Nombres complexes Flashcards
Soit (z;z’)€C2, quelle est la résolution de z=z’ ?
z=z’ <=> Re(z)=Re(z’) et Im(z)=Im(z’)
Soit z€C, quelle est la résolution de z=/z ?
z=/z <=> Im(z)=Im(/z)=0 <=> z€R
Soit z€C, quelle est la résolution de z=-/z ?
z=-/z <=> Re(z)=Re(-/z)=0 <=> z€iR
Qu’est-ce que l’ensemble des imaginaires purs ?
iR={ia, a€R}
Soient (z;z’)€C2, a€R, Re(z+az’)=…
Re(z)+a*Re(z’)
Soient z€C, Re(/z)=…
Re(z)
Soient (z;z’)€C2, est-ce que Re(z)=Re(z’) ?
❌❌❌
Soit z€C, qu’est-ce que le module de z ?
Posons (x;y)€R2 tels que : z=x+iy,
On appelle module de z, noté |z|=sqrt(x^2 + y^2).
Cela correspond à «la distance entre 0 et z»
Soit z€C, z × /z=…
|z|²
Soit z€C, |/z|=…
|z|
Soit z€C et a€R, |az|=…
|a|*|z|
Qu’est-ce que la formule de polarisation ?
Soient (z1;z2)€C,
|z1+z2|^2=|z1|^2 + 2*Re(z1.z2) + |z2|^2
Soient (z;z’)€C2, quelles sont les 4 inégalités classiques dans C (et leurs cas d’égalité) ?
|Re(z)|<= |z| — égalité si z€R
|Im(z)| <= |z| — égalité si z€iR
|z + z’| <= |z| + |z’| — égalité si z=az’, avec a€R+
||z| - |z’|| <= |z - z’|
Qu’est-ce que l’affixe d’un point M€R2 ? (Définition de l’affixe)
Soit (x;y)€R2 tel que (x;y) soient les coordonnées de M,
On appelle affixe de M, z€C tel que z=x+iy
Soit z€C, qu’est-ce que le point du plan associé à z ? (Définition du point du plan)
Soient (x;y)€R2 tels que z=x+iy,
On appelle point du plan associé à z le point M€R2 de coordonnées (x;y)
Quel est l’affixe du symétrique de A par rapport à l’axe des abscisse ?
/z_A
Quelle est la distance entre deux points A et B du plan (en fonction leurs affixes) ?
|z_B - z_A|
Quel est le point du plan associé à /z_A ?
Le symétrique de A par rapport à l’axe des abscisses
On cherche un ensemble de complexes vérifiant une proposition, on dispose donc d’une équation du seconde degré, quelles formes d’équations doit-on chercher à obtenir ?
Équation de droite / équation de cercle
Lorsqu’il est possible de déterminer que z€R, est-ce la meilleure chose à faire ?
✅✅✅
Que signifie-t-il de dire que 3 points d’affixes z1, z2 et z3 sont alignés ?
Cela signifie que les vecteurs sont colinéaires, ainsi |z2 - z1|=k * |z3 - z1|, avec k€R
Comment procéder pour déterminer le cosinus et le sinus d’un complexe dont on connait le carré z’ ?
- Écrire z’=z²
- Écrire z sous forme algébrique
- En déduire un système d’égalité de partie réelle et partie imaginaire
- Ajouter cos(θ)² + sin(θ)² =|z|² =1
- Résoudre le système d’équations
Qu’est-ce que la méthode de l’arc moitié ? Quand l’utilise-t-on ?
On l’utilise quand on a une somme de complexes de même modules :
Soient (A;B)€R2,
exp(iA) + exp(iB) =
= exp(i(A+B)/2) × [exp(i(A-B)/2) + exp(i(B-A)/2)]
= exp(i(A+B)/2) × 2Re(exp(i(A-B)/2)), car conjugués
= 2.cos((A-B)/2) × exp(i(A+B)/2)
On a donc le module et l’argument
Qu’est-ce que l’exponentielle d’un imaginaire pur ?
Soit t€iR, on note exp(it) le complexe cos(t)+i*sin(t).
