Nombres complexes Flashcards
1
Q
Soit (z;z’)€C2, quelle est la résolution de z=z’ ?
A
z=z’ <=> Re(z)=Re(z’) et Im(z)=Im(z’)
2
Q
Soit z€C, quelle est la résolution de z=/z ?
A
z=/z <=> Im(z)=Im(/z)=0 <=> z€R
3
Q
Soit z€C, quelle est la résolution de z=-/z ?
A
z=-/z <=> Re(z)=Re(-/z)=0 <=> z€iR
4
Q
Qu’est-ce que l’ensemble des imaginaires purs ?
A
iR={ia, a€R}
5
Q
Soient (z;z’)€C2, a€R, Re(z+az’)=…
A
Re(z)+a*Re(z’)
6
Q
Soient z€C, Re(/z)=…
A
Re(z)
7
Q
Soient (z;z’)€C2, est-ce que Re(z)=Re(z’) ?
A
❌❌❌
8
Q
Soit z€C, qu’est-ce que le module de z ?
A
Posons (x;y)€R2 tels que : z=x+iy,
On appelle module de z, noté |z|=sqrt(x^2 + y^2).
Cela correspond à «la distance entre 0 et z»
9
Q
Soit z€C, z × /z=…
A
|z|²
10
Q
Soit z€C, |/z|=…
A
|z|
11
Q
Soit z€C et a€R, |az|=…
A
|a|*|z|
12
Q
Qu’est-ce que la formule de polarisation ?
A
Soient (z1;z2)€C,
|z1+z2|^2=|z1|^2 + 2*Re(z1.z2) + |z2|^2
13
Q
Soient (z;z’)€C2, quelles sont les 4 inégalités classiques dans C (et leurs cas d’égalité) ?
A
|Re(z)|<= |z| — égalité si z€R
|Im(z)| <= |z| — égalité si z€iR
|z + z’| <= |z| + |z’| — égalité si z=az’, avec a€R+
||z| - |z’|| <= |z - z’|
14
Q
Qu’est-ce que l’affixe d’un point M€R2 ? (Définition de l’affixe)
A
Soit (x;y)€R2 tel que (x;y) soient les coordonnées de M,
On appelle affixe de M, z€C tel que z=x+iy
15
Q
Soit z€C, qu’est-ce que le point du plan associé à z ? (Définition du point du plan)
A
Soient (x;y)€R2 tels que z=x+iy,
On appelle point du plan associé à z le point M€R2 de coordonnées (x;y)
16
Q
Quel est l’affixe du symétrique de A par rapport à l’axe des abscisse ?
A
/z_A
17
Q
Quelle est la distance entre deux points A et B du plan (en fonction leurs affixes) ?
A
|z_B - z_A|
18
Q
Quel est le point du plan associé à /z_A ?
A
Le symétrique de A par rapport à l’axe des abscisses
19
Q
On cherche un ensemble de complexes vérifiant une proposition, on dispose donc d’une équation du seconde degré, quelles formes d’équations doit-on chercher à obtenir ?
A
Équation de droite / équation de cercle
20
Q
Lorsqu’il est possible de déterminer que z€R, est-ce la meilleure chose à faire ?
A
✅✅✅
21
Q
Que signifie-t-il de dire que 3 points d’affixes z1, z2 et z3 sont alignés ?
A
Cela signifie que les vecteurs sont colinéaires, ainsi |z2 - z1|=k * |z3 - z1|, avec k€R
22
Q
Comment procéder pour déterminer le cosinus et le sinus d’un complexe dont on connait le carré z’ ?
A
- Écrire z’=z²
- Écrire z sous forme algébrique
- En déduire un système d’égalité de partie réelle et partie imaginaire
- Ajouter cos(θ)² + sin(θ)² =|z|² =1
- Résoudre le système d’équations
23
Q
Qu’est-ce que la méthode de l’arc moitié ? Quand l’utilise-t-on ?
A
On l’utilise quand on a une somme de complexes de même modules :
Soient (A;B)€R2,
exp(iA) + exp(iB) =
= exp(i(A+B)/2) × [exp(i(A-B)/2) + exp(i(B-A)/2)]
= exp(i(A+B)/2) × 2Re(exp(i(A-B)/2)), car conjugués
= 2.cos((A-B)/2) × exp(i(A+B)/2)
On a donc le module et l’argument
24
Q
Qu’est-ce que l’exponentielle d’un imaginaire pur ?
