Etudes Locales Et Asymptotiques

Question 1

Que signifie-t-il de dire que f est négligeable par rapport à g au voisinage de a ?

Answer 1

On dit que f est négligeable par rapport à g au voisinage de a, noté f=o_a(g) s’il existe un voisinage V de a, tel qu’il existe φ : V→R, telle que lim(x → a)(φ(x)) = 0 et pour tout x€V, f(x) = φ(x)×g(x)

Question 2

Que signifie-t-il de dire que f est dominée par g au voisinage de a ?

Answer 2

On dis que f est dominée au voisinage de a par g, noté f=O_a(g) s’il existe un voisinage V de a, tel qu’il existe φ : V→R, telle que φ est bornée sur V et pour tout x€V, f(x) = φ(x)×g(x)

Question 3

Que signifie-t-il de dire que f est équivalente à g au voisinage de a ?

Answer 3

On dis que f est équivalente au voisinage de a à g, noté f ~ g, s’il existe un voisinage V de a, tel qu’il existe φ : V→R, telle que lim(x → a)(φ(x))=1 et pour tout x€V, f(x) = φ(x)×g(x)

Question 4

Comment caractériser de manière plus simple l’équivalence, la domination et la négligeabilité entre deux fonction f et g ?

Answer 4

Question 5

Traduire la croissance comparée en o

Answer 5

Question 6

Montrer que

Answer 6

Question 7

Que peut-on dire si

Answer 7

Question 8

Que peut-on dire si

Answer 8

Question 9

Que peut-on dire si :

Answer 9

Question 10

Comment lier équivalence et négligeabilité ?

Answer 10

Question 11

Quelles sont les opérations possibles sur les équivalents ? Démo

Answer 11

On ne somme pas

Question 12

Que signifie-t-il de dire que f est petit o de 1 en a ?

Answer 12

Question 13

Que peut-on dire si f est petit o de λ.g en a, λ≠0 ?

Answer 13

Enlever le λ à droite

Question 14

Que peut-on dire de f+g si f=o(g) en a ?

Answer 14

Question 15

Comment les équivalences donnent-elles une information sur les signes ?

Answer 15

Question 16

Comment les équivalences donnent-elles une information sur les limites ?

Answer 16

Question 17

Démontrer que :

Answer 17

Question 18

Que peut-on dire si

Answer 18

Question 19

Comment composer dans les équivalents ? A quoi faut-il faire attention ?

Answer 19

Question 20

Comment fonctionne les o, O et ~ dans les suites ?

Answer 20

Comme dans les fonctions

Question 21

Quel théorème lie équivalence et dérivée ?

Answer 21

Question 22

Quelles sont les quatres équivalences classiques en 0 ?
Justif

Answer 22

Question 23

Que signifie-t-il de dire que f admet un développement limité d’ordre n en a ?

Answer 23

Question 24

Comment appelle-t-on les deux parties d’un DL ?

Answer 24

Question 25

Que peut-on dire des coefficient a_k dans un DL ?

Answer 25

Question 26

Comment montrer que les coefficients a_k d’un DL sont uniques

Answer 26

Faire une récurrence finie : - **Initialisation :** sortir le a0 de la somme, dire que le reste de la somme tend vers 0 et manier les o pour justifier que : lim(x → a)(f(x)) = a0, de même montrer que : lim(x → a)(f(x)) = b0, par unicité de la limite, a0=b0 - **Hérédité :** on écrit l’égalité de la somme à partir de k=k0 + 1, on divise tout par (x - a)^(k0 + 1), faire tendre x vers a et justifier par unicité de la limite Conclure

Question 27

Que peut-on dire d’une fonction paire qui admet un DL d’ordre n en 0 ? Justif

Answer 27

Question 28

Quel est le lien entre dérivabilité et DL1 ?

Answer 28

Question 29

Montrer le sens direct

Answer 29

Question 30

Qu’est-ce que la propriété de troncature des DL ?

Answer 30

Question 31

Qu’est-ce que la formule de Taylor-Young ?

Answer 31

Question 32

Donner le DLn(0) de exp

Answer 32

Question 33

Donner le DLn(0) de sh et ch

Answer 33

Question 34

Donner les parties régulières des DLn(0) de cos et sin

Answer 34

Question 35

Donner le DL_3(0) de tan

Answer 35

Question 36

Qu’est-ce qu’un DL ?