Ainsi, exp(it) est l’affixe du point M du cercle trigo avec un angle t (image)
exp(-iθ)=…
Justif
¥t€R, exp(-iθ)=/exp(iθ)=1/exp(iθ)
Soit t€R, exp(-iθ)=…=/exp(iθ) par def
Et exp(iθ)*/exp(iθ)=|exp(iθ)|^2=1 (car exp(iθ)€U),
Donc /exp(iθ)=1/exp(iθ)
|exp(it)|=…
Justif
¥t€R, |exp(it)|=1, c’est-à-dire |exp(it)|€U
Soit t€R, exp(it)=…
Donc |exp(it)|=…=1
t |—> exp(it) est-elle injective de R sur U ?
Justif
t |—> exp(it) n’est pas injective de R sur U :
Posons x=0 et x’=2π,
Alors exp(i0)=…=1 et exp(i2π)=…=1,
Donc x≠x’ et exp(ix)=exp(ix’), donc t |—> exp(it) n’est pas injective
θ |—> exp(iθ) est-elle surjective de R sur U ?
Justif
t |—> exp(it) est surjective de R sur U :
Soit z€U,
Par définition z est l’affixe d’un point M du cercle trigonométrique,
Posons θ€R tel que θ=(Ox;OM),
Par définition du cosinus et du
sinus, (cos(θ);sin(θ)) sont les coordonnées de M,
Donc par définition d’un affixe,
z=cos(θ) + i.sin(θ) =exp(iθ),
En conclusion, θ|—>exp(iθ) est surjective de R sur U
Dans quel intervalle θ |—> exp(iθ) est-elle injective sur U ?
Justif
[0;2π[ dans U :
Soient (x;x’)€[0;2π[,
Supposons exp(ix)=exp(ix’), montrons que x=x’ :
Par définition, cos(x) + i.sin(x)= cos(x’) + i.sin(x’),
Or (cos(x);sin(x);cos(x’);sin(x’))€R4 donc cos(x)=cos(x’) et sin(x)=sin(x’),
Donc : x ≡ x’[2π] ou x ≡ x’[2π], et, x ≡ x’[2π] ou x ≡ π-x’ [2π],
Disjonction sur les 2 premières possibilités pour déterminer laquelle des deux dernières à chaque fois
…,
Conclure x=x’ donc θ |—> exp(iθ) injective de [0;2π[ dans U
exp(i(θ+φ))=… ?
Justif
exp(iθ)*exp(iφ) :
Soit (θ;φ)€R2, exp(iθ)*exp(iφ)=…=…(formules d’addition dans l’autre sens)=exp(i(θ+φ))
Que sont les formules d’Euler ?
Soit θ€R,
(exp(iθ) + exp(-iθ))/2 = cos(θ)
Et
(exp(iθ) - exp(-iθ))/2i = sin(θ)
Comment linéariser une expression trigonométrique ?
- Utiliser la formule d’Euler sur cos et sin
- Développer avec le binôme de Newton
- Regrouper tous les termes possible par Euler
Que signifie linéariser une expression trigonométrique de la forme cos(x)^p + i*sin(x)^q ? (Avec (p;q)€N2 et x€R)
Écrire cette expression comme une combinaison linéaire de cos(kx) et sin(k’x), (k;k’)€R2
Quand utiliser l’arc moitié ?
Lorsqu’il y a une somme d’exponentielles complexes, que l’on veut déterminer module et argument
Qu’est-ce que la formule de Moivre ?
Comment démontrer ?
Soient θ€R, n€Z,
Alors exp(inθ)=exp(iθ)^n
Se démontre par récurrence
Comment exprimer cos(nx) ou sin(nx) comme un polynôme en cos(x) ou sin(x) ?
- cos(nx)=Re(exp(ix)^n) par Moivre
- Formule du binôme pour écrire cos(nx)=…
Qu’est-ce qu’un argument d’un complexe ? Combien en existe-t-il est pourquoi ?
