Dérivation Flashcards
Que signifie-t-il de dire qu’une fonction f est dérivable en a ? Et sur un intervalle I ? Qu’appelle-t-on nombre dérivé et fonction dérivée ?
Quel est le lien entre développement limité d’ordre 1 et dérivabilité ?
f admet un DL1 en a ⇔ f est dérivable en a
Que signifie-t-il de dire que f est C1 sur I ?
f est dérivable sur I et sa dérivée y est continue
Que peut-on dire de :
- la combinaison linéaire de deux fonctions dérivables
- leur produit
- leur quotient
?
Démontrer la dérivée du produit
Quand gof est-elle dérivable en a ? Sur I ?
gof dérivable en a ⇔ f dérivable en a et g dérivable en f(a)
gof dérivable sur I ⇔ f dérivable sur I et g dérivable sur f(I)
Quelle est la dérivée de la bijection réciproque ?
Qu’est ce que la formule de Leibniz ? Demo
Lorsqu’on traite des dérivées de fonctions, à quoi faut-il faire attention dans leur écriture ?
On dérive toujours le nom de la fonction, par exemple f’, mais jamais son expression : on ne peut pas écrire (3x + 4)’
Qu’est-ce qu’un maximum local, un minimum local ?
Qu’est-ce qu’un maximum global ?
Quand dit-on que f admet un extremum en a ?
Si f admet un maximum ou un minimum en a
Quel est le lien entre extremum et dérivée ? Justif
Qu’est-ce que le théorème de Rolle ?
Démo
Que signifie «étudier la dérivabilité d’une fonction» ? Comment le faire ?
Déterminer si elle est C1
- On dit qu’elle est C1 sauf sur certains points comme composition de fonctions C1
- On montre que f est C0 sur ces points
- On montre f est D1 sur ces points
- On montre que f’ admet une limite finie en ces points et c’est bon (théorème de la limite de la dérivée)
Quelle est l’utilité du théorème de Rolle ?
Il permet de montrer qu’une fonction s’annule
Quand on traite f’ + λ×f, que faut-il considérer ?
Il faut regarder si la fonction g : x → f(x)×exp(λ×x) peut être utile
Qu’est-ce que le théorème des accroissements finis ?
Démo
Comment lier la croissance d’une fonction et le signe de sa dérivée ?
Démo
A quoi sert le théorème de la limite de la dérivée ?
Il sert à montrer qu’une fonction est D1/C1 sur un intervalle I lorsqu’on sait qu’elle est D1/C1 sur I/{a}
Qu’est-ce qu’une fonction convexe ? Quand utilise-t-on cette définition ?
On utilise la définition quand on a une inégalité à plusieurs variables
Qu’est-ce que l’inégalité des cordes ?
Que peut-on dire si f est convexe et f€D1 ? Et si f€D2 ?
D1 : la courbe représentative de f est au dessus de toutes ses tangentes et f’ croissante
D2 : f convexe ⇔ f’ croissante ⇔ f’’≥0
Quelles sont les méthodes pour montrer qu’une fonction est dérivable ?
- Compositions
- Définition de la dérivabilité
- Théorème de la limite de la dérivée
Quelles sont les méthodes pour calculer une dérivée n-ieme ?
- Utiliser la formule de Leibniz
- Trouver une forme générale et la montrer par récurrence
Quelles sont les deux applications du théorème des accroissements finis ?
- montrer des inégalités
- des théorèmes qui relient une fonction et sa dérivée
Qu’est-ce que l’inégalité des accroissements finis ?
Qu’est-ce que l’inégalité des accroissements finis (version avec la valeur absolue) ?
Soit f dérivable sur D_f, si on dispose de M€R tel que |f’| est majorée par M,
Alors pour tout (x;y)€D_f², |f(x) - f(y)| ≤ M × |x - y|
