Suites Flashcards
Qu’est-ce qu’un majorant d’un ensemble ?
Soit A ⊂ R, A non vide, M€R,
On dit que M est un majorant de A si :
∀x€A, x≤M
Qu’est-ce qu’un minorant d’un ensemble ?
Soit A ⊂ R, A non vide, m€R,
On dit que m est un minorant de A si :
∀x€A, x≥m
Qu’est-ce que le plus grand élément d’un ensemble ? Comment le note-t-on ?
Soit A un ensemble, on dit que M est le plus grand élément de A, noté max(A), si :
- M majorant de A
- M€A
Qu’est-ce que le plus petit élément d’un ensemble ? Comment le note-t-on ?
Soit A un ensemble, on dit que m est le plus petit élément de A, noté min(A), si :
- m minorant de A
- m€A
Quand dit-on qu’un ensemble est majoré ?
Soit A ⊂ R, on dit que A est majoré si il admet un majorant
Quand dit-on qu’un ensemble est minoré ?
Soit A ⊂ R, on dit que A est minoré si il admet un minorant
Quand dit-on qu’un ensemble est borné ?
S’il est minoré et majoré
Qu’est-ce que la borne supérieure d’un ensemble A ?
Soit A ⊂ R, A non vide, c€R, on dit que c est la borne supérieure de A, notée sup(A), si :
- c est un majorant de A
- ∀ε>0, ∃x€A, c-ε≤x
La borne supérieure est-elle unique ?
Justif
✅✅✅
Soit A ⊂ R, A non vide et majoré, soit c1 et c2 deux bornes supérieures de A.
Supposons par l’absurde que c1<c2 :
On pose ε=(c2 - c1)/2,
c2=sup(A), donc il existe x€A tel que x≥ c2 - ε=(c1 + c2)/2 >c1,
Or, c1=sup(A), donc x≤c1,
C’est absurde, donc c1≥c2,
De même c2≥c1.
Donc, c1=c2
Qu’est-ce que la caractérisation séquentielle de la borne supérieure ?
Soit A ⊂ R, A non vide et majoré, c€R, alors :
c=sup(A) ⇔ {c est un majorant de A • ∃(u_n)€A^N, lim(n → +∞)(u_n) = c}
Quel est le lien entre plus grand élément et borne supérieure ?
Si un ensemble admet un plus grand élément, alors il admet une borne supérieure et cette borne supérieure est le plus grand élément.
Quel est le lien entre plus petit élément et borne inférieure ?
Si un ensemble admet un plus petit élément, alors il admet une borne inférieure et cette borne inférieure est le plus petit élément.
Soit A un ensemble, qu’est-ce qu’une suite de A ?
Soit A un ensemble, une suite de A est une application de N dans A
Soit A un ensemble, comment note-t-on l’ensemble des suites à valeurs dans A ?
On note A^N l’ensemble des suites à valeurs dans A
Quand dit-on qu’une suite est majorée ?
On dit qu’une suite est majorée si l’ensemble de ses images est majoré
Quand dit-on qu’une suite est minorée ?
On dit qu’une suite est minorée si l’ensemble de ses images est minoré
Quand dit-on qu’une suite est bornée ?
On dit qu’une suite est bornée si elle est majorée et minorée
Comment exprimer qu’une suite est bornée grâce à la valeur absolue ?
Suite bornée ⇔ valeur absolue de la suite majorée
Quels sont les trois types de suites que l’on rencontre le plus ?
Les suites définies explicitement :
- u_n=f(n) avec f : N → R
Les suites définies implicitement :
- (u_n) est l’unique solution de f(u_n)=0 avec f : A → R, A ⊂ R
Les suites définies par récurrence :
- ∀n€N, u_n=f_n(u0, …, u_(n-1)), f_n : R^n → R
Comment définir en quantificateurs la limite finie d’une suite ?
Soit (u_n)€C^N, l€C,
On dit que (u_n) tend vers l si :
∀ε>0, ∃n0€N, ∀n≥n0, |u_n - l|≤ε
Comment déterminer la limite de la valeur absolue d’une suite ?