Soit z€C* et θ€R, on dit que θ est un argument de z si z/|z|=exp(iθ), il en existe un infinité car f:θ|—>exp(iθ) est 2π-périodique
Qu’est-ce que l’argument principal d’un complexe ?
Soit z€C*, on appelle argument principal de z (noté arg(z)) l’unique argument de z appartenant à [0;2π[
Soit (z;z’)€C2, exprimer arg(z*z’) en fonction de arg(z) et arg(z’) ?
Arg(z*z’) ≡ arg(z)+arg(z’) [2π]
Soit (z;z’)€C2, exprimer arg(z/z’) en fonction de arg(z) et arg(z’) ?
arg(z/z’) ≡ arg(z)-arg(z’) [2π]
Soit z€C, λ€R+, exprimer arg(λz) en fonction de arg(z) ?
arg(λz) ≡ arg(z) [2π]
Soit z€R+, arg(z)=… ?
arg(z)=0
Soit z€R-, arg(z)=… ?
arg(z)=π
Qu’est-ce que la forme exponentielle de z pour z€C* ?
z=r*exp(iθ), r le module de z et θ un argument de z.
Comment montrer l’unicité de la forme exponentielle, à 2π près pour l’argument ?
Soient (r;r’)€(R*+)2, (θ;θ’)€R2,
Supposons z=r.exp(iθ)=r’.exp(iθ’) et montrons que r=r’ et θ=θ’[2π] :
|z|=|r|.|exp(iθ)|=|r’|.|exp(iθ’)|=|r|=|r’|=r=r’
Car r>0 et r’>0 et (exp(iθ);exp(iθ’))€U2,
Donc r.exp(iθ)=r.exp(iθ’) <=> exp(iθ)=exp(iθ’) <=> θ=θ’[2π]
Comment passer de la forme exponentielle à la forme algébrique ?
Soit z€C* , si z=ρ.exp(iθ) avec ρ€R*+, θ€R,
z=ρ(cos(θ)+i.sin(θ)
z=ρ.cos(θ) + i.ρ.sin(θ)
Par identification,
Re(z)=ρ.cos(θ) et Im(z)=ρ.sin(θ)
Comment passer de la forme algébrique à la forme exponentielle ?
Soit z€C*, (x;y)€R2, z=x+i.y,
|z|=sqrt(x2 + y2),
Or, z=|z| * exp(iθ), donc x+iy=sqrt(x2 + y2) * (cos(θ) + i.sin(θ))
Donc, cos(θ)=x/sqrt(x2 + y2) et sin(θ)=y/sqrt(x2 + y2),
Par résolution, on détermine θ et alors on peut écrire z=r * exp(iθ)
Quand utiliser la forme algébrique ?
Pour calculer des sommes
Quand utiliser la forme exponentielle ?
Pour calculer des produits
1 = exp(i?)
1 = exp(i0)
i = exp(i?)
i = exp(iπ/2)
-i = exp(i?)
-i = exp(3π/2)
-1 = exp(i?)
-1 = exp(iπ)
Soit t€R,
Comment transformer une expression de la forme a.cos(t) + b.sin(t), (a;b)€R\2{0;0}, en une expression de la forme C.cos(t-φ), avec C>0 et φ€R ?
- Faire apparaître le «module» de a.cos(t) + b.sin(t) et le noter C
- Introduire φ€R tel que exp(iφ) soit égal au reste
- Réécrire avec cos(φ), sin(φ) et C
- Utiliser la formule d’addition du cosinus dans le sens inverse
Quelles sont les méthodes pour montrer qu’un complexe est réel ?
Soit z€C,
Pour montrer que c’est un réel :
- montrer que Im(z)=0
- montrer que z=/z
- montrer que arg(z)=0 ou =π
Quelles sont les méthodes pour montrer qu’un complexe est un imaginaire pur ?
Soit z€C,
Pour montrer que c’est un imaginaire pur :
- montrer que Re(z)=0
- montrer que z=-/z
- montrer que arg(z)=π/2 ou =3π/2
Qu’est-ce que l’exponentielle d’un complexe ?
