Nombres complexes

Question 1

Soit (z;z’)€C2, quelle est la résolution de z=z’ ?

Answer 1

z=z’ <=> Re(z)=Re(z’) et Im(z)=Im(z’)

Question 2

Soit z€C, quelle est la résolution de z=/z ?

Answer 2

z=/z <=> Im(z)=Im(/z)=0 <=> z€R

Question 3

Soit z€C, quelle est la résolution de z=-/z ?

Answer 3

z=-/z <=> Re(z)=Re(-/z)=0 <=> z€iR

Question 4

Qu’est-ce que l’ensemble des imaginaires purs ?

Answer 4

iR={ia, a€R}

Question 5

Soient (z;z’)€C2, a€R, Re(z+az’)=…

Answer 5

Re(z)+a*Re(z’)

Question 6

Soient z€C, Re(/z)=…

Answer 6

Re(z)

Question 7

Soient (z;z’)€C2, est-ce que Re(z)=Re(z’) ?

Answer 7

❌❌❌

Question 8

Soit z€C, qu’est-ce que le module de z ?

Answer 8

Posons (x;y)€R2 tels que : z=x+iy,
On appelle module de z, noté |z|=sqrt(x^2 + y^2).
Cela correspond à «la distance entre 0 et z»

Question 9

Soit z€C, z × /z=…

Answer 9

|z|²

Question 10

Soit z€C, |/z|=…

Answer 10

|z|

Question 11

Soit z€C et a€R, |az|=…

Answer 11

|a|*|z|

Question 12

Qu’est-ce que la formule de polarisation ?

Answer 12

Soient (z1;z2)€C,

|z1+z2|^2=|z1|^2 + 2*Re(z1.z2) + |z2|^2

Question 13

Soient (z;z’)€C2, quelles sont les 4 inégalités classiques dans C (et leurs cas d’égalité) ?

Answer 13

|Re(z)|<= |z| — égalité si z€R
|Im(z)| <= |z| — égalité si z€iR
|z + z’| <= |z| + |z’| — égalité si z=az’, avec a€R+
||z| - |z’|| <= |z - z’|

Question 14

Qu’est-ce que l’affixe d’un point M€R2 ? (Définition de l’affixe)

Answer 14

Soit (x;y)€R2 tel que (x;y) soient les coordonnées de M,
On appelle affixe de M, z€C tel que z=x+iy

Question 15

Soit z€C, qu’est-ce que le point du plan associé à z ? (Définition du point du plan)

Answer 15

Soient (x;y)€R2 tels que z=x+iy,
On appelle point du plan associé à z le point M€R2 de coordonnées (x;y)

Question 16

Quel est l’affixe du symétrique de A par rapport à l’axe des abscisse ?

Answer 16

/z_A

Question 17

Quelle est la distance entre deux points A et B du plan (en fonction leurs affixes) ?

Answer 17

|z_B - z_A|

Question 18

Quel est le point du plan associé à /z_A ?

Answer 18

Le symétrique de A par rapport à l’axe des abscisses

Question 19

On cherche un ensemble de complexes vérifiant une proposition, on dispose donc d’une équation du seconde degré, quelles formes d’équations doit-on chercher à obtenir ?

Answer 19

Équation de droite / équation de cercle

Question 20

Lorsqu’il est possible de déterminer que z€R, est-ce la meilleure chose à faire ?

Answer 20

✅✅✅

Question 21

Que signifie-t-il de dire que 3 points d’affixes z1, z2 et z3 sont alignés ?

Answer 21

Cela signifie que les vecteurs sont colinéaires, ainsi |z2 - z1|=k * |z3 - z1|, avec k€R

Question 22

Comment procéder pour déterminer le cosinus et le sinus d’un complexe dont on connait le carré z’ ?

Answer 22

1. Écrire z’=z²
2. Écrire z sous forme algébrique
3. En déduire un système d’égalité de partie réelle et partie imaginaire
4. Ajouter cos(θ)² + sin(θ)² =|z|² =1
5. Résoudre le système d’équations

Question 23

Qu’est-ce que la méthode de l’arc moitié ? Quand l’utilise-t-on ?

Answer 23

On l’utilise quand on a une somme de complexes de même modules :

Soient (A;B)€R2,

exp(iA) + exp(iB) =

= exp(i(A+B)/2) × [exp(i(A-B)/2) + exp(i(B-A)/2)]

= exp(i(A+B)/2) × 2Re(exp(i(A-B)/2)), car conjugués

= 2.cos((A-B)/2) × exp(i(A+B)/2)

On a donc le module et l’argument

Question 24

Qu’est-ce que l’exponentielle d’un imaginaire pur ?

