Suites

Question 1

Qu’est-ce qu’un majorant d’un ensemble ?

Answer 1

Soit A ⊂ R, A non vide, M€R,
On dit que M est un majorant de A si :
∀x€A, x≤M

Question 2

Qu’est-ce qu’un minorant d’un ensemble ?

Answer 2

Soit A ⊂ R, A non vide, m€R,
On dit que m est un minorant de A si :
∀x€A, x≥m

Question 3

Qu’est-ce que le plus grand élément d’un ensemble ? Comment le note-t-on ?

Answer 3

Soit A un ensemble, on dit que M est le plus grand élément de A, noté max(A), si :

• M majorant de A
• M€A

Question 4

Qu’est-ce que le plus petit élément d’un ensemble ? Comment le note-t-on ?

Answer 4

Soit A un ensemble, on dit que m est le plus petit élément de A, noté min(A), si :

• m minorant de A
• m€A

Question 5

Quand dit-on qu’un ensemble est majoré ?

Answer 5

Soit A ⊂ R, on dit que A est majoré si il admet un majorant

Question 6

Quand dit-on qu’un ensemble est minoré ?

Answer 6

Soit A ⊂ R, on dit que A est minoré si il admet un minorant

Question 7

Quand dit-on qu’un ensemble est borné ?

Answer 7

S’il est minoré et majoré

Question 8

Qu’est-ce que la borne supérieure d’un ensemble A ?

Answer 8

Soit A ⊂ R, A non vide, c€R, on dit que c est la borne supérieure de A, notée sup(A), si :

• c est un majorant de A
• ∀ε>0, ∃x€A, c-ε≤x

Question 9

La borne supérieure est-elle unique ?
Justif

Answer 9

✅✅✅

Soit A ⊂ R, A non vide et majoré, soit c1 et c2 deux bornes supérieures de A.
Supposons par l’absurde que c1<c2 :
On pose ε=(c2 - c1)/2,
c2=sup(A), donc il existe x€A tel que x≥ c2 - ε=(c1 + c2)/2 >c1,
Or, c1=sup(A), donc x≤c1,
C’est absurde, donc c1≥c2,
De même c2≥c1.
Donc, c1=c2

Question 10

Qu’est-ce que la caractérisation séquentielle de la borne supérieure ?

Answer 10

Soit A ⊂ R, A non vide et majoré, c€R, alors :
c=sup(A) ⇔ {c est un majorant de A • ∃(u_n)€A^N, lim(n → +∞)(u_n) = c}

Question 11

Quel est le lien entre plus grand élément et borne supérieure ?

Answer 11

Si un ensemble admet un plus grand élément, alors il admet une borne supérieure et cette borne supérieure est le plus grand élément.

Question 12

Quel est le lien entre plus petit élément et borne inférieure ?

Answer 12

Si un ensemble admet un plus petit élément, alors il admet une borne inférieure et cette borne inférieure est le plus petit élément.

Question 13

Soit A un ensemble, qu’est-ce qu’une suite de A ?

Answer 13

Soit A un ensemble, une suite de A est une application de N dans A

Question 14

Soit A un ensemble, comment note-t-on l’ensemble des suites à valeurs dans A ?

Answer 14

On note A^N l’ensemble des suites à valeurs dans A

Question 15

Quand dit-on qu’une suite est majorée ?

Answer 15

On dit qu’une suite est majorée si l’ensemble de ses images est majoré

Question 16

Quand dit-on qu’une suite est minorée ?

Answer 16

On dit qu’une suite est minorée si l’ensemble de ses images est minoré

Question 17

Quand dit-on qu’une suite est bornée ?

Answer 17

On dit qu’une suite est bornée si elle est majorée et minorée

Question 18

Comment exprimer qu’une suite est bornée grâce à la valeur absolue ?

Answer 18

Suite bornée ⇔ valeur absolue de la suite majorée

Question 19

Quels sont les trois types de suites que l’on rencontre le plus ?

Answer 19

Les suites définies explicitement :

• u_n=f(n) avec f : N → R

Les suites définies implicitement :

• (u_n) est l’unique solution de f(u_n)=0 avec f : A → R, A ⊂ R

Les suites définies par récurrence :

• ∀n€N, u_n=f_n(u0, …, u_(n-1)), f_n : R^n → R

Question 20

Comment définir en quantificateurs la limite finie d’une suite ?

