Espaces Euclidiens

Question 1

Définir le produit scalaire

Answer 1

Question 2

Définir un espace préhilbertien réel et un espace euclidien

Answer 2

Question 3

Définir la norme associée à un produit scalaire

Answer 3

Question 4

Que vaut ||λ.x|| ?

Answer 4

|λ|.||x||

Question 5

Si φ et ψ sont des produits scalaires sur E, que peut-on dire de φ + λ.ψ et à quelle condition ?

Answer 5

Si λ≥0, c’est un produit scalaire

Question 6

Donner le produit scalaire canonique sur R^n

Answer 6

Question 7

Donner deux produits scalaires dans Rn[X]

Answer 7

Question 8

Donner un produit scalaire sur l’ensemble des fonctions continues sur [a,b]

Answer 8

Question 9

Exprimer l’identité remarquable sur la norme, exprimer le produit scalaire en fonction de la norme

Answer 9

Question 10

Montrer que

Answer 10

Question 11

Qu’est-ce que l’identité du parallélogramme ?

Answer 11

Question 12

Exprimer ||x||² - ||y||²

Answer 12

Question 13

Answer 13

Question 14

Qu’a-t-on montré ?

Answer 14

Question 15

En déduire que tout hyperplan admet une équation cartésienne et un vecteur normal

Answer 15

Question 16

Qu’est-ce que l’inégalité de Cauchy-Schwarz ? Et le cas d’égalité ?

Answer 16

Question 17

Démontrer l’inégalité de Cauchy-Schwarz et le cas d’égalité

Answer 17

Question 18

Que doit-on utiliser lorsqu’on a une inégalité avec des carrés ?

Answer 18

Inégalité de Cauchy-Shwarz

Question 19

Définir l’orthogonalité entre deux vecteurs puis une famille de vecteurs

Answer 19

Question 20

Définir l’orthonormalité

Answer 20

Question 21

Justif

Answer 21

Question 22

Justif

Answer 22

Question 23

Comment lier liberté et orthogonalité

Answer 23

Question 24

Mq

Answer 24

Question 25

Qu’est-ce que le théorème de Pythagore ?

Answer 25

Question 26

Mq

Answer 26

Question 27

Qu’est-ce que le procédé d’orthogonalisation de Gram-Schmitt

Answer 27

Question 28

Comment effectuer en pratique l’orthogonalisation de Gram-Schmitt ?

Answer 28

Montrer que la famille est libre (déterminant), puis :

Pour chaque ε (à part le premier) :

• Calculer les <uk|εl> et poser vk = uk - Σ(uk|εl)×εl
• Calculer la norme de vk et εk = vk/||vk||
• Vérifier que sa norme vaut 1 ou que le produit scalaire avec ε1 est nul

Question 29

Qu’est-ce que l’orthonormalisée de Gram-Schmitt d’une base orthonormée ?

Answer 29

C’est elle-même

Question 30

Montrer que tout espace euclidien admet une base orthonormée

Answer 30

Question 31

Qu’est-ce que le théorème de la base incomplète orthogonale ?

Answer 31

Toute famille orthonormale de E peut être complétée en base orthogonale de E

Question 32

Que signifie-t-il de dire qu’un vecteur est orthogonal à un espace vectoriel ? Que deux espaces vectoriels sont orthogonaux ?

Answer 32

Question 33

Qu’appelle-t-on orthogonal d’un ensemble A ?

Answer 33

Question 34

Comment caractérise-t-on l’orthogonal à A ?

Answer 34

Question 35

Que peut-on dire de la croissance de l’orthogonal ?

Answer 35

Question 36

Si on nous demande de faire l’orthonormalisation de Gram-Schmitt pour déterminer une famille orthogonale, comment faire ?

Answer 36

On nous demande une famille orthogonale, pas orthonormale, il n’y a donc pas besoin de division par la norme à la fin

Question 37

Qu’appelle-t-on projeté orthogonal ?

Answer 37

Question 38

Que peut-on dire de F et F⊥ ? De (F⊥)⊥ ?

Answer 38

Inverser le ⊂
Et : si E de dim finie*

Question 39

Montrer que F ⊕ F⊥ = E

Answer 39

Montrons que F et F⊥ sont en somme directe :

Soit x€FnF⊥,
Alors x€F⊥ : ∀y€F, (x|y) = 0
Particulièrement, car x€F, (x|x) = 0.
Donc par caractère défini positif du produit scalaire, x=0.
Donc, FnF⊥={0} et F et F⊥ sont en somme directe

Question 40

Qu’appelle-t-on distance d’un vecteur à un ensemble ?

Answer 40

Question 41

Quel inégalité a-t-on avec la distance ? Quel est le cas d’égalité ?

Answer 41

Question 42

Utiliser le produit scalaire pour donner une expression de x€E, de (x|y), avec (x,y)€E² et de ||x||²

Answer 42

Question 43

Justif

Answer 43

Question 44

Que peut-on dire du supplémentaire orthogonal ?

Answer 44

Il est unique

Question 45

Lorsqu’on a une combinaison linéaire de vecteurs et qu’on veut n’en garder qu’un, comment faire ?

Answer 45

On fait le produit scalaire avec un vecteur orthogonal à tous sauf celui qu’on veut garder

Question 46

Comment utiliser le produit scalaire pour montrer qu’un vecteur est nul ?

Answer 46

• montrer que sa norme est nulle
• montrer que pour tout élément de E le produit scalaire est nul

Question 47

Comment trouver la matrice d’une projection orthogonale/le projeté orthogonal d’un vecteur sur F ⊂ E ?

Answer 47

• Si on connait F⊥, on peut décomposer les vecteurs de la base canonique/le vecteur en somme d’un élément de F et d’un de F⊥ et garder celui de F
• Déterminer une base orthonormée de F, et appliquer aux vecteurs de la base canonique/au vecteur la formule du projeté orthogonal