q) ou non P) ⇔ (Q ou non P)
Or, ( P ⇒ Q ) ⇔ (Q ou non P)
En conclusion : ( P ⇒ Q) ⇔ ( non Q ⇒ non P )

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Comment raisonner par contraposée ?

Montrons que : P ⇒ Q :
En raisonnant par contraposée,
montrer que non Q ⇒ non P
On en conclut par contraposée que : P ⇒ Q

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Soit A et B des propositions, comment montrer que A ⇔ B ?

Montrer que A ⇒ B puis que B ⇒ A
Montrer direct par équivalence

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Comment montrer qu’une proposition est vraie par l’absurde ?

Supposons par l’absurde que … est fausse,
montrer que c’est absurde dans tout les cas
On en conclut pas l’absurde que : …

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Comment raisonner par récurrence ?

Montrons que P_n «…» est vraie pour tout n€N.

Initialisation :
Montrons que P_0 est vraie : … montrer que P0 est vraie

Hérédité :
Soit n€N, supposons que P_n soit vraie, montrons que P_n+1 est vraie :
«D’après l’hypothèse de récurrence»
montrer que Pn => Pn+1

En conclusion, Pn est vraie pour tout n€N, par principe de récurrence.

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Comment raisonner et rédiger pour montrer l’unicité sur un ensemble E d’une propriété P(x) ?

Soit (x;x’)€E^2, tels que P(x) et P(x’),
montrer que x=x’

En conclusion, il existe un unique élément de E tel que P(x)

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Comment raisonner par disjonction et comment rédiger?

Pour montrer une proposition qui se décompose en plusieurs cas on prends les cas 1 par 1 et on montre la proposition : Raisonnons par disjonction sur *l’élément qui différencie les cas* - cas 1 : … … - cas n : … donc, par disjonction des cas, *propositon*

Quels sont les ensembles de nombres classiques et leurs notations ?

Ensemble des entiers naturels : N Ensemble des entiers relatifs : Z Ensemble des décimaux : D Ensemble des rationnels : Q Ensemble des réels : R Ensemble des complexes : C Ensemble vide : ∅

Qu’est-ce que la notation en compréhension, prendre R+ comme exemple ?

Décrire notre ensemble comme une partie d’un ensemble E plus grand vérifiant qlq conditions : {x€E | *conditions*} Pour R+: {x€R | x ≥ 0}

Qu’est-ce que la notation en extension, prendre R+ comme exemple ?

Décrire l’ensemble par la liste de ses éléments : {*forme de l’élément*, *introduction des variables et conditions*} Pour R+ : {x, x€R, x>=0}

Soient E et F deux ensembles, que signifie E inclus dans F ?

Pour tout x€E, x€F

Soient E et F des ensembles, quand dit-on que E=F ?

E ⊂ F et F ⊂ E

Comment montrer que E ⊂ F avec E et F deux ensembles ?

Montrons que E⊂F: Soit x€E, *montrer que x€F* Donc pour tout x€E, x€F, En conclusion, E ⊂ F

Soient E et F des ensembles, qu’est-ce que l’union de E et F ?

L’ensemble qui contient les éléments appartenant à et E ou à F : x€(EUF) <=> x€E ou x€F

Soient E et F des ensembles, qu’est-ce que l’intersection de E et F ?

L’ensemble qui contient les éléments appartenant à E et à F : x€(EnF) <=> x€E et x€F

Qu’est-ce que le complémentaire de E par rapport à A, avec E et A des ensembles ?

Soit A contenant E, on appelle complémentaire de E dans A (A\E ou [_A(E)) l’ensemble qui contient tous les éléments de A appartenant pas à E : Pour tout x€A, x€A\E <=> x ∉ E

A\\(A\E)=

A\\(EnF)=

A\E U A\F

A\\(EUF)=

A\E n A\F

Qu’est-ce que le produit cartésien de E et F ?

E×F={(x;y), x€E, y€F}

Qu’est-ce que P(E) avec E un ensemble ? Prendre E={0;1} comme exemple

L’ensemble des parties de E, attention c’est un ensemble d’ensembles ! Ne pas oublier ∅ ! P({0;1)={∅, {0}, {1}, {0,1}}

Qu’est-ce qu’une partition d’un ensemble E ?

Une partition de E est un sous ensemble de P(E) dont les éléments sont non vides, deux à deux disjoints et dont la réunion est égale à E.

Comment noter l’ensemble des fonctions de E dans F ?

F^E ou F(E,F) (premier F bizarre)

Qu’est-ce que E et F pour une fonction f€F(E,F) ?