Answer 20

Soit (u_n)€C^N, l€C,
On dit que (u_n) tend vers l si :
∀ε>0, ∃n0€N, ∀n≥n0, |u_n - l|≤ε

Question 21

Comment déterminer la limite de la valeur absolue d’une suite ?
Justif

Answer 21

Soit (u_n)€C^N, l€C, alors :
lim(n → +∞)(u_n) = l ⇒ lim(n → +∞)(|u_n|) = |l|

Supposons que lim(n → +∞)(u_n) = l :
Soit ε>0,
lim(n → +∞)(u_n) = l, donc il existe n1€N tel que pour tout n≥n1, |u_n - l|≤ε.
Soit n≥n1,
||u_n|-|l|| ≤ |u_n - l|≤ ε car n≥n1,
Donc par définition de la limite, lim(n → +∞)(|u_n|) = |l|

Question 22

Quand dit-on qu’une suite est convergente ?

Answer 22

Soit u€C^N, on dit que u est convergente si :

• ∃l€C, lim(n → +∞)(u_n) = l

Question 23

Comment définir en quantificateurs la limite infinie d’une suite ?

Answer 23

Soit (u_n)€C^N, l€C,
On dit que (u_n) tend vers +∞ si :
∀M>0, ∃n0€N, ∀n≥n0, u_n≥M

Question 24

Une suite convergente est-elle bornée ?
Justif

Answer 24

✅✅✅

Soit (u_n)n€N une suite convergente,
Alors, il existe l€C tel que lim(n → +∞)(u_n) = l,
Posons ε=1,
Par définition, ∃n0€N, ∀n≥n0, |u_n - l|≤1,
D’après la deuxième inégalité triangulaire, |u_n|-|l|≤||u_n|-|l||≤|u_n - l|,
Donc : ∀n≥n0, |u_n|≤|l|+1.
On pose M=max(|u0|, |u…|, |u_(n0-1)|, |l|+1),
Donc, ∀n<n0, |u_n|≤M et ∀n≥n0, |u_n|≤|l|+1≤M,
Donc, ∀n≥0, |u_n|≤M,
C’est-à-dire u est bornée

Question 25

Comment rédiger pour montrer en pratique qu’une suite diverge vers +∞ (en exercice très théorique) ?

Answer 25

Soit M€R,
- …
- …
(Différents cas à possiblement distinguer selon la valeur de M)
Poser à chaque fois n0=une valeur
Soit n≥n0, montrer que u_n≥M

Question 26

Quelle est la limite de la combinaison linéaire de plusieurs suites convergentes ? Justif

Answer 26

C’est la combinaison linéaire de leurs limite

Soit ε>0 et n≥0,
|λ.u_n + μ.v_n - (λ.l + μ.l’)|=|λ.(u_n - l) + μ(v_n - l’)|≤|λ||u_n - l| + |μ|.|v_n - l| par inégalité triangulaire.
Posons ε’=ε/(2|λ|) et ε’’=ε/(2|μ|),
Or, lim(n → +∞)(u_n)=l, donc : ∃n1€N, ∀n≥n1, |u_n - l|≤ε’,
Et, lim(n → +∞)(v_n)=l, donc : ∃n2€N, ∀n≥n2, |u_n - l’|≤ε’’,
Posons n3=max(n1;n2),
Supposons n≥n3,
Alors, |λ.u_n + μ.v_n - (λ.l + μ.l’)|≤|λ||u_n - l| + |μ||v_n - l’|≤|λ|ε’ + |μ|.ε’’=ε
Donc, lim(n → +∞)(λ.u_n + μ.v_n) = λ.l + μ.l’, par définition

Question 27

Quelle est la limite du produit de deux suites convergentes ?
Justif

Answer 27

C’est le produit de leurs limites

Soit ε>0 et n≥0,
|u_n × v_n - l×l’|=|u_n × v_n - l’×u_n + l’×u_n - l×l’|=|u_n(v_n - l’) + l’(u_n - l)|≤|u_n||v_n - l’| + |l’||u_n - l|
u_n converge, donc elle est bornée : ∃M€R*+, ∀n>0, |u_n|≤M,
Donc, |u_n × v_n - l×l’|≤ M×|v_n - l’|+|l’|×|u_n - l|,
- Si l’≠0, on pose ε’=ε/2|l’| et ε’’=ε/2M,
Or, lim(n → +∞)(u_n)=l, donc : ∃n1€N, ∀n≥n1, |u_n - l|≤ε’,
Et, lim(n → +∞)(v_n)=l, donc : ∃n2€N, ∀n≥n2, |u_n - l’|≤ε’’,
Posons n3=max(n1;n2),
Supposons n≥n3,
|u_n × v_n - l×l’|≤M×ε’’ + |l|×ε’=ε