A
Soit t€iR, on note exp(it) le complexe cos(t)+i*sin(t).
Ainsi, exp(it) est l’affixe du point M du cercle trigo avec un angle t (image)
25
exp(-iθ)=…
Justif
¥t€R, exp(-iθ)=/exp(iθ)=1/exp(iθ)
Soit t€R, exp(-iθ)=…=/exp(iθ) par def
Et exp(iθ)*/exp(iθ)=|exp(iθ)|^2=1 (car exp(iθ)€U),
Donc /exp(iθ)=1/exp(iθ)
26
|exp(it)|=…
Justif
¥t€R, |exp(it)|=1, c’est-à-dire |exp(it)|€U
Soit t€R, exp(it)=…
Donc |exp(it)|=…=1
27
t |—> exp(it) est-elle injective de R sur U ?
Justif
t |—> exp(it) n’est pas injective de R sur U :
Posons x=0 et x’=2π,
Alors exp(i0)=…=1 et exp(i2π)=…=1,
Donc x≠x’ et exp(ix)=exp(ix’), donc **t |—> exp(it) n’est pas injective**
28
θ |—> exp(iθ) est-elle surjective de R sur U ?
Justif
t |—> exp(it) est surjective de R sur U :
Soit z€U,
Par définition z est l'affixe d'un point M du cercle trigonométrique,
Posons θ€R tel que θ=(Ox;OM),
Par définition du cosinus et du
sinus, (cos(θ);sin(θ)) sont les coordonnées de M,
Donc par définition d'un affixe,
z=cos(θ) + i.sin(θ) =exp(iθ),
En conclusion, θ|—>exp(iθ) est surjective de R sur U
29
Dans quel intervalle θ |—> exp(iθ) est-elle injective sur U ?
Justif
[0;2π[ dans U :
Soient (x;x’)€[0;2π[,
Supposons exp(ix)=exp(ix’), montrons que x=x’ :
Par définition, cos(x) + i.sin(x)= cos(x’) + i.sin(x’),
Or (cos(x);sin(x);cos(x’);sin(x’))€R4 donc cos(x)=cos(x’) et sin(x)=sin(x’),
Donc : x ≡ x’[2π] ou x ≡ x’[2π], et, x ≡ x’[2π] ou x ≡ π-x’ [2π],
*Disjonction sur les 2 premières possibilités pour déterminer laquelle des deux dernières à chaque fois*
…,
Conclure x=x’ donc **θ |—> exp(iθ) injective de [0;2π[ dans U**
30
exp(i(θ+φ))=… ?
Justif
exp(iθ)*exp(iφ) :
Soit (θ;φ)€R2, **exp(iθ)*exp(iφ)=**…=…(formules d’addition dans l’autre sens)=**exp(i(θ+φ))**
31
Que sont les formules d’Euler ?
Soit θ€R,
**(exp(iθ) + exp(-iθ))/2 = cos(θ)**
Et
**(exp(iθ) - exp(-iθ))/2i = sin(θ)**
32
Comment linéariser une expression trigonométrique ?
1. Utiliser la formule d’Euler sur cos et sin
2. Développer avec le binôme de Newton
3. Regrouper tous les termes possible par Euler
33
Que signifie linéariser une expression trigonométrique de la forme cos(x)^p + i*sin(x)^q ? (Avec (p;q)€N2 et x€R)
Écrire cette expression comme une combinaison linéaire de cos(kx) et sin(k’x), (k;k’)€R2
34
Quand utiliser l’arc moitié ?
Lorsqu’il y a une somme d’exponentielles complexes, que l’on veut déterminer module et argument
35
Qu’est-ce que la formule de Moivre ?
Comment démontrer ?
Soient θ€R, n€Z,
Alors exp(inθ)=exp(iθ)^n
Se démontre par récurrence
36
Comment exprimer cos(nx) ou sin(nx) comme un polynôme en cos(x) ou sin(x) ?
1. cos(nx)=Re(exp(ix)^n) par Moivre
2. Formule du binôme pour écrire cos(nx)=…
37
Qu’est-ce qu’un argument d’un complexe ? Combien en existe-t-il est pourquoi ?