Answer 24

Soit t€iR, on note exp(it) le complexe cos(t)+i*sin(t).
Ainsi, exp(it) est l’affixe du point M du cercle trigo avec un angle t (image)

Question 25

exp(-iθ)=…
Justif

Answer 25

¥t€R, exp(-iθ)=/exp(iθ)=1/exp(iθ)

Soit t€R, exp(-iθ)=…=/exp(iθ) par def
Et exp(iθ)*/exp(iθ)=|exp(iθ)|^2=1 (car exp(iθ)€U),
Donc /exp(iθ)=1/exp(iθ)

Question 26

|exp(it)|=…
Justif

Answer 26

¥t€R, |exp(it)|=1, c’est-à-dire |exp(it)|€U

Soit t€R, exp(it)=…
Donc |exp(it)|=…=1

Question 27

t |—> exp(it) est-elle injective de R sur U ?
Justif

Answer 27

t |—> exp(it) n’est pas injective de R sur U :

Posons x=0 et x’=2π,
Alors exp(i0)=…=1 et exp(i2π)=…=1,
Donc x≠x’ et exp(ix)=exp(ix’), donc t |—> exp(it) n’est pas injective

Question 28

θ |—> exp(iθ) est-elle surjective de R sur U ?
Justif

Answer 28

t |—> exp(it) est surjective de R sur U :

Soit z€U,
Par définition z est l’affixe d’un point M du cercle trigonométrique,
Posons θ€R tel que θ=(Ox;OM),
Par définition du cosinus et du
sinus, (cos(θ);sin(θ)) sont les coordonnées de M,
Donc par définition d’un affixe,
z=cos(θ) + i.sin(θ) =exp(iθ),
En conclusion, θ|—>exp(iθ) est surjective de R sur U

Question 29

Dans quel intervalle θ |—> exp(iθ) est-elle injective sur U ?
Justif

Answer 29

[0;2π[ dans U :

Soient (x;x’)€[0;2π[,
Supposons exp(ix)=exp(ix’), montrons que x=x’ :
Par définition, cos(x) + i.sin(x)= cos(x’) + i.sin(x’),
Or (cos(x);sin(x);cos(x’);sin(x’))€R4 donc cos(x)=cos(x’) et sin(x)=sin(x’),
Donc : x ≡ x’[2π] ou x ≡ x’[2π], et, x ≡ x’[2π] ou x ≡ π-x’ [2π],
Disjonction sur les 2 premières possibilités pour déterminer laquelle des deux dernières à chaque fois
…,
Conclure x=x’ donc θ |—> exp(iθ) injective de [0;2π[ dans U

Question 30

exp(i(θ+φ))=… ?
Justif

Answer 30

exp(iθ)*exp(iφ) :

Soit (θ;φ)€R2, exp(iθ)*exp(iφ)=…=…(formules d’addition dans l’autre sens)=exp(i(θ+φ))

Question 31

Que sont les formules d’Euler ?

Answer 31

Soit θ€R,

(exp(iθ) + exp(-iθ))/2 = cos(θ)

Et

(exp(iθ) - exp(-iθ))/2i = sin(θ)

Question 32

Comment linéariser une expression trigonométrique ?

Answer 32

1. Utiliser la formule d’Euler sur cos et sin
2. Développer avec le binôme de Newton
3. Regrouper tous les termes possible par Euler

Question 33

Que signifie linéariser une expression trigonométrique de la forme cos(x)^p + i*sin(x)^q ? (Avec (p;q)€N2 et x€R)

Answer 33

Écrire cette expression comme une combinaison linéaire de cos(kx) et sin(k’x), (k;k’)€R2

Question 34

Quand utiliser l’arc moitié ?

Answer 34

Lorsqu’il y a une somme d’exponentielles complexes, que l’on veut déterminer module et argument

Question 35

Qu’est-ce que la formule de Moivre ?
Comment démontrer ?

Answer 35

Soient θ€R, n€Z,

Alors exp(inθ)=exp(iθ)^n

Se démontre par récurrence

Question 36

Comment exprimer cos(nx) ou sin(nx) comme un polynôme en cos(x) ou sin(x) ?

Answer 36

1. cos(nx)=Re(exp(ix)^n) par Moivre
2. Formule du binôme pour écrire cos(nx)=…

Question 37

Qu’est-ce qu’un argument d’un complexe ? Combien en existe-t-il est pourquoi ?

