Espaces Euclidiens Flashcards
Définir le produit scalaire
Définir un espace préhilbertien réel et un espace euclidien
Définir la norme associée à un produit scalaire
Que vaut ||λ.x|| ?
|λ|.||x||
Donner le produit scalaire canonique sur R^n
Donner deux produits scalaires dans Rn[X]
Donner un produit scalaire sur l’ensemble des fonctions continues sur [a,b]
Exprimer l’identité remarquable sur la norme, exprimer le produit scalaire en fonction de la norme
Montrer que
Exprimer ||x||² - ||y||²
Qu’est-ce que l’inégalité de Cauchy-Schwarz ? Et le cas d’égalité ?
Démontrer l’inégalité de Cauchy-Schwarz et le cas d’égalité
Que doit-on utiliser lorsqu’on a une inégalité avec des carrés ?
Inégalité de Cauchy-Shwarz
Définir l’orthogonalité entre deux vecteurs puis une famille de vecteurs
Définir l’orthonormalité
Justif
Justif
Comment lier liberté et orthogonalité
Mq
Qu’est-ce que le théorème de Pythagore ?
Mq
Qu’est-ce que le procédé d’orthogonalisation de Gram-Schmitt
Comment effectuer en pratique l’orthogonalisation de Gram-Schmitt ?
Montrer que la famille est libre (déterminant), puis :
Pour chaque ε (à part le premier) :
- Calculer les <uk|εl> et poser vk = uk - Σ(uk|εl)×εl
- Calculer la norme de vk et εk = vk/||vk||
- Vérifier que sa norme vaut 1 ou que le produit scalaire avec ε1 est nul
Qu’est-ce que l’orthonormalisée de Gram-Schmitt d’une base orthonormée ?
C’est elle-même