Soit z€C* et θ€R, on dit que θ est un argument de z si z/|z|=exp(iθ), il en existe un infinité car f:θ|—>exp(iθ) est 2π-périodique
38
Qu’est-ce que l’argument principal d’un complexe ?
Soit z€C*, on appelle argument principal de z (noté arg(z)) l’unique argument de z appartenant à [0;2π[
39
Soit (z;z’)€C2, exprimer arg(z*z’) en fonction de arg(z) et arg(z’) ?
Arg(z*z’) ≡ arg(z)+arg(z’) [2π]
40
Soit (z;z’)€C2, exprimer arg(z/z’) en fonction de arg(z) et arg(z’) ?
arg(z/z’) ≡ arg(z)-arg(z’) [2π]
41
Soit z€C, λ€R+, exprimer arg(λz) en fonction de arg(z) ?
arg(λz) ≡ arg(z) [2π]
42
Soit z€R+, arg(z)=… ?
arg(z)=0
43
Soit z€R-, arg(z)=… ?
arg(z)=π
44
Qu’est-ce que la forme exponentielle de z pour z€C* ?
z=r*exp(iθ), r le module de z et θ un argument de z.
45
Comment montrer l’unicité de la forme exponentielle, à 2π près pour l’argument ?
Soient (r;r’)€(R*+)2, (θ;θ’)€R2,
Supposons z=r.exp(iθ)=r’.exp(iθ’) et montrons que r=r’ et θ=θ’[2π] :
|z|=|r|.|exp(iθ)|=|r’|.|exp(iθ’)|=|r|=|r’|=r=r’
Car r>0 et r’>0 et (exp(iθ);exp(iθ’))€U2,
Donc r.exp(iθ)=r.exp(iθ’) <=> exp(iθ)=exp(iθ’) <=> θ=θ’[2π]
46
Comment passer de la forme exponentielle à la forme algébrique ?
Soit z€C* , si z=ρ.exp(iθ) avec ρ€R*+, θ€R,
z=ρ(cos(θ)+i.sin(θ)
z=ρ.cos(θ) + i.ρ.sin(θ)
Par identification,
Re(z)=ρ.cos(θ) et Im(z)=ρ.sin(θ)
47
Comment passer de la forme algébrique à la forme exponentielle ?
Soit z€C*, (x;y)€R2, z=x+i.y,
|z|=sqrt(x2 + y2),
Or, z=|z| * exp(iθ), donc x+iy=sqrt(x2 + y2) * (cos(θ) + i.sin(θ))
Donc, cos(θ)=x/sqrt(x2 + y2) et sin(θ)=y/sqrt(x2 + y2),
Par résolution, on détermine θ et alors on peut écrire z=r * exp(iθ)
48
Quand utiliser la forme algébrique ?
Pour calculer des sommes
49
Quand utiliser la forme exponentielle ?
Pour calculer des produits
50
1 = exp(i?)
1 = exp(i0)
51
i = exp(i?)
i = exp(iπ/2)
52
-i = exp(i?)
-i = exp(3π/2)
53
-1 = exp(i?)
-1 = exp(iπ)
54
Soit t€R,
Comment transformer une expression de la forme a.cos(t) + b.sin(t), (a;b)€R\2{0;0}, en une expression de la forme C.cos(t-φ), avec C>0 et φ€R ?
1. Faire apparaître le « module » de a.cos(t) + b.sin(t) et le noter C
2. Introduire φ€R tel que exp(iφ) soit égal au reste
3. Réécrire avec cos(φ), sin(φ) et C
4. Utiliser la formule d’addition du cosinus dans le sens inverse
55
Quelles sont les méthodes pour montrer qu’un complexe est réel ?
Soit z€C,
Pour montrer que c’est un réel :
- montrer que Im(z)=0
- montrer que z=/z
- montrer que arg(z)=0 ou =π
56
Quelles sont les méthodes pour montrer qu’un complexe est un imaginaire pur ?
Soit z€C,
Pour montrer que c’est un imaginaire pur :
- montrer que Re(z)=0
- montrer que z=-/z
- montrer que arg(z)=π/2 ou =3π/2
57
Qu’est-ce que l’exponentielle d’un complexe ?
