Suites Flashcards
Qu’est-ce qu’un majorant d’un ensemble ?
Soit A ⊂ R, A non vide, M€R,
On dit que M est un majorant de A si :
∀x€A, x≤M
Qu’est-ce qu’un minorant d’un ensemble ?
Soit A ⊂ R, A non vide, m€R,
On dit que m est un minorant de A si :
∀x€A, x≥m
Qu’est-ce que le plus grand élément d’un ensemble ? Comment le note-t-on ?
Soit A un ensemble, on dit que M est le plus grand élément de A, noté max(A), si :
- M majorant de A
- M€A
Qu’est-ce que le plus petit élément d’un ensemble ? Comment le note-t-on ?
Soit A un ensemble, on dit que m est le plus petit élément de A, noté min(A), si :
- m minorant de A
- m€A
Quand dit-on qu’un ensemble est majoré ?
Soit A ⊂ R, on dit que A est majoré si il admet un majorant
Quand dit-on qu’un ensemble est minoré ?
Soit A ⊂ R, on dit que A est minoré si il admet un minorant
Quand dit-on qu’un ensemble est borné ?
S’il est minoré et majoré
Qu’est-ce que la borne supérieure d’un ensemble A ?
Soit A ⊂ R, A non vide, c€R, on dit que c est la borne supérieure de A, notée sup(A), si :
- c est un majorant de A
- ∀ε>0, ∃x€A, c-ε≤x
La borne supérieure est-elle unique ?
Justif
✅✅✅
Soit A ⊂ R, A non vide et majoré, soit c1 et c2 deux bornes supérieures de A.
Supposons par l’absurde que c1<c2 :
On pose ε=(c2 - c1)/2,
c2=sup(A), donc il existe x€A tel que x≥ c2 - ε=(c1 + c2)/2 >c1,
Or, c1=sup(A), donc x≤c1,
C’est absurde, donc c1≥c2,
De même c2≥c1.
Donc, c1=c2
Qu’est-ce que la caractérisation séquentielle de la borne supérieure ?
Soit A ⊂ R, A non vide et majoré, c€R, alors :
c=sup(A) ⇔ {c est un majorant de A • ∃(u_n)€A^N, lim(n → +∞)(u_n) = c}
Quel est le lien entre plus grand élément et borne supérieure ?
Si un ensemble admet un plus grand élément, alors il admet une borne supérieure et cette borne supérieure est le plus grand élément.
Quel est le lien entre plus petit élément et borne inférieure ?
Si un ensemble admet un plus petit élément, alors il admet une borne inférieure et cette borne inférieure est le plus petit élément.
Soit A un ensemble, qu’est-ce qu’une suite de A ?
Soit A un ensemble, une suite de A est une application de N dans A
Soit A un ensemble, comment note-t-on l’ensemble des suites à valeurs dans A ?
On note A^N l’ensemble des suites à valeurs dans A
Quand dit-on qu’une suite est majorée ?
On dit qu’une suite est majorée si l’ensemble de ses images est majoré
Quand dit-on qu’une suite est minorée ?
On dit qu’une suite est minorée si l’ensemble de ses images est minoré
Quand dit-on qu’une suite est bornée ?
On dit qu’une suite est bornée si elle est majorée et minorée
Comment exprimer qu’une suite est bornée grâce à la valeur absolue ?
Suite bornée ⇔ valeur absolue de la suite majorée
Quels sont les trois types de suites que l’on rencontre le plus ?
Les suites définies explicitement :
- u_n=f(n) avec f : N → R
Les suites définies implicitement :
- (u_n) est l’unique solution de f(u_n)=0 avec f : A → R, A ⊂ R
Les suites définies par récurrence :
- ∀n€N, u_n=f_n(u0, …, u_(n-1)), f_n : R^n → R
Comment définir en quantificateurs la limite finie d’une suite ?
Soit (u_n)€C^N, l€C,
On dit que (u_n) tend vers l si :
∀ε>0, ∃n0€N, ∀n≥n0, |u_n - l|≤ε
Comment déterminer la limite de la valeur absolue d’une suite ?
Justif
Soit (u_n)€C^N, l€C, alors :
lim(n → +∞)(u_n) = l ⇒ lim(n → +∞)(|u_n|) = |l|
Supposons que lim(n → +∞)(u_n) = l :
Soit ε>0,
lim(n → +∞)(u_n) = l, donc il existe n1€N tel que pour tout n≥n1, |u_n - l|≤ε.
Soit n≥n1,
||u_n|-|l|| ≤ |u_n - l|≤ ε car n≥n1,
Donc par définition de la limite, lim(n → +∞)(|u_n|) = |l|
Quand dit-on qu’une suite est convergente ?
Soit u€C^N, on dit que u est convergente si :
- ∃l€C, lim(n → +∞)(u_n) = l
Comment définir en quantificateurs la limite infinie d’une suite ?
Soit (u_n)€C^N, l€C,
On dit que (u_n) tend vers +∞ si :
∀M>0, ∃n0€N, ∀n≥n0, u_n≥M
Une suite convergente est-elle bornée ?
Justif
✅✅✅
Soit (u_n)n€N une suite convergente,
Alors, il existe l€C tel que lim(n → +∞)(u_n) = l,
Posons ε=1,
Par définition, ∃n0€N, ∀n≥n0, |u_n - l|≤1,
D’après la deuxième inégalité triangulaire, |u_n|-|l|≤||u_n|-|l||≤|u_n - l|,
Donc : ∀n≥n0, |u_n|≤|l|+1.
On pose M=max(|u0|, |u…|, |u_(n0-1)|, |l|+1),
Donc, ∀n<n0, |u_n|≤M et ∀n≥n0, |u_n|≤|l|+1≤M,
Donc, ∀n≥0, |u_n|≤M,
C’est-à-dire u est bornée