Answer 37

Soit z€C* et θ€R, on dit que θ est un argument de z si z/|z|=exp(iθ), il en existe un infinité car f:θ|—>exp(iθ) est 2π-périodique

Question 38

Qu’est-ce que l’argument principal d’un complexe ?

Answer 38

Soit z€C*, on appelle argument principal de z (noté arg(z)) l’unique argument de z appartenant à [0;2π[

Question 39

Soit (z;z’)€C2, exprimer arg(z*z’) en fonction de arg(z) et arg(z’) ?

Answer 39

Arg(z*z’) ≡ arg(z)+arg(z’) [2π]

Question 40

Soit (z;z’)€C2, exprimer arg(z/z’) en fonction de arg(z) et arg(z’) ?

Answer 40

arg(z/z’) ≡ arg(z)-arg(z’) [2π]

Question 41

Soit z€C, λ€R+, exprimer arg(λz) en fonction de arg(z) ?

Answer 41

arg(λz) ≡ arg(z) [2π]

Question 42

Soit z€R+, arg(z)=… ?

Answer 42

arg(z)=0

Question 43

Soit z€R-, arg(z)=… ?

Answer 43

arg(z)=π

Question 44

Qu’est-ce que la forme exponentielle de z pour z€C* ?

Answer 44

z=r*exp(iθ), r le module de z et θ un argument de z.

Question 45

Comment montrer l’unicité de la forme exponentielle, à 2π près pour l’argument ?

Answer 45

Soient (r;r’)€(R*+)2, (θ;θ’)€R2,
Supposons z=r.exp(iθ)=r’.exp(iθ’) et montrons que r=r’ et θ=θ’[2π] :
|z|=|r|.|exp(iθ)|=|r’|.|exp(iθ’)|=|r|=|r’|=r=r’
Car r>0 et r’>0 et (exp(iθ);exp(iθ’))€U2,
Donc r.exp(iθ)=r.exp(iθ’) <=> exp(iθ)=exp(iθ’) <=> θ=θ’[2π]

Question 46

Comment passer de la forme exponentielle à la forme algébrique ?

Answer 46

Soit z€C* , si z=ρ.exp(iθ) avec ρ€R*+, θ€R,
z=ρ(cos(θ)+i.sin(θ)
z=ρ.cos(θ) + i.ρ.sin(θ)
Par identification,
Re(z)=ρ.cos(θ) et Im(z)=ρ.sin(θ)

Question 47

Comment passer de la forme algébrique à la forme exponentielle ?

Answer 47

Soit z€C*, (x;y)€R2, z=x+i.y,
|z|=sqrt(x2 + y2),
Or, z=|z| * exp(iθ), donc x+iy=sqrt(x2 + y2) * (cos(θ) + i.sin(θ))
Donc, cos(θ)=x/sqrt(x2 + y2) et sin(θ)=y/sqrt(x2 + y2),
Par résolution, on détermine θ et alors on peut écrire z=r * exp(iθ)

Question 48

Quand utiliser la forme algébrique ?

Answer 48

Pour calculer des sommes

Question 49

Quand utiliser la forme exponentielle ?

Answer 49

Pour calculer des produits

Question 50

1 = exp(i?)

Answer 50

1 = exp(i0)

Question 51

i = exp(i?)

Answer 51

i = exp(iπ/2)

Question 52

-i = exp(i?)

Answer 52

-i = exp(3π/2)

Question 53

-1 = exp(i?)

Answer 53

-1 = exp(iπ)

Question 54

Soit t€R,
Comment transformer une expression de la forme a.cos(t) + b.sin(t), (a;b)€R\2{0;0}, en une expression de la forme C.cos(t-φ), avec C>0 et φ€R ?

Answer 54

1. Faire apparaître le «module» de a.cos(t) + b.sin(t) et le noter C
2. Introduire φ€R tel que exp(iφ) soit égal au reste
3. Réécrire avec cos(φ), sin(φ) et C
4. Utiliser la formule d’addition du cosinus dans le sens inverse

Question 55

Quelles sont les méthodes pour montrer qu’un complexe est réel ?

Answer 55

Soit z€C,
Pour montrer que c’est un réel :
- montrer que Im(z)=0
- montrer que z=/z
- montrer que arg(z)=0 ou =π

Question 56

Quelles sont les méthodes pour montrer qu’un complexe est un imaginaire pur ?

Answer 56

Soit z€C,
Pour montrer que c’est un imaginaire pur :
- montrer que Re(z)=0
- montrer que z=-/z
- montrer que arg(z)=π/2 ou =3π/2

Question 57

Qu’est-ce que l’exponentielle d’un complexe ?