Soit z€C, on note exp(z) le complexe exp(Re(z))*exp(i.Im(z))
58
Soient (z;z’)€C2, exp(z+z’)=… ?
Justif
Exp(z+z’) = exp(z)*exp(z’)
Exp(z+z’)=exp(Re(z+z’)) * exp(iIm(z+z’)), *par def de l’exponentielle complexe,*
=exp(Re(z)+Re(z’)) * exp(iIm(z)+iIm(z’))
=exp(Re(z)) * exp(Re(z’)) * exp(iIm(z)) * exp(iIm(z’)), *par propriété de l’exponentielle réelle et de l’exponentielle d’un imaginaire pur,*
=exp(z) * exp(z’)
59
Soient (z;z’)€C2, à quelle condition exp(z)=exp(z’) ?
Justif
Si z=z’[2iπ]
Raisonnons par double implication :
1. Supposons z=z’[2iπ], montrons que exp(z)=exp(z’)
Il existe k€Z tel que z=z’+2ikπ,
Alors, exp(z)=exp(z’+2ikπ)
=exp(z’) * exp(2ikπ)
=exp(z’) * …
=exp(z’)
2. Supposons exp(z)=exp(z’), montrons que z=z’[2iπ],
exp(Re(z)) * exp(iIm(z))= exp(Re(z’)) * exp(iIm(z’)),
Par passage au module : exp(Re(z))= exp(Re(z’)), car ¥x€R, exp(x)€R*+,
Par injectivité de l’exponentielle réelle,
Re(z)=Re(z’)
Donc, exp(iIm(z’))=exp(iIm(z))
Donc par propriété, Im(z)=Im(z’)[2π],
Donc, Im(z)=Im(z’)[2π],
D’où, i.Im(z)=i.Im(z’)[2iπ]
Donc z=z’[2iπ], car Re(z)=Re(z’),
En conclusion, **¥(z;z’)€C2, exp(z)=exp(z’) <=> z=z’[2iπ]**
60
De quel ensemble sur quel ensemble l’exponentielle complexe est-elle surjective ?
Justif
De C sur C*
Soit Z€C* , soit z€C, résolvons Z=exp(z),
Z€C* donc il existe p>0, θ€R, tels que Z=p.exp(iθ)=exp(z)
<=> p.exp(iθ)=exp(Re(z)) * exp(iIm(z))
<=> p=exp(Re(z)) et θ=Im(z)[2π]
<=> Re(z)=ln(p) et θ=Im(z)[2π]
Donc, z=ln(p) + i * θ, avec p le module de Z et θ un argument de Z.
Donc, ¥Z€C*, il existe z€C tel que exp(z)=Z,
Donc **z est surjective de C* sur C**
61
Qu’est-ce qu’une racine n-ième de l’unité ?
Soit n€N*, on appelle racine n-ième de l’unité un complexe z vérifiant l’équation z^n=1
62
Qu’est-ce que U_n
On note U_n l’ensemble des racines n-ième de l’unité
63
Quel est le module d’une racine n-ième de l’unité ?
Justif
1, cad U_n inclus dans U
Soit z€U_n,
Par définition z^n=1 et par passage au module, |z^n|=1,
Par propriété du module, |z^n|=|z|^n=1=1^n,
Or |z| et 1 sont positifs et x|—> x^n est injective sur R+, donc |z|=1
64
Que peut-on dire du conjugué d’une racine n-ième de l’unité ?
Justif
C’est une racine n-ième de l’unité
z=U_n <=> z^n=1
<=> /(z^n)=/1=1, *par passage au conjugué,*
Or, /(z^n)=/z^n,
Donc /z^n=1 <=> /z€U_n
65
Soit (z;z’)€U_n^2, est-ce que zz’€U_n ? Justif
✅✅✅
Par définition, z^n=z’^n=1,
Donc, z^n * z’^n=1 <=> (zz’)^n=1
<=> zz’€U_n
66
Comment écrire l’ensemble U_n en extension ?
