Etudes Locales Et Asymptotiques Flashcards
Que signifie-t-il de dire que f est négligeable par rapport à g au voisinage de a ?
On dit que f est négligeable par rapport à g au voisinage de a, noté f=o_a(g) s’il existe un voisinage V de a, tel qu’il existe φ : V→R, telle que lim(x → a)(φ(x)) = 0 et pour tout x€V, f(x) = φ(x)×g(x)
Que signifie-t-il de dire que f est dominée par g au voisinage de a ?
On dis que f est dominée au voisinage de a par g, noté f=O_a(g) s’il existe un voisinage V de a, tel qu’il existe φ : V→R, telle que φ est bornée sur V et pour tout x€V, f(x) = φ(x)×g(x)
Que signifie-t-il de dire que f est équivalente à g au voisinage de a ?
On dis que f est équivalente au voisinage de a à g, noté f ~ g, s’il existe un voisinage V de a, tel qu’il existe φ : V→R, telle que lim(x → a)(φ(x))=1 et pour tout x€V, f(x) = φ(x)×g(x)
Comment caractériser de manière plus simple l’équivalence, la domination et la négligeabilité entre deux fonction f et g ?
Traduire la croissance comparée en o
Montrer que
Que peut-on dire si
Que peut-on dire si
Que peut-on dire si :
Comment lier équivalence et négligeabilité ?
Quelles sont les opérations possibles sur les équivalents ? Démo
On ne somme pas
Que signifie-t-il de dire que f est petit o de 1 en a ?
Que peut-on dire si f est petit o de λ.g en a, λ≠0 ?
Enlever le λ à droite
Que peut-on dire de f+g si f=o(g) en a ?
Comment les équivalences donnent-elles une information sur les signes ?
Comment les équivalences donnent-elles une information sur les limites ?
Démontrer que :
Que peut-on dire si
Comment composer dans les équivalents ? A quoi faut-il faire attention ?
Comment fonctionne les o, O et ~ dans les suites ?
Comme dans les fonctions
Quel théorème lie équivalence et dérivée ?
Quelles sont les quatres équivalences classiques en 0 ?
Justif
Que signifie-t-il de dire que f admet un développement limité d’ordre n en a ?
Comment appelle-t-on les deux parties d’un DL ?
Que peut-on dire des coefficient a_k dans un DL ?
Comment montrer que les coefficients a_k d’un DL sont uniques
Faire une récurrence finie :
- Initialisation : sortir le a0 de la somme, dire que le reste de la somme tend vers 0 et manier les o pour justifier que : lim(x → a)(f(x)) = a0, de même montrer que : lim(x → a)(f(x)) = b0, par unicité de la limite, a0=b0
- Hérédité : on écrit l’égalité de la somme à partir de k=k0 + 1, on divise tout par (x - a)^(k0 + 1), faire tendre x vers a et justifier par unicité de la limite
Conclure
Que peut-on dire d’une fonction paire qui admet un DL d’ordre n en 0 ?
Justif
Quel est le lien entre dérivabilité et DL1 ?
Montrer le sens direct
Qu’est-ce que la propriété de troncature des DL ?
Qu’est-ce que la formule de Taylor-Young ?
Donner le DLn(0) de exp
Donner le DLn(0) de sh et ch
Donner les parties régulières des DLn(0) de cos et sin
Donner le DL_3(0) de tan
Qu’est-ce qu’un DL ?
C’est l’approximation polynomiale d’une fonction
La combinaison linéaire de deux o est-elle un o ?
Oui
Que vaut la partie régulière du DL de la combinaison linéaire ? Du produit ?
Dans quel cas fog admet-elle un DL en a et que vaut sa partie régulière ?
Que signifie être un O(1) ?
Être borné
Que vaut le DLn(0) de ln(1+x) ?
Démontrer la partie régulière de la combinaison linéaire
Démontrer la partie régulière du produit
Quand on veut faire le DL(0) d’un ln(a + X), comment faire ?
On factorise par a et on a alors ln(a) + ln(1 + X/a), que l’on sait faire
Comment faire le DL d’un quotient ?
On factorise pour avoir quelque chose de la forme 1+X au dénominateur, on sépare numérateur et dénominateur et on fait le DL de 1/(1+X), avec X qui tend vers 0
Que vaut la partie régulière du DL de la primitive ?
C’est la primitive de la partie régulière du DL
Démontrer le DL(0) à l’ordre n de ln(1+x)
1/3 + 1/6 = ?
1/2
1/4 + 1/12 = ?
1/3
Donner le DLn(0) de exp(α.x), α€C
D’après Taylor-Young, comme exp(x) mais à chaque fois qu’on dérive k fois on a un α^k qui sort
Donner le DLn(0) de ln(1-x)
Donner le développement limité en 0 de (1+x)^α
Donner le DLn(0) de Arctan(x)
(Faire 1/(1+x), donc on a 1/(1+x)², on intègre)
Comment calculer le DLn d’une bijection réciproque ?
- Montrer que f est C^n
- Montrer que f est bijective et que f’ ne s’annule pas, conclure que f-1 est de même classe que f : C^n.
- Appliquer Taylor-Young à f-1 avec (a1, …, an) comme coefficients devant les x^k
- Calculer le DL de f et calculer f-1(f(x)) en mettant le DL de f(x) dans le DL de f-1(x)
- f-1(f(x)) = x = x + o(x^n), on a donc deux expressions de f-1(f(x))
- Invoquer l’unicité du DL pour identifier les ak
Soit n€N*, f€C^n(I, J) bijective, dans quel cas peut-on déterminer la classe de f-1 ?
Si f’ ne s’annule pas sur I, f-1€C^n(J, I)
3! = ?
6
4! = ?
24
5! = ?
120
6! = ?
720
A quoi faut-il faire attention lorsqu’on simplifie un DL car une fonction est paire ou impaire ?
Il faut bien faire attention car cela n’est valide que si le DL est en 0
Dans quel cas peut-on retirer les termes d’ordres pairs/impairs si le DL est en a≠0 ?
- Retirer les termes d’ordres pairs : si la courbe présente une symétrie centrale par rapport au point (a,f(a))
- Retirer les termes d’ordres impairs : si la courbe présente une symétrie axiale par rapport à la droite x=a
Interpréter graphiquement
Lorsqu’on a du Arctan(x), x → +∞, et qu’on veut un DL en 0, comment faire ?
Arctan(x) + Arctan(1/x) = π/2,
Donc : Arctan(x) = π/2 - Arctan(1/x)
Et 1/x → 0 quand x → +∞
Comment obtenir le développement asymptotique d’une suite implicite ?
Comment utiliser les développements limités pour déterminer la tangente à une fonction f en a ? Comment déterminer si la courbe reste au dessus de la tangente en a ou si elle la traverse ? Comment savoir si on est au-dessus ou en dessous de cette tangente ?
Si le terme non nul suivant est positif : au dessus, sinon : en dessous