Résumé :

• Réécrire |u_n × v_n - l×l’| sous une forme qui fait permet de faire apparaître une inégalité impliquant |u_n - l| et |v_n - l’|.
• Dire que u est majorée et passer l’inégalité sur M.
• Introduire ε’ et ε’’ pour qu’en remplaçant dans l’inégalité on ait ε/2 + ε/2.
• Remplacer et conclure.

Question 28

Quelle est la limite du quotient de deux suites convergentes, avec celle au dénominateur qui ne s’annule pas et ne tend pas vers 0 ?
Justif

Answer 28

C’est le quotient de leurs limites

Soit ε>0, n>0,
|u_n/v_n - l/l’| = |u_n × l’ - v_n × l|/(|v_n||l’|) = |u_n × l’ - l×l’ + l×l’ - v_n × l|/|v_n||l’|≤ (|l’||u_n - l|+|l||v_n - l’|/(|v_n||l’|)
Or, lim(n → +∞)(v_n)=l’, donc : ∃n3€N, ∀n≥n3, |u_n - l’|≤|l’|/2,
Donc, |l’|-|v_n|≤|l’|/2,
D’où, |v_n|≥|l’| - |l’|/2 = |l’|/2,
On pose ε’=|l’|²/2 × ε/(2|l’|)=|l’|×ε/4 et ε’’=|l’|²/2 × ε/2|l|=|l|×ε/4
Or, lim(n → +∞)(u_n)=l, donc : ∃n1€N, ∀n≥n1, |u_n - l|≤ε’,
Et, lim(n → +∞)(v_n)=l, donc : ∃n2€N, ∀n≥n2, |u_n - l’|≤ε’’,
Posons N=max(n1;n2;n3),
Supposons n≥N,
|u_n/v_n - l/l’|≤ (|l’||u_n - l| + |l||v_n - l’|)/(|v_n||l’|)≤…=ε/2 + ε/2=ε

Question 29

Que peut-on dire du produit d’une suite convergeant vers 0 et d’une suite bornée ?
Justif

Answer 29

Le produit d’une suite convergeant vers 0, et d’une suite bornée converge vers 0

Introduire les suites,
Traduire en quantificateurs le fait d’être bornée,
Introduire ε et n,
|u_n × v_n|=|u_n|×|v_n|≤M×|u_n|
Invoquer la limite pour dire qu’il existe n0…
∀n≥n0, |u_n|≤ε/M,
Donc, ∀n≥n0, |u_n × v_n|≤…≤ε
Par def de la limite, lim(n → +∞)(u_n * v_n) = 0

Question 30

Que peut-on dire d’une suite qui tend vers un réel strictement positif ?
Justif

Answer 30

Soit l€R*+, (v_n)€R^N, telle que lim(n → +∞)(v_n) = l > 0,
Alors, (v_n) est strictement positive à partir d’un certain rang, autrement dit : ∃n0€N, ∀n≥n0, u_n > 0

lim(n → +∞)(v_n)=l pour donc il existe n0€N tel que pour tout n≥n0, |u_n - l|≤l,
Soit n≥n0, alors -l ≤ u_n - l ⇒ u_n ≥0,
Conclure

Question 31

Qu’est-ce que le théorème d’encadrement ?
Demo

Answer 31

Soit ((u_n), (v_n), (w_n))€(R^N)³ telles que :

• ∃l€R, lim(n → +∞)(u_n) = l et lim(n → +∞)(w_n) = l
• ∃n0€R, ∀n≥n0, u_n ≤ v_n ≤ w_n

Alors, v admet une limite et lim(n → +∞)(v_n) = l

Soit ε>0, par définition de la limite,
∀n≥n0, |u_n - l|≤ε et |w_n - l|≤ε,
Posons N=max(n0, n1, n2),
Soit n≥N, encadrer u_n et w_n
Donc pour n≥N,
Invoquer «l’ordre» des trois limites car n≥n0
Ajouter les deux encadrements déterminés car n≥n0 et n≥n1 et n≥n2
Revenir sur une valeur absolue
Conclure

Question 32

Comment encadrer une somme ou intégrale, afin de déterminer sa limite ?

