Dérivation

Question 1

Que signifie-t-il de dire qu’une fonction f est dérivable en a ? Et sur un intervalle I ? Qu’appelle-t-on nombre dérivé et fonction dérivée ?

Answer 1

Question 2

Quel est le lien entre développement limité d’ordre 1 et dérivabilité ?

Answer 2

f admet un DL1 en a ⇔ f est dérivable en a

Question 3

Que signifie-t-il de dire que f est C1 sur I ?

Answer 3

f est dérivable sur I et sa dérivée y est continue

Question 4

Que peut-on dire de :
- la combinaison linéaire de deux fonctions dérivables
- leur produit
- leur quotient
?

Answer 4

Question 5

Démontrer la dérivée du produit

Answer 5

Question 6

Quand gof est-elle dérivable en a ? Sur I ?

Answer 6

gof dérivable en a ⇔ f dérivable en a et g dérivable en f(a)

gof dérivable sur I ⇔ f dérivable sur I et g dérivable sur f(I)

Question 7

Quelle est la dérivée de la bijection réciproque ?

Answer 7

Question 8

Qu’est ce que la formule de Leibniz ? Demo

Answer 8

Question 9

Lorsqu’on traite des dérivées de fonctions, à quoi faut-il faire attention dans leur écriture ?

Answer 9

On dérive toujours le nom de la fonction, par exemple f’, mais jamais son expression : on ne peut pas écrire (3x + 4)’

Question 10

Qu’est-ce qu’un maximum local, un minimum local ?

Answer 10

Question 11

Qu’est-ce qu’un maximum global ?

Answer 11

Question 12

Quand dit-on que f admet un extremum en a ?

Answer 12

Si f admet un maximum ou un minimum en a

Question 13

Quel est le lien entre extremum et dérivée ? Justif

Answer 13

Question 14

Qu’est-ce que le théorème de Rolle ?
Démo

Answer 14

Question 15

Que signifie «étudier la dérivabilité d’une fonction» ? Comment le faire ?

Answer 15

Déterminer si elle est C1

1. On dit qu’elle est C1 sauf sur certains points comme composition de fonctions C1
2. On montre que f est C0 sur ces points
3. On montre f est D1 sur ces points
4. On montre que f’ admet une limite finie en ces points et c’est bon (théorème de la limite de la dérivée)

Question 16

Quelle est l’utilité du théorème de Rolle ?

Answer 16

Il permet de montrer qu’une fonction s’annule

Question 17

Quand on traite f’ + λ×f, que faut-il considérer ?

Answer 17

Il faut regarder si la fonction g : x → f(x)×exp(λ×x) peut être utile

Question 18

Qu’est-ce que le théorème des accroissements finis ?
Démo

Answer 18

Question 19

Comment lier la croissance d’une fonction et le signe de sa dérivée ?
Démo

Answer 19

Question 20

A quoi sert le théorème de la limite de la dérivée ?

Answer 20

Il sert à montrer qu’une fonction est D1/C1 sur un intervalle I lorsqu’on sait qu’elle est D1/C1 sur I/{a}

Question 21

Qu’est-ce qu’une fonction convexe ? Quand utilise-t-on cette définition ?

Answer 21

On utilise la définition quand on a une inégalité à plusieurs variables

Question 22

Qu’est-ce que l’inégalité des cordes ?

Answer 22

Question 23

Que peut-on dire si f est convexe et f€D1 ? Et si f€D2 ?

Answer 23

D1 : la courbe représentative de f est au dessus de toutes ses tangentes et f’ croissante

D2 : f convexe ⇔ f’ croissante ⇔ f’’≥0

Question 24

Quelles sont les méthodes pour montrer qu’une fonction est dérivable ?

Answer 24

• Compositions
• Définition de la dérivabilité
• Théorème de la limite de la dérivée

Question 25

Quelles sont les méthodes pour calculer une dérivée n-ieme ?

Answer 25

• Utiliser la formule de Leibniz
• Trouver une forme générale et la montrer par récurrence

Question 26

Quelles sont les deux applications du théorème des accroissements finis ?

Answer 26

• montrer des inégalités
• des théorèmes qui relient une fonction et sa dérivée

Question 27

Qu’est-ce que l’inégalité des accroissements finis ?

Answer 27

Question 28

Qu’est-ce que l’inégalité des accroissements finis (version avec la valeur absolue) ?

Answer 28

Soit f dérivable sur D_f, si on dispose de M€R tel que |f’| est majorée par M,

Alors pour tout (x;y)€D_f², |f(x) - f(y)| ≤ M × |x - y|