Justif
Soit (u_n)€C^N, l€C, alors :
lim(n → +∞)(u_n) = l ⇒ lim(n → +∞)(|u_n|) = |l|
Supposons que lim(n → +∞)(u_n) = l :
Soit ε>0,
lim(n → +∞)(u_n) = l, donc il existe n1€N tel que pour tout n≥n1, |u_n - l|≤ε.
Soit n≥n1,
||u_n|-|l|| ≤ |u_n - l|≤ ε car n≥n1,
Donc par définition de la limite, lim(n → +∞)(|u_n|) = |l|
Quand dit-on qu’une suite est convergente ?
Soit u€C^N, on dit que u est convergente si :
- ∃l€C, lim(n → +∞)(u_n) = l
Comment définir en quantificateurs la limite infinie d’une suite ?
Soit (u_n)€C^N, l€C,
On dit que (u_n) tend vers +∞ si :
∀M>0, ∃n0€N, ∀n≥n0, u_n≥M
Une suite convergente est-elle bornée ?
Justif
✅✅✅
Soit (u_n)n€N une suite convergente,
Alors, il existe l€C tel que lim(n → +∞)(u_n) = l,
Posons ε=1,
Par définition, ∃n0€N, ∀n≥n0, |u_n - l|≤1,
D’après la deuxième inégalité triangulaire, |u_n|-|l|≤||u_n|-|l||≤|u_n - l|,
Donc : ∀n≥n0, |u_n|≤|l|+1.
On pose M=max(|u0|, |u…|, |u_(n0-1)|, |l|+1),
Donc, ∀n<n0, |u_n|≤M et ∀n≥n0, |u_n|≤|l|+1≤M,
Donc, ∀n≥0, |u_n|≤M,
C’est-à-dire u est bornée
Comment rédiger pour montrer en pratique qu’une suite diverge vers +∞ (en exercice très théorique) ?
Soit M€R,
- …
- …
(Différents cas à possiblement distinguer selon la valeur de M)
Poser à chaque fois n0=une valeur
Soit n≥n0, montrer que u_n≥M
Quelle est la limite de la combinaison linéaire de plusieurs suites convergentes ? Justif
C’est la combinaison linéaire de leurs limite
Soit ε>0 et n≥0,
|λ.u_n + μ.v_n - (λ.l + μ.l’)|=|λ.(u_n - l) + μ(v_n - l’)|≤|λ||u_n - l| + |μ|.|v_n - l| par inégalité triangulaire.
Posons ε’=ε/(2|λ|) et ε’’=ε/(2|μ|),
Or, lim(n → +∞)(u_n)=l, donc : ∃n1€N, ∀n≥n1, |u_n - l|≤ε’,
Et, lim(n → +∞)(v_n)=l, donc : ∃n2€N, ∀n≥n2, |u_n - l’|≤ε’’,
Posons n3=max(n1;n2),
Supposons n≥n3,
Alors, |λ.u_n + μ.v_n - (λ.l + μ.l’)|≤|λ||u_n - l| + |μ||v_n - l’|≤|λ|ε’ + |μ|.ε’’=ε
Donc, lim(n → +∞)(λ.u_n + μ.v_n) = λ.l + μ.l’, par définition
Quelle est la limite du produit de deux suites convergentes ?
Justif
C’est le produit de leurs limites
Soit ε>0 et n≥0,
|u_n × v_n - l×l’|=|u_n × v_n - l’×u_n + l’×u_n - l×l’|=|u_n(v_n - l’) + l’(u_n - l)|≤|u_n||v_n - l’| + |l’||u_n - l|
u_n converge, donc elle est bornée : ∃M€R*+, ∀n>0, |u_n|≤M,
Donc, |u_n × v_n - l×l’|≤ M×|v_n - l’|+|l’|×|u_n - l|,
- Si l’≠0, on pose ε’=ε/2|l’| et ε’’=ε/2M,
Or, lim(n → +∞)(u_n)=l, donc : ∃n1€N, ∀n≥n1, |u_n - l|≤ε’,
Et, lim(n → +∞)(v_n)=l, donc : ∃n2€N, ∀n≥n2, |u_n - l’|≤ε’’,
Posons n3=max(n1;n2),
Supposons n≥n3,
|u_n × v_n - l×l’|≤M×ε’’ + |l|×ε’=ε
Résumé :
- Réécrire |u_n × v_n - l×l’| sous une forme qui fait permet de faire apparaître une inégalité impliquant |u_n - l| et |v_n - l’|.