Answer 32

Soit n€N*,

• n × min(u_k) ≤ Σ(k=1 → n)(u_k) ≤ n × max(u_k)

Soit (a;b)€R2, a<b, soit t€[a;b],

• (b-a) × min(f(t)) ≤ ∫<a→b>f(t).dt ≤ (b-a) × max(f(t))

Question 33

Qu’est-ce que le théorème de comparaison ?
Demo

Answer 33

Soit (u_n), (v_n)€R^N, telles que :

• ∃n0€N, ∀n≥n0, u_n ≤ v_n
• lim(n → +∞)(u_n) = +∞

Alors lim(n → +∞)(v_n) = +∞

Soit M€R,
lim(n → +∞)(u_n) = +∞, donc par définition, ∃n1€N, ∀n≥n1, u_n≥M,
Posons N=max(n0;n1),
Soit n≥N,
Alors M≤u_n, car n≥n1 et u_n≤v_n car n≥n0, donc M≤v_n,
Conclure

Question 34

Comment effectuer une comparaison «série-intégrale» ?

Answer 34

1. Invoquer la croissance/décroissance pour avoir un premier encadrement (ou inégalité) sur [k;k+1]
2. Invoquer la continuité et la croissance de l’intégrale pour passer aux intégrales
3. Sommer de 1 à n

Question 35

Que peut-on dire de la somme d’une suite qui tend vers un réel et d’une suite qui tend vers l’infini ?

Answer 35

La somme tend vers l’infini

Question 36

Que peut-on dire du produit d’une suite qui tend vers un réel et d’une suite qui tend vers l’infini ?

Answer 36

Le produit tend vers l’infini, +/- à déterminer en fonction de leurs deux signes

Question 37

Quelle technique peut-on utiliser en introduisant une suite spécifique pour montrer que (u_n) → l ?

Answer 37

Il suffit de trouver (v_n) qui tend vers 0 tel que : à partir d’un certain rang n0, ∀n≥n0, |u_n - l|≤ v_n

Question 38

Qu’est-ce qu’une suite croissante ? décroissante ?

Answer 38

Soit (u_n)€R^N, alors on dit que u est croissante (resp. décroissante) si : ∀n€N, u_(n+1) - u_n ≥ 0 (resp. ≤ 0)

Idem pour stricte avec inégalités strictes

Question 39

Qu’est-ce qu’une suite constante ? Stationnaire ?

Answer 39

Soit (u_n)€R^N, alors on dit que u est constante (resp. stationnaire) si : ∀n€N, u_(n+1) - u_n = 0 (resp. ∃n0, ∀n≥n0, …)

Question 40

Qu’est-ce que le théorème de la limite monotone ?
Démo

Answer 40

Soit (u_n)€R^N, alors :

u croissante majorée ⇒ u converge
u croissante non majorée ⇒ u → +∞

Et

u décroissante minorée ⇒ u converge
u décroissante non minorée ⇒ u → -∞

Supposons u croissante,

• Si u est majorée,
  On pose A={u_n | n€N}, A est majoré car u est majoré et A est non vide car u0€A, donc A admet une borne supérieure.
  On note l=sup(A),
  Mq u_n → l :
  Soit ε>0,
  l=sup(A), donc, ∃n0€N, u_n0 ≥ l - ε
  Soit n≥n0, alors u_n0 ≤ u_n ≤ sup(A) car u est croissante,
  Donc, l - ε ≤ u_n0 ≤ u_n ≤ l ≤ l + ε,
  Donc lim(n → +∞)(u_n) = l, par def de la limite
• Si u est non majorée,
  Soit M€R,
  Alors, ∃n0€N, u_n0≥M
  Soit n≥n0, alors par croissance de u, u_n ≥ u_n0 ≥ M,
  Donc lim(n → +∞)(u_n) = +∞ par définition

Question 41

Que sont deux suites adjacentes ?

Answer 41

Soit u, v € R^N, on dit que u et v sont adjacentes si :

• u croissante
• v décroissante
• lim(n → +∞)(u_n - v_n) = 0

Question 42

Que peut-on dire des deux limites de deux suites adjacentes ?

