Espaces Euclidiens

Question 1

Définir le produit scalaire

Answer 1

Question 2

Définir un espace préhilbertien réel et un espace euclidien

Answer 2

Question 3

Définir la norme associée à un produit scalaire

Answer 3

Question 4

Que vaut ||λ.x|| ?

Answer 4

|λ|.||x||

Question 5

Donner le produit scalaire canonique sur R^n

Answer 5

Question 6

Donner deux produits scalaires dans Rn[X]

Answer 6

Question 7

Donner un produit scalaire sur l’ensemble des fonctions continues sur [a,b]

Answer 7

Question 8

Exprimer l’identité remarquable sur la norme, exprimer le produit scalaire en fonction de la norme

Answer 8

Question 9

Montrer que

Answer 9

Question 10

Exprimer ||x||² - ||y||²

Answer 10

Question 11

Qu’est-ce que l’inégalité de Cauchy-Schwarz ? Et le cas d’égalité ?

Answer 11

Question 12

Démontrer l’inégalité de Cauchy-Schwarz et le cas d’égalité

Answer 12

Question 13

Que doit-on utiliser lorsqu’on a une inégalité avec des carrés ?

Answer 13

Inégalité de Cauchy-Shwarz

Question 14

Définir l’orthogonalité entre deux vecteurs puis une famille de vecteurs

Answer 14

Question 15

Définir l’orthonormalité

Answer 15

Question 16

Justif

Answer 16

Question 17

Justif

Answer 17

Question 18

Comment lier liberté et orthogonalité

Answer 18

Question 19

Mq

Answer 19

Question 20

Qu’est-ce que le théorème de Pythagore ?

Answer 20

Question 21

Mq

Answer 21

Question 22

Qu’est-ce que le procédé d’orthogonalisation de Gram-Schmitt

Answer 22

Question 23

Comment effectuer en pratique l’orthogonalisation de Gram-Schmitt ?

Answer 23

Montrer que la famille est libre (déterminant), puis :

Pour chaque ε (à part le premier) :

• Calculer les <uk|εl> et poser vk = uk - Σ(uk|εl)×εl
• Calculer la norme de vk et εk = vk/||vk||
• Vérifier que sa norme vaut 1 ou que le produit scalaire avec ε1 est nul

Question 24

Qu’est-ce que l’orthonormalisée de Gram-Schmitt d’une base orthonormée ?

Answer 24

C’est elle-même

Question 25

Montrer que tout espace euclidien admet une base orthonormée

Answer 25

Question 26

Qu’est-ce que le théorème de la base incomplète orthogonale ?

Answer 26

Toute famille orthonormale de E peut être complétée en base orthogonale de E

Question 27

Que signifie-t-il de dire qu’un vecteur est orthogonal à un espace vectoriel ? Que deux espaces vectoriels sont orthogonaux ?

Answer 27

Question 28

Qu’appelle-t-on orthogonal d’un ensemble A ?

Answer 28

Question 29

Comment caractérise-t-on l’orthogonal à A ?

Answer 29

Question 30

Que peut-on dire de la croissance de l’orthogonal ?

Answer 30

Question 31

Si on nous demande de faire l’orthonormalisation de Gram-Schmitt pour déterminer une famille orthogonale, comment faire ?

Answer 31

On nous demande une famille orthogonale, pas orthonormale, il n’y a donc pas besoin de division par la norme à la fin

Question 32