- Dire que u est majorée et passer l’inégalité sur M.
- Introduire ε’ et ε’’ pour qu’en remplaçant dans l’inégalité on ait ε/2 + ε/2.
- Remplacer et conclure.
Quelle est la limite du quotient de deux suites convergentes, avec celle au dénominateur qui ne s’annule pas et ne tend pas vers 0 ?
Justif
C’est le quotient de leurs limites
Soit ε>0, n>0,
|u_n/v_n - l/l’| = |u_n × l’ - v_n × l|/(|v_n||l’|) = |u_n × l’ - l×l’ + l×l’ - v_n × l|/|v_n||l’|≤ (|l’||u_n - l|+|l||v_n - l’|/(|v_n||l’|)
Or, lim(n → +∞)(v_n)=l’, donc : ∃n3€N, ∀n≥n3, |u_n - l’|≤|l’|/2,
Donc, |l’|-|v_n|≤|l’|/2,
D’où, |v_n|≥|l’| - |l’|/2 = |l’|/2,
On pose ε’=|l’|²/2 × ε/(2|l’|)=|l’|×ε/4 et ε’’=|l’|²/2 × ε/2|l|=|l|×ε/4
Or, lim(n → +∞)(u_n)=l, donc : ∃n1€N, ∀n≥n1, |u_n - l|≤ε’,
Et, lim(n → +∞)(v_n)=l, donc : ∃n2€N, ∀n≥n2, |u_n - l’|≤ε’’,
Posons N=max(n1;n2;n3),
Supposons n≥N,
|u_n/v_n - l/l’|≤ (|l’||u_n - l| + |l||v_n - l’|)/(|v_n||l’|)≤…=ε/2 + ε/2=ε
Que peut-on dire du produit d’une suite convergeant vers 0 et d’une suite bornée ?
Justif
Le produit d’une suite convergeant vers 0, et d’une suite bornée converge vers 0
Introduire les suites,
Traduire en quantificateurs le fait d’être bornée,
Introduire ε et n,
|u_n × v_n|=|u_n|×|v_n|≤M×|u_n|
Invoquer la limite pour dire qu’il existe n0…
∀n≥n0, |u_n|≤ε/M,
Donc, ∀n≥n0, |u_n × v_n|≤…≤ε
Par def de la limite, lim(n → +∞)(u_n * v_n) = 0
Que peut-on dire d’une suite qui tend vers un réel strictement positif ?
Justif
Soit l€R*+, (v_n)€R^N, telle que lim(n → +∞)(v_n) = l > 0,
Alors, (v_n) est strictement positive à partir d’un certain rang, autrement dit : ∃n0€N, ∀n≥n0, u_n > 0
lim(n → +∞)(v_n)=l pour donc il existe n0€N tel que pour tout n≥n0, |u_n - l|≤l,
Soit n≥n0, alors -l ≤ u_n - l ⇒ u_n ≥0,
Conclure
Qu’est-ce que le théorème d’encadrement ?
Demo
Soit ((u_n), (v_n), (w_n))€(R^N)³ telles que :
- ∃l€R, lim(n → +∞)(u_n) = l et lim(n → +∞)(w_n) = l
- ∃n0€R, ∀n≥n0, u_n ≤ v_n ≤ w_n
Alors, v admet une limite et lim(n → +∞)(v_n) = l
Soit ε>0, par définition de la limite,
∀n≥n0, |u_n - l|≤ε et |w_n - l|≤ε,
Posons N=max(n0, n1, n2),
Soit n≥N, encadrer u_n et w_n
Donc pour n≥N,
Invoquer «l’ordre» des trois limites car n≥n0
Ajouter les deux encadrements déterminés car n≥n0 et n≥n1 et n≥n2
Revenir sur une valeur absolue
Conclure
Comment encadrer une somme ou intégrale, afin de déterminer sa limite ?