E est l’ensemble de départ / domaine de définition F est l’ensemble d’arrivée

Soit E et F deux ensembles et f€F(E,F), qu’est ce qu’une restriction de f à E’ ?

f|_E’ de E’ dans F et qui à x associe f(x)

Soit E et F deux ensembles, et f€F(E’,F), qu’est ce qu’un prolongement de f à E ?

Un prolongement de f à E est une fonction g€F(E;F) telle que g|_E’=f

Comment rédiger pour montrer qu’une proposition avec un ∀ est fausse ? (Contre exemple)

Montrons que P(x) fausse : Posons x=… *montrer que pour x=…, P(x) fausse* En conclusion : P(x) fausse

Qu’est-ce que la fonction identité ?

∀x€E, Id(x)=x

Qu’est-ce que la fonction indicatrice de A, avec A un sous ensemble de E ?

La fonction indicatrice de A, notée 1_A est la fonction de E sur {0;1} qui à x associe : 1 si x€A et 0 si x∉A

1_(AnB)=…

1_A * 1_B

1_(AUB)=…

1_A + 1_B - 1_A * 1_B

Soit E un ensemble, A une partie de E, 1_E\A=…

1-1_A

Soit A un sous ensemble de E, f une fonction de E dans F, qu’est-ce que l’image directe de A par f ?

f(A)={f(x), x€A} Donc f(A) ⊂ F

Soit E et F deux ensembles, f€F^E, pour tout (A,B)€P(E)^2, f(AUB)=..?

f(AUB) = f(A) U f(B)

Soient E et F deux ensembles, f€F(E;F) et un ensemble B ⊂ F, qu’est-ce que l’image réciproque de B par f ?

f^<-1>(B)={x€E|f(x)€B} f^<-1>(B) ⊂ E

Soient E et F deux ensembles, f€F(E;F) et deux ensembles A et B inclus dans F, qu’est-ce que l’image réciproque de AUB par f ? (f^<-1>(AUB))

f^<-1>(A) U f^<-1>(B)

Soient E et F deux ensembles, f€F(E;F) et deux ensembles A et B inclus dans F, qu’est-ce que l’image réciproque de AnB par f ? (f^<-1>(AnB))

f^<-1>(A) n f^<-1>(B)

Qu’est-ce qu’une fonction injective ?

Soit E et F deux ensembles, f€F(E,F), on dit que f est injective de E dans F si : pour tout (x;x’)€E^2, (f(x)=f(x’))=>x=x’ (Unicité de l’antécédent) Cad que tout élément de l’ensemble arrivée admet au plus un antécédent dans l’ensemble de départ par la fonction f.

Qu’est-ce qu’une fonction surjective ?

Soit E et F deux ensembles, f€F(E,F), on dit que f est surjective de E dans F si : pour tout y€F, il existe x€E, y=f(x) (Existence de l’antécédent) Cad que tout élément de l’ensemble arrivée admet au moins un antécédent dans l’ensemble de départ par la fonction f.

Comment modifier les ensembles de définition d’une fonction pour la rendre injective ?

On restreint l’ensemble de départ

Comment modifier les ensembles de définition d’une fonction pour la rendre surjective ?

On restreint l’ensemble d’arrivée

Qu’est-ce qu’une fonction bijective ?

Soit E et F deux ensembles, f€F(E,F), on dit que f est bijective de E dans F si : pour tout y€F, il existe un unique x€E, y=f(x) (Existence + unicité de l’antécédent) Cad que tout élément de l’ensemble arrivée admet exactement un antécédent dans l’ensemble de départ par la fonction f. (Injective et surjective)

Soient E,F,G des ensembles, f€F(E,F) et g€F(F,G), qu’est-ce que la composée de g et f ?

Notée gof€F(E,G), gof(x)=g(f(x)) Attention ! fog≠gof Dans le cas ou fog=gof, on dit que f et g commutent

Soient E un ensemble et f€F(E,E), qu’est-ce que la composée n-ième de f ?

Notée f^n, f^0=Id et f^(n)=fof^(n-1)

Soient E,F,G des ensembles, f€F(E,F) et g€(F,G), quand la composée de g et f est-elle injective ? Surjective ? Bijective ? (De E sur G)

Si f injective de E dans F et g injective de F dans G, alors gof est injective de E dans G. Si f surjective de E sur F et g surjective de F sur G, alors gof est surjective de E sur G. Si f bijective de E sur F et g bijective de F sur G, alors gof est bijective de E sur G.

Comment traduire x€S avec S=UE_i avec E_i des ensembles ?

x€S <=> ∃i€Z, x€E_i

Comment traduire x€S avec S=nE_i avec E_i des ensembles ?

x€S <=> ∀i€Z, x€E_i