Soit z€C, on note exp(z) le complexe exp(Re(z))*exp(i.Im(z))
Soient (z;z’)€C2, exp(z+z’)=… ?
Justif
Exp(z+z’) = exp(z)*exp(z’)
Exp(z+z’)=exp(Re(z+z’)) * exp(iIm(z+z’)), par def de l’exponentielle complexe,
=exp(Re(z)+Re(z’)) * exp(iIm(z)+iIm(z’))
=exp(Re(z)) * exp(Re(z’)) * exp(iIm(z)) * exp(iIm(z’)), par propriété de l’exponentielle réelle et de l’exponentielle d’un imaginaire pur,
=exp(z) * exp(z’)
Soient (z;z’)€C2, à quelle condition exp(z)=exp(z’) ?
Justif
Si z=z’[2iπ]
Raisonnons par double implication :
1. Supposons z=z’[2iπ], montrons que exp(z)=exp(z’)
Il existe k€Z tel que z=z’+2ikπ,
Alors, exp(z)=exp(z’+2ikπ)
=exp(z’) * exp(2ikπ)
=exp(z’) * …
=exp(z’)
2. Supposons exp(z)=exp(z’), montrons que z=z’[2iπ],
exp(Re(z)) * exp(iIm(z))= exp(Re(z’)) * exp(iIm(z’)),
Par passage au module : exp(Re(z))= exp(Re(z’)), car ¥x€R, exp(x)€R*+,
Par injectivité de l’exponentielle réelle,
Re(z)=Re(z’)
Donc, exp(iIm(z’))=exp(iIm(z))
Donc par propriété, Im(z)=Im(z’)[2π],
Donc, Im(z)=Im(z’)[2π],
D’où, i.Im(z)=i.Im(z’)[2iπ]
Donc z=z’[2iπ], car Re(z)=Re(z’),
En conclusion, ¥(z;z’)€C2, exp(z)=exp(z’) <=> z=z’[2iπ]
De quel ensemble sur quel ensemble l’exponentielle complexe est-elle surjective ?
Justif
De C sur C*
Soit Z€C* , soit z€C, résolvons Z=exp(z),
Z€C* donc il existe p>0, θ€R, tels que Z=p.exp(iθ)=exp(z)
<=> p.exp(iθ)=exp(Re(z)) * exp(iIm(z))
<=> p=exp(Re(z)) et θ=Im(z)[2π]
<=> Re(z)=ln(p) et θ=Im(z)[2π]
Donc, z=ln(p) + i * θ, avec p le module de Z et θ un argument de Z.
Donc, ¥Z€C*, il existe z€C tel que exp(z)=Z,
Donc z est surjective de C* sur C
Qu’est-ce qu’une racine n-ième de l’unité ?
Soit n€N*, on appelle racine n-ième de l’unité un complexe z vérifiant l’équation z^n=1
Qu’est-ce que U_n
On note U_n l’ensemble des racines n-ième de l’unité
Quel est le module d’une racine n-ième de l’unité ?
Justif
1, cad U_n inclus dans U
Soit z€U_n,
Par définition z^n=1 et par passage au module, |z^n|=1,
Par propriété du module, |z^n|=|z|^n=1=1^n,
Or |z| et 1 sont positifs et x|—> x^n est injective sur R+, donc |z|=1
Que peut-on dire du conjugué d’une racine n-ième de l’unité ?
Justif
C’est une racine n-ième de l’unité
z=U_n <=> z^n=1
<=> /(z^n)=/1=1, par passage au conjugué,
Or, /(z^n)=/z^n,
Donc /z^n=1 <=> /z€U_n
Soit (z;z’)€U_n^2, est-ce que zz’€U_n ? Justif
✅✅✅
Par définition, z^n=z’^n=1,
Donc, z^n * z’^n=1 <=> (zz’)^n=1
<=> zz’€U_n
Comment écrire l’ensemble U_n en extension ?