Answer 57

Soit z€C, on note exp(z) le complexe exp(Re(z))*exp(i.Im(z))

Question 58

Soient (z;z’)€C2, exp(z+z’)=… ?
Justif

Answer 58

Exp(z+z’) = exp(z)*exp(z’)

Exp(z+z’)=exp(Re(z+z’)) * exp(iIm(z+z’)), par def de l’exponentielle complexe,
=exp(Re(z)+Re(z’)) * exp(iIm(z)+iIm(z’))
=exp(Re(z)) * exp(Re(z’)) * exp(iIm(z)) * exp(iIm(z’)), par propriété de l’exponentielle réelle et de l’exponentielle d’un imaginaire pur,
=exp(z) * exp(z’)

Question 59

Soient (z;z’)€C2, à quelle condition exp(z)=exp(z’) ?
Justif

Answer 59

Si z=z’[2iπ]

Raisonnons par double implication :
1. Supposons z=z’[2iπ], montrons que exp(z)=exp(z’)
Il existe k€Z tel que z=z’+2ikπ,
Alors, exp(z)=exp(z’+2ikπ)
=exp(z’) * exp(2ikπ)
=exp(z’) * …
=exp(z’)
2. Supposons exp(z)=exp(z’), montrons que z=z’[2iπ],
exp(Re(z)) * exp(iIm(z))= exp(Re(z’)) * exp(iIm(z’)),
Par passage au module : exp(Re(z))= exp(Re(z’)), car ¥x€R, exp(x)€R*+,
Par injectivité de l’exponentielle réelle,
Re(z)=Re(z’)
Donc, exp(iIm(z’))=exp(iIm(z))
Donc par propriété, Im(z)=Im(z’)[2π],
Donc, Im(z)=Im(z’)[2π],
D’où, i.Im(z)=i.Im(z’)[2iπ]
Donc z=z’[2iπ], car Re(z)=Re(z’),
En conclusion, ¥(z;z’)€C2, exp(z)=exp(z’) <=> z=z’[2iπ]

Question 60

De quel ensemble sur quel ensemble l’exponentielle complexe est-elle surjective ?
Justif

Answer 60

De C sur C*

Soit Z€C* , soit z€C, résolvons Z=exp(z),
Z€C* donc il existe p>0, θ€R, tels que Z=p.exp(iθ)=exp(z)
<=> p.exp(iθ)=exp(Re(z)) * exp(iIm(z))
<=> p=exp(Re(z)) et θ=Im(z)[2π]
<=> Re(z)=ln(p) et θ=Im(z)[2π]
Donc, z=ln(p) + i * θ, avec p le module de Z et θ un argument de Z.
Donc, ¥Z€C*, il existe z€C tel que exp(z)=Z,
Donc z est surjective de C* sur C

Question 61

Qu’est-ce qu’une racine n-ième de l’unité ?

Answer 61

Soit n€N*, on appelle racine n-ième de l’unité un complexe z vérifiant l’équation z^n=1

Question 62

Qu’est-ce que U_n

Answer 62

On note U_n l’ensemble des racines n-ième de l’unité

Question 63

Quel est le module d’une racine n-ième de l’unité ?
Justif

Answer 63

1, cad U_n inclus dans U

Soit z€U_n,
Par définition z^n=1 et par passage au module, |z^n|=1,
Par propriété du module, |z^n|=|z|^n=1=1^n,
Or |z| et 1 sont positifs et x|—> x^n est injective sur R+, donc |z|=1

Question 64

Que peut-on dire du conjugué d’une racine n-ième de l’unité ?
Justif

Answer 64

C’est une racine n-ième de l’unité

z=U_n <=> z^n=1
<=> /(z^n)=/1=1, par passage au conjugué,
Or, /(z^n)=/z^n,
Donc /z^n=1 <=> /z€U_n

Question 65

Soit (z;z’)€U_n^2, est-ce que zz’€U_n ? Justif

Answer 65

✅✅✅

Par définition, z^n=z’^n=1,
Donc, z^n * z’^n=1 <=> (zz’)^n=1
<=> zz’€U_n

Question 66

Comment écrire l’ensemble U_n en extension ?
Justif

Answer 66

U_n={exp(2ikπ/n), k€[|0;n-1|]}

Soit z€C*,
z s’écrit p.exp(iθ) avec p>0 et θ€[0,2π[,
z€U_n <=> z^n=1 par définition
<=> (p.exp(iθ))^n=1
<=> p^n * exp(inθ)=1
<=> p^n=1 et nθ=0[2π]
<=> p=1 *car p€R**+ et θ=0[2π/n]
<=> p=1 et θ€{0;2π/n;2(n-1)π/n}, car θ€[0;2π[
<=> z€{exp(2ikπ/n), k€[|0;n-1|]}