Answer 42

Elles sont égales

Question 43

Comment comparer deux suites u et v adjacentes, avec u décroissante et v croissante ?

Answer 43

∀n€N, u_n > v_n

Question 44

Qu’est c’est qu’une extractrice et une suite extraite?

Answer 44

Soit u€C^N
On appelle exctractrice toute fonction φ : N → N strictement croissante,
On appelle sous suite (ou suite extraite) toute suite de la forme (u_(φ(n))_n€N

Question 45

Que peut-on dire de la limite d’une suite extraite ?

Answer 45

C’est la même que la suite initiale

Question 46

Comment montrer qu’une suite diverge en utilisant les suites extraites ?

Answer 46

Trouver deux suites extraites qui convergent vers des limites différentes

Question 47

Comment montrer qu’une suite converge en utilisant les suites extraites ?
Justif

Answer 47

Si (u_2n) et (u_(2n+1)) convergent vers la même limite l, alors (u_n) converge vers l

Soit ε>0,
def limites
On pose N=max(2.n1 ; 2.n2+1)
Soit n≥N,
Si n est pair, n s’écrit 2p avec p€N, p≥n1,
Donc |u_n - l|=|u_2p - l|≤ ε,
Si n est impair, …
Donc, ∀n€N, |u_n - l|≤ ε,
Donc, par def de la limite, lim(n → +∞)(u_n) = l

Question 48

Quelle manière d’exprimer le n-ième terme d’une suite peut-être utile, notamment pour introduire des sommes lorsqu’on en a besoin ?

Answer 48

v_n = Σ(k=0 → n-1)(v_(k+1) - v_n) + v_0

Question 49

Soit (a;b)€Z², comment passer de l’inégalité stricte a<b à une inégalité large ?

Answer 49

a≤b-1 ou a+1≤b

Question 50

Comment montrer qu’un élément a minore un ensemble A ?

Answer 50

On écrit :
Soit x€A, alors x s’écrit forme des éléments de l’ensemble,
D’où, x - a = …
montrer que c’est x - a≥0
Alors, ∀x€A, x≥a, donc a est un minorant de A.

Question 51

Qu’est-ce qu’une suite arithmétique ?

Answer 51

Soit (u_n)€C^N, on dit que u est arithmétique si : ∃r€C, ∀n€N, u_(n+1) = u_n + r

Question 52

Qu’est-ce qu’une suite géométrique ?

Answer 52

Soit (u_n)€C^N, on dit que u est géométrique si : ∃q€C, ∀n€N, u_(n+1) = q × u_n

Question 53

Qu’est-ce qu’une suite arithmético-géométrique ?

Answer 53

Soit (u_n)€C^N, on dit que u est arithmético-géométrique si : ∃(q;r)€C², q≠1, r≠0, ∀n€N, u_(n+1) = q × u_n + r

Question 54

Comment définir explicitement le terme général d’une suite arithmétique ?
Comment démontrer ?

Answer 54

Soit u une suite arithmétique de raison r,
u_n = u0 + n×r

Montrer par récurrence

Question 55

Comment définir explicitement le terme général d’une suite géométrique ?
Comment démontrer ?

Answer 55

Soit u une suite géométrique de raison q,
u_n = u0 × q^n

Montrer par récurrence

Question 56

Comment définir explicitement le terme général d’une suite arithmético-géométrique ?
Démo

Answer 56

Soit u une suite arithmético-géométrique de raisons r et q,
u_n = q^n × (u0 - l) + l avec l=r/(1 - q)

∀n€N,
u_(n+1) = q×u_n + r
D’où u_(n+1) - q×u_n = r
Cherchons une suite constante v vérifiant cette dernière équation :
Alors, ∃l€C, ∀n€N, v_n = l,
Donc l - q×l = r ⇔ l = r/(1-q), car q≠1,
Soit n€N
On a, donc, u_(n+1) - l = q×u_n + r - r - q×l ⇔ u_(n+1) - l = q×(u_n - l), donc (u_n - l) est géométrique de raison q,
Donc, u_n - l = q^n × (u_n - l),
D’où, u_n = l + q^n × (u_n - l)

Question 57

Soit a€C*, (b_n)€C^N, (u_n)€C^N, on suppose que : ∀n€N, u_(n+1) = a×u_n + b_n, déterminer l’expression du terme général de u ? Comment faire plus généralement quand a dépend de n également ?