Justif
U_n={exp(2ikπ/n), k€[|0;n-1|]}
Soit z€C*,
z s’écrit p.exp(iθ) avec p>0 et θ€[0,2π[,
z€U_n <=> z^n=1 par définition
<=> (p.exp(iθ))^n=1
<=> p^n * exp(inθ)=1
<=> p^n=1 et nθ=0[2π]
<=> p=1 *car p€R**+ et θ=0[2π/n]
<=> p=1 et θ€{0;2π/n;2(n-1)π/n}, car θ€[0;2π[
<=> z€{exp(2ikπ/n), k€[|0;n-1|]}
Comment résoudre l’équation z^n=a ? z€C et a€C*
z^n=a <=> z^n=a=|a|exp(i.arg(a))
<=> |z^n|=|a| et arg(z^n)=arg(a)[2π]
<=> |z|^n=|a| et n.arg(z)=arg(a)[2π]
<=> |z|=|a|^(1/n) et arg(z)=arg(a)/n[2π/n]
Donc,
S={|a|^(1/n) * exp(i.(arg(a)/n)+2ikπ/n), k€[|0,n-1|]}
Combien de solutions admet l’équation z^2=a, (z;a)€C2 ? Et quelles sont-elles ?
Soit (z;a)€C2, l’équation z^2=a admet une solution si a=0 et deux solutions si a≠0 :
a=0 : z_0=0
a≠0 : z=√(|a|) × exp(i(arg(a)/2 + kπ)), k€[|0,1|] :
z1 = √(|a|) × exp(i.arg(a)/2)
z_2=-z_1
Soit a€C* et (b;c)€C2, combien l’équation a.z^2 + b.z + c=0 admet-elle de solution ? Et quelles sont ses solutions ?
On pose Δ=b^2 - 4.a.c
L’équation a.z^2 + b.z + c=0 admet :
- 1 solution si Δ=0 : -b/2a
- 2 solutions si Δ≠0 : -b-δ/2a et -b+δ/2a
Avec δ une racine de Δ
Comment résoudre une équation du second degré dans les complexes ?
Donner les formules des racines puis :
Déterminer δ=a+i.b, (a;b)€R2, avec Δ=x+i.y, (x;y)€R2 :
δ^2=Δ <=> (a+i.b)^2=x+i.y
<=> …=x+i.y
<=> a^2 - b^2 = x et 2ab=y
<=> a^2 - b^2 = x et 2ab=y et a^2 + b^2 = sqrt(x^2 + y^2)
Résoudre
Soit (A,B,C)€(R2)3 des points du plan deux à deux distincts et d’affixes (a,b,c)€C3 (AB#,AC#)= ?
Justif ?
(AB#,AC#) ≡ arg((c-a)/(b-a))[2π]
(AB#,AC#) ≡ (Ox#,AC#) - (Ox#,AB#)[2π]
≡ arg(c-a) - arg(b-a)[2π]
≡ arg((c-a)/(b-a))[2π]
À quelle application correspond une rotation d’angle θ dans le plan complexe ?
Soit θ€R,
z |—> z.exp(iθ)
À quelle application correspond une homothétie ?
Soit λ€R,
z |—> λz
À quelle application correspond une translation ?
Soit b€C,
z |—> z+b
Récapitulatif Complexes/Géométrie
Que vaut la somme des racines n-ièmes de l’unité ?
0
Que vaut le produit des racines n-ièmes de l’unité ?
1
Quelles sont les valeurs de i^n en fonction de n et comment le démontrer ?
Se démontre en division euclidienne de n par 4
Que vaut la somme des deux racines z1 et z2 d’une équation du second degré ?
z1 + z2 = - b/a
Que vaut le produit des deux racines z1 et z2 d’une équation du second degré ?
z1 × z2 = c/a
Comment trouver l’ensemble des racines n-ième d’un complexe ?
On trouve une racine et on multiplie par les racines n-ieme de l’unité
Qu’est-ce que j ?
j est la racine troisième de l’unité, j=exp(2iπ/3)
Exprimer j²
j² = /j = exp(4iπ/3) = exp(-2iπ/3)
Exprimer les racines de X² + X + 1 = 0
Ce sont j et j²
Que vaut j³
j³ = 1
Que vaut (j²)³ ?
(j²)³ = 1