Justif
U_n={exp(2ikπ/n), k€[|0;n-1|]}
Soit z€C*,
z s’écrit p.exp(iθ) avec p>0 et θ€[0,2π[,
z€U_n <=> z^n=1 par définition
<=> (p.exp(iθ))^n=1
<=> p^n * exp(inθ)=1
<=> p^n=1 et nθ=0[2π]
<=> p=1 *car p€R**+ et θ=0[2π/n]
<=> p=1 et θ€{0;2π/n;2(n-1)π/n}, car θ€[0;2π[
<=> z€{exp(2ikπ/n), k€[|0;n-1|]}
67
Comment résoudre l’équation z^n=a ? z€C et a€C*
z^n=a <=> z^n=a=|a|exp(i.arg(a))
<=> |z^n|=|a| et arg(z^n)=arg(a)[2π]
<=> |z|^n=|a| et n.arg(z)=arg(a)[2π]
<=> |z|=|a|^(1/n) et arg(z)=arg(a)/n[2π/n]
Donc,
**S={|a|^(1/n) * exp(i.(arg(a)/n)+2ikπ/n), k€[|0,n-1|]}**
68
Combien de solutions admet l’équation z^2=a, (z;a)€C2 ? Et quelles sont-elles ?
Soit (z;a)€C2, l’équation z^2=a admet une solution si a=0 et deux solutions si a≠0 :
a=0 : z_0=0
a≠0 : **z**=√(|a|) × exp(i(arg(a)/2 + kπ)), *k€[|0,1|]* :
**z1 = √(|a|) × exp(i.arg(a)/2)**
**z_2=-z_1**
69
Soit a€C* et (b;c)€C2, combien l’équation a.z^2 + b.z + c=0 admet-elle de solution ? Et quelles sont ses solutions ?
On pose Δ=b^2 - 4.a.c
L’équation a.z^2 + b.z + c=0 admet :
- 1 solution si Δ=0 : -b/2a
- 2 solutions si Δ≠0 : -b-δ/2a et -b+δ/2a
Avec δ une racine de Δ
70
Comment résoudre une équation du second degré dans les complexes ?
Donner les formules des racines puis :
Déterminer δ=a+i.b, (a;b)€R2, avec Δ=x+i.y, (x;y)€R2 :
δ^2=Δ <=> (a+i.b)^2=x+i.y
<=> …=x+i.y
<=> a^2 - b^2 = x et 2ab=y
<=> a^2 - b^2 = x et 2ab=y et a^2 + b^2 = sqrt(x^2 + y^2)
Résoudre
71
Soit (A,B,C)€(R2)3 des points du plan deux à deux distincts et d’affixes (a,b,c)€C3 (AB#,AC#)= ?
Justif ?
(AB#,AC#) ≡ arg((c-a)/(b-a))[2π]
**(AB#,AC#)** ≡ (Ox#,AC#) - (Ox#,AB#)[2π]
≡ arg(c-a) - arg(b-a)[2π]
**≡ arg((c-a)/(b-a))[2π]**
72
À quelle application correspond une rotation d’angle θ dans le plan complexe ?
Soit θ€R,
z |—> z.exp(iθ)
73
À quelle application correspond une homothétie ?
Soit λ€R,
z |—> λz
74
À quelle application correspond une translation ?
Soit b€C,
z |—> z+b
75
Récapitulatif Complexes/Géométrie
76
Que vaut la somme des racines n-ièmes de l’unité ?
0
77
Que vaut le produit des racines n-ièmes de l’unité ?
1
78
Quelles sont les valeurs de i^n en fonction de n et comment le démontrer ?
Se démontre en division euclidienne de n par 4
79
Que vaut la somme des deux racines z1 et z2 d’une équation du second degré ?
z1 + z2 = - b/a
80
Que vaut le produit des deux racines z1 et z2 d’une équation du second degré ?
z1 × z2 = c/a
81
Comment trouver l’ensemble des racines n-ième d’un complexe ?
On trouve une racine et on multiplie par les racines n-ieme de l’unité
82
Qu’est-ce que j ?
j est la racine troisième de l’unité, j=exp(2iπ/3)
83
Exprimer j²
j² = /j = exp(4iπ/3) = exp(-2iπ/3)
84
Exprimer les racines de X² + X + 1 = 0
Ce sont j et j²
85
Que vaut j³
j³ = 1
86
Que vaut (j²)³ ?
(j²)³ = 1
87