Answer 57

On met le produit des a_k au lieu de a^n

Question 58

Soit (a, b, c)€C³, a≠0, (u_n)€C^N,
On suppose que, ∀n€N, a×u_(n+2) + b×u_(n+1) + c×u_n = 0, comment déterminer le terme général de u ?

Answer 58

On appelle équation caractéristique : a×r² + b×r + c = 0 (E)

• Si Δ=0, on appelle λ l’unique solution de (E), alors, ∃(A, B)€C², ∀n€N, u_n = (A×n + B)×λ^n
• Si Δ≠0, on appelle λ1 et λ2 les deux solutions de (E), alors, ∃(A, B)€C², ∀n€N, u_n = A×λ1^n + B×λ2^n

Question 59

Qu’est-ce qu’une suite récurrente ?

Answer 59

Soit (u_n)€R^N, on dit que u_n est une suite récurrente si il existe I un intervalle non vide, tel qu’il existe f€I^I, telle que : ∀n€N, u(n+1)=f(u(n))

Question 60

Que peut-on dire de la limite d’une suite récurrente ?
Justif

Answer 60

Soit I un intervalle non vide, f€I^I, u€I^N définie par u0€I et : ∀n€N, u(n+1)=f(u(n)), on suppose que lim(n → +∞)(u_n)=l€I, alors l=f(l)

u(n+1)=f(u(n))
lim(n → +∞)(u_(n+1))=l, car c’est une suite extraite de (u_n)
En appliquant f, car f est continue en l€I, lim(n → +∞)(f(u_n))=f(l),
Donc par unicité de la limite, l=f(l), la limite est un point fixe

Question 61

Comment déterminer la limite finie d’une suite récurrente en étudiant les points fixes de sa fonction associée ? Dans quel cas est-ce possible ?

Answer 61

Si la fonction d’une suite récurrente convergente admet un unique point fixe, puisque la limite est atteinte en un point fixe, on pose l€R la limite de la suite, donc f(l)=l, on résoud

Question 62

Comment déterminer qu’une suite récurrente ne converge pas en étudiant les points fixes de sa fonction ? Dans quel cas est-ce possible ?

Answer 62

Si la fonction d’une suite récurrente n’admet aucun point fixe, puisque la limite finie est atteinte en un point fixe, cette suite ne converge pas

Question 63

Comment étudier la limite d’une suite récurrente en pratique ?

Answer 63

1. Check les points fixes au cas où (s’il y en a qu’un ou s’il y en a pas)
2. Check le signe
3. Check la monotonie

Question 64

Que signifie-t-il de dire qu’une suite complexe converge ?
Justif

Answer 64

Soit u_n une suite complexe, alors :
(u_n) converge vers l€C ⇔ (Re(u_n)) converge vers Re(l) et (Im(u_n)) de l converge vers Im(l)

Question 65

Comment réarranger x × sin(y/x) pour calculer sa limite en +∞ ? (y fixé)

Answer 65

On dit x × sin(y/x) = x × y × 1/y × sin(y/x) = y × sin(y/x)/(y/x)
Et lim(n → +∞)(y × sin(y/x)/(y/x)) = y

Question 66

Lorsqu’on demande de montrer l’existence d’une limite, sans pour autant la calculer, quel indice est donné ?

Answer 66

Il faut utiliser le théorème de la convergence monotone qui assure simplement l’existence de la limite.

Question 67

Que peut-on dire de la limite d’une suite géométrique complexe de raison q ?

Answer 67

• Si |q|<1, cette suite converge vers 0
• Si |q|>1, cette suite diverge

Question 68

Peut-on dire qu’une suite complexe diverge vers +/- ∞ ?

Answer 68

Non, on a défini uniquement la convergence vers une limite finie, on dit seulement que la suite diverge

Question 69

Quelles sont les méthodes pour montrer qu’une suite explicite diverge ?

Answer 69

• Plusieurs suites extraites qui convergent vers des limites différentes
• Montrer qu’elle est croissante et non majoré ou décroissante et non minorée

Question 70

Montrer que

Answer 70

On ne peut pas faire par encadrement direct car on ne sait pas si les deux suites ont des limites

Question 71

Comment montrer qu’un ensemble un peu complexe n’admet pas de borne supérieure ?

Answer 71

On montre qu’il existe une suite d’éléments de cet ensemble qui tend vers +∞