Question 67

Comment résoudre l’équation z^n=a ? z€C et a€C*

Answer 67

z^n=a <=> z^n=a=|a|exp(i.arg(a))
<=> |z^n|=|a| et arg(z^n)=arg(a)[2π]
<=> |z|^n=|a| et n.arg(z)=arg(a)[2π]
<=> |z|=|a|^(1/n) et arg(z)=arg(a)/n[2π/n]
Donc,
S={|a|^(1/n) * exp(i.(arg(a)/n)+2ikπ/n), k€[|0,n-1|]}

Question 68

Combien de solutions admet l’équation z^2=a, (z;a)€C2 ? Et quelles sont-elles ?

Answer 68

Soit (z;a)€C2, l’équation z^2=a admet une solution si a=0 et deux solutions si a≠0 :

a=0 : z_0=0
a≠0 : z=√(|a|) × exp(i(arg(a)/2 + kπ)), k€[|0,1|] :
z1 = √(|a|) × exp(i.arg(a)/2)
z_2=-z_1

Question 69

Soit a€C* et (b;c)€C2, combien l’équation a.z^2 + b.z + c=0 admet-elle de solution ? Et quelles sont ses solutions ?

Answer 69

On pose Δ=b^2 - 4.a.c
L’équation a.z^2 + b.z + c=0 admet :
- 1 solution si Δ=0 : -b/2a
- 2 solutions si Δ≠0 : -b-δ/2a et -b+δ/2a
Avec δ une racine de Δ

Question 70

Comment résoudre une équation du second degré dans les complexes ?

Answer 70

Donner les formules des racines puis :

Déterminer δ=a+i.b, (a;b)€R2, avec Δ=x+i.y, (x;y)€R2 :

δ^2=Δ <=> (a+i.b)^2=x+i.y
<=> …=x+i.y
<=> a^2 - b^2 = x et 2ab=y
<=> a^2 - b^2 = x et 2ab=y et a^2 + b^2 = sqrt(x^2 + y^2)

Résoudre

Question 71

Soit (A,B,C)€(R2)3 des points du plan deux à deux distincts et d’affixes (a,b,c)€C3 (AB#,AC#)= ?
Justif ?

Answer 71

(AB#,AC#) ≡ arg((c-a)/(b-a))[2π]

(AB#,AC#) ≡ (Ox#,AC#) - (Ox#,AB#)[2π]
≡ arg(c-a) - arg(b-a)[2π]
≡ arg((c-a)/(b-a))[2π]

Question 72

À quelle application correspond une rotation d’angle θ dans le plan complexe ?

Answer 72

Soit θ€R,
z |—> z.exp(iθ)

Question 73

À quelle application correspond une homothétie ?

Answer 73

Soit λ€R,
z |—> λz

Question 74

À quelle application correspond une translation ?

Answer 74

Soit b€C,
z |—> z+b

Question 75

Récapitulatif Complexes/Géométrie

Answer 75

Question 76

Que vaut la somme des racines n-ièmes de l’unité ?

Answer 76

0

Question 77

Que vaut le produit des racines n-ièmes de l’unité ?

Answer 77

1

Question 78

Quelles sont les valeurs de i^n en fonction de n et comment le démontrer ?

Answer 78

Se démontre en division euclidienne de n par 4

Question 79

Que vaut la somme des deux racines z1 et z2 d’une équation du second degré ?

Answer 79

z1 + z2 = - b/a

Question 80

Que vaut le produit des deux racines z1 et z2 d’une équation du second degré ?

Answer 80

z1 × z2 = c/a

Question 81

Comment trouver l’ensemble des racines n-ième d’un complexe ?

Answer 81

On trouve une racine et on multiplie par les racines n-ieme de l’unité

Question 82

Qu’est-ce que j ?

Answer 82

j est la racine troisième de l’unité, j=exp(2iπ/3)

Question 83

Exprimer j²

Answer 83

j² = /j = exp(4iπ/3) = exp(-2iπ/3)

Question 84

Exprimer les racines de X² + X + 1 = 0

Answer 84

Ce sont j et j²

Question 85

Que vaut j³

Answer 85

j³ = 1

Question 86

Que vaut (j²)³ ?

Answer 86

(j²)³ = 1