Answer 36

C’est l’approximation polynomiale d’une fonction

Question 37

La combinaison linéaire de deux o est-elle un o ?

Answer 37

Oui

Question 38

Que vaut la partie régulière du DL de la combinaison linéaire ? Du produit ?

Answer 38

Question 39

Dans quel cas fog admet-elle un DL en a et que vaut sa partie régulière ?

Answer 39

Question 40

Que signifie être un O(1) ?

Answer 40

Être borné

Question 41

Que vaut le DLn(0) de ln(1+x) ?

Answer 41

Question 42

Démontrer la partie régulière de la combinaison linéaire

Answer 42

Question 43

Démontrer la partie régulière du produit

Answer 43

Question 44

Quand on veut faire le DL(0) d’un ln(a + X), comment faire ?

Answer 44

On factorise par a et on a alors ln(a) + ln(1 + X/a), que l’on sait faire

Question 45

Comment faire le DL d’un quotient ?

Answer 45

On factorise pour avoir quelque chose de la forme 1+X au dénominateur, on sépare numérateur et dénominateur et on fait le DL de 1/(1+X), avec X qui tend vers 0

Question 46

Que vaut la partie régulière du DL de la primitive ?

Answer 46

C’est la primitive de la partie régulière du DL

Question 47

Démontrer le DL(0) à l’ordre n de ln(1+x)

Answer 47

Question 48

1/3 + 1/6 = ?

Answer 48

1/2

Question 49

1/4 + 1/12 = ?

Answer 49

1/3

Question 50

Donner le DLn(0) de exp(α.x), α€C

Answer 50

D’après Taylor-Young, comme exp(x) mais à chaque fois qu’on dérive k fois on a un α^k qui sort

Question 51

Donner le DLn(0) de ln(1-x)

Answer 51

Question 52

Donner le développement limité en 0 de (1+x)^α

Answer 52

Question 53

Donner le DLn(0) de Arctan(x)

Answer 53

(Faire 1/(1+x), donc on a 1/(1+x)², on intègre)

Question 54

Comment calculer le DLn d’une bijection réciproque ?

Answer 54

1. Montrer que f est C^n 2. Montrer que f est bijective et que f’ ne s’annule pas, conclure que f-1 est de même classe que f : C^n. 3. Appliquer Taylor-Young à f-1 avec (a1, …, an) comme coefficients devant les x^k 4. Calculer le DL de f et calculer f-1(f(x)) en mettant le DL de f(x) dans le DL de f-1(x) 5. f-1(f(x)) = x = x + o(x^n), on a donc deux expressions de f-1(f(x)) 6. Invoquer l’unicité du DL pour identifier les ak

Question 55

Soit n€N*, f€C^n(I, J) bijective, dans quel cas peut-on déterminer la classe de f-1 ?

Answer 55

Si f’ ne s’annule pas sur I, f-1€C^n(J, I)

Question 56

3! = ?

Answer 56

6

Question 57

4! = ?

Answer 57

24

Question 58

5! = ?

Answer 58

120

Question 59

6! = ?

Answer 59

720

Question 60

A quoi faut-il faire attention lorsqu’on simplifie un DL car une fonction est paire ou impaire ?

Answer 60

Il faut bien faire attention car cela n’est valide que si le DL est en 0

Question 61

Dans quel cas peut-on retirer les termes d’ordres pairs/impairs si le DL est en a≠0 ?

Answer 61

- Retirer les termes d’ordres pairs : si la courbe présente une symétrie centrale par rapport au point (a,f(a)) - Retirer les termes d’ordres impairs : si la courbe présente une symétrie axiale par rapport à la droite x=a

Question 62

Interpréter graphiquement

Answer 62

Question 63

Lorsqu’on a du Arctan(x), x → +∞, et qu’on veut un DL en 0, comment faire ?

Answer 63

Arctan(x) + Arctan(1/x) = π/2, Donc : Arctan(x) = π/2 - Arctan(1/x) Et 1/x → 0 quand x → +∞

Question 64

Comment obtenir le développement asymptotique d’une suite implicite ?

Answer 64

Question 65

Comment utiliser les développements limités pour déterminer la tangente à une fonction f en a ? Comment déterminer si la courbe reste au dessus de la tangente en a ou si elle la traverse ? Comment savoir si on est au-dessus ou en dessous de cette tangente ?

Answer 65

Si le terme non nul suivant est positif : au dessus, sinon : en dessous