Soit n€N*,
- n × min(u_k) ≤ Σ(k=1 → n)(u_k) ≤ n × max(u_k)
Soit (a;b)€R2, a<b, soit t€[a;b],
- (b-a) × min(f(t)) ≤ ∫<a→b>f(t).dt ≤ (b-a) × max(f(t))
Qu’est-ce que le théorème de comparaison ?
Demo
Soit (u_n), (v_n)€R^N, telles que :
- ∃n0€N, ∀n≥n0, u_n ≤ v_n
- lim(n → +∞)(u_n) = +∞
Alors lim(n → +∞)(v_n) = +∞
Soit M€R,
lim(n → +∞)(u_n) = +∞, donc par définition, ∃n1€N, ∀n≥n1, u_n≥M,
Posons N=max(n0;n1),
Soit n≥N,
Alors M≤u_n, car n≥n1 et u_n≤v_n car n≥n0, donc M≤v_n,
Conclure
Comment effectuer une comparaison «série-intégrale» ?
- Invoquer la croissance/décroissance pour avoir un premier encadrement (ou inégalité) sur [k;k+1]
- Invoquer la continuité et la croissance de l’intégrale pour passer aux intégrales
- Sommer de 1 à n
Que peut-on dire de la somme d’une suite qui tend vers un réel et d’une suite qui tend vers l’infini ?
La somme tend vers l’infini
Que peut-on dire du produit d’une suite qui tend vers un réel et d’une suite qui tend vers l’infini ?
Le produit tend vers l’infini, +/- à déterminer en fonction de leurs deux signes
Quelle technique peut-on utiliser en introduisant une suite spécifique pour montrer que (u_n) → l ?
Il suffit de trouver (v_n) qui tend vers 0 tel que : à partir d’un certain rang n0, ∀n≥n0, |u_n - l|≤ v_n
Qu’est-ce qu’une suite croissante ? décroissante ?
Soit (u_n)€R^N, alors on dit que u est croissante (resp. décroissante) si : ∀n€N, u_(n+1) - u_n ≥ 0 (resp. ≤ 0)
Idem pour stricte avec inégalités strictes
Qu’est-ce qu’une suite constante ? Stationnaire ?
Soit (u_n)€R^N, alors on dit que u est constante (resp. stationnaire) si : ∀n€N, u_(n+1) - u_n = 0 (resp. ∃n0, ∀n≥n0, …)
Qu’est-ce que le théorème de la limite monotone ?
Démo
Soit (u_n)€R^N, alors :
u croissante majorée ⇒ u converge
u croissante non majorée ⇒ u → +∞
Et
u décroissante minorée ⇒ u converge
u décroissante non minorée ⇒ u → -∞
Supposons u croissante,
- Si u est majorée,
On pose A={u_n | n€N}, A est majoré car u est majoré et A est non vide car u0€A, donc A admet une borne supérieure.
On note l=sup(A),
Mq u_n → l :
Soit ε>0,
l=sup(A), donc, ∃n0€N, u_n0 ≥ l - ε
Soit n≥n0, alors u_n0 ≤ u_n ≤ sup(A) car u est croissante,
Donc, l - ε ≤ u_n0 ≤ u_n ≤ l ≤ l + ε,
Donc lim(n → +∞)(u_n) = l, par def de la limite - Si u est non majorée,
Soit M€R,
Alors, ∃n0€N, u_n0≥M
Soit n≥n0, alors par croissance de u, u_n ≥ u_n0 ≥ M,
Donc lim(n → +∞)(u_n) = +∞ par définition
Que sont deux suites adjacentes ?
Soit u, v € R^N, on dit que u et v sont adjacentes si :
- u croissante
- v décroissante
- lim(n → +∞)(u_n - v_n) = 0
Que peut-on dire des deux limites de deux suites adjacentes ?
Elles sont égales
Comment comparer deux suites u et v adjacentes, avec u décroissante et v croissante ?
∀n€N, u_n > v_n
Qu’est c’est qu’une extractrice et une suite extraite?
Soit u€C^N
On appelle exctractrice toute fonction φ : N → N strictement croissante,
On appelle sous suite (ou suite extraite) toute suite de la forme (u_(φ(n))_n€N
Que peut-on dire de la limite d’une suite extraite ?
C’est la même que la suite initiale
Comment montrer qu’une suite diverge en utilisant les suites extraites ?
Trouver deux suites extraites qui convergent vers des limites différentes
Comment montrer qu’une suite converge en utilisant les suites extraites ?
Justif
Si (u_2n) et (u_(2n+1)) convergent vers la même limite l, alors (u_n) converge vers l
Soit ε>0,
def limites
On pose N=max(2.n1 ; 2.n2+1)
Soit n≥N,
Si n est pair, n s’écrit 2p avec p€N, p≥n1,
Donc |u_n - l|=|u_2p - l|≤ ε,
Si n est impair, …
Donc, ∀n€N, |u_n - l|≤ ε,
Donc, par def de la limite, lim(n → +∞)(u_n) = l
Quelle manière d’exprimer le n-ième terme d’une suite peut-être utile, notamment pour introduire des sommes lorsqu’on en a besoin ?
v_n = Σ(k=0 → n-1)(v_(k+1) - v_n) + v_0
Soit (a;b)€Z², comment passer de l’inégalité stricte a<b à une inégalité large ?
a≤b-1 ou a+1≤b
Comment montrer qu’un élément a minore un ensemble A ?
On écrit :
Soit x€A, alors x s’écrit forme des éléments de l’ensemble,
D’où, x - a = …
montrer que c’est x - a≥0
Alors, ∀x€A, x≥a, donc a est un minorant de A.
Qu’est-ce qu’une suite arithmétique ?
Soit (u_n)€C^N, on dit que u est arithmétique si : ∃r€C, ∀n€N, u_(n+1) = u_n + r
Qu’est-ce qu’une suite géométrique ?
Soit (u_n)€C^N, on dit que u est géométrique si : ∃q€C, ∀n€N, u_(n+1) = q × u_n
Qu’est-ce qu’une suite arithmético-géométrique ?
Soit (u_n)€C^N, on dit que u est arithmético-géométrique si : ∃(q;r)€C², q≠1, r≠0, ∀n€N, u_(n+1) = q × u_n + r
Comment définir explicitement le terme général d’une suite arithmétique ?
Comment démontrer ?
Soit u une suite arithmétique de raison r,
u_n = u0 + n×r
Montrer par récurrence
Comment définir explicitement le terme général d’une suite géométrique ?
Comment démontrer ?
Soit u une suite géométrique de raison q,
u_n = u0 × q^n
Montrer par récurrence
Comment définir explicitement le terme général d’une suite arithmético-géométrique ?
Démo
Soit u une suite arithmético-géométrique de raisons r et q,
u_n = q^n × (u0 - l) + l avec l=r/(1 - q)
∀n€N,
u_(n+1) = q×u_n + r
D’où u_(n+1) - q×u_n = r
Cherchons une suite constante v vérifiant cette dernière équation :
Alors, ∃l€C, ∀n€N, v_n = l,
Donc l - q×l = r ⇔ l = r/(1-q), car q≠1,
Soit n€N
On a, donc, u_(n+1) - l = q×u_n + r - r - q×l ⇔ u_(n+1) - l = q×(u_n - l), donc (u_n - l) est géométrique de raison q,
Donc, u_n - l = q^n × (u_n - l),
D’où, u_n = l + q^n × (u_n - l)
Soit a€C*, (b_n)€C^N, (u_n)€C^N, on suppose que : ∀n€N, u_(n+1) = a×u_n + b_n, déterminer l’expression du terme général de u ? Comment faire plus généralement quand a dépend de n également ?
On met le produit des a_k au lieu de a^n
Soit (a, b, c)€C³, a≠0, (u_n)€C^N,
On suppose que, ∀n€N, a×u_(n+2) + b×u_(n+1) + c×u_n = 0, comment déterminer le terme général de u ?
On appelle équation caractéristique : a×r² + b×r + c = 0 (E)
- Si Δ=0, on appelle λ l’unique solution de (E), alors, ∃(A, B)€C², ∀n€N, u_n = (A×n + B)×λ^n
- Si Δ≠0, on appelle λ1 et λ2 les deux solutions de (E), alors, ∃(A, B)€C², ∀n€N, u_n = A×λ1^n + B×λ2^n
Qu’est-ce qu’une suite récurrente ?
Soit (u_n)€R^N, on dit que u_n est une suite récurrente si il existe I un intervalle non vide, tel qu’il existe f€I^I, telle que : ∀n€N, u(n+1)=f(u(n))
Que peut-on dire de la limite d’une suite récurrente ?
Justif
Soit I un intervalle non vide, f€I^I, u€I^N définie par u0€I et : ∀n€N, u(n+1)=f(u(n)), on suppose que lim(n → +∞)(u_n)=l€I, alors l=f(l)
u(n+1)=f(u(n))
lim(n → +∞)(u_(n+1))=l, car c’est une suite extraite de (u_n)
En appliquant f, car f est continue en l€I, lim(n → +∞)(f(u_n))=f(l),
Donc par unicité de la limite, l=f(l), la limite est un point fixe
Comment déterminer la limite finie d’une suite récurrente en étudiant les points fixes de sa fonction associée ? Dans quel cas est-ce possible ?
Si la fonction d’une suite récurrente convergente admet un unique point fixe, puisque la limite est atteinte en un point fixe, on pose l€R la limite de la suite, donc f(l)=l, on résoud
Comment déterminer qu’une suite récurrente ne converge pas en étudiant les points fixes de sa fonction ? Dans quel cas est-ce possible ?
Si la fonction d’une suite récurrente n’admet aucun point fixe, puisque la limite finie est atteinte en un point fixe, cette suite ne converge pas
Comment étudier la limite d’une suite récurrente en pratique ?
- Check les points fixes au cas où (s’il y en a qu’un ou s’il y en a pas)
- Check le signe
- Check la monotonie
Que signifie-t-il de dire qu’une suite complexe converge ?
Justif
Soit u_n une suite complexe, alors :
(u_n) converge vers l€C ⇔ (Re(u_n)) converge vers Re(l) et (Im(u_n)) de l converge vers Im(l)
Comment réarranger x × sin(y/x) pour calculer sa limite en +∞ ? (y fixé)
On dit x × sin(y/x) = x × y × 1/y × sin(y/x) = y × sin(y/x)/(y/x)
Et lim(n → +∞)(y × sin(y/x)/(y/x)) = y
Lorsqu’on demande de montrer l’existence d’une limite, sans pour autant la calculer, quel indice est donné ?
Il faut utiliser le théorème de la convergence monotone qui assure simplement l’existence de la limite.
Que peut-on dire de la limite d’une suite géométrique complexe de raison q ?
- Si |q|<1, cette suite converge vers 0
- Si |q|>1, cette suite diverge
Peut-on dire qu’une suite complexe diverge vers +/- ∞ ?
Non, on a défini uniquement la convergence vers une limite finie, on dit seulement que la suite diverge
Quelles sont les méthodes pour montrer qu’une suite explicite diverge ?
- Plusieurs suites extraites qui convergent vers des limites différentes
- Montrer qu’elle est croissante et non majoré ou décroissante et non minorée
Montrer que
On ne peut pas faire par encadrement direct car on ne sait pas si les deux suites ont des limites
Comment montrer qu’un ensemble un peu complexe n’admet pas de borne supérieure ?
On montre qu’il existe une suite d’éléments de cet ensemble qui tend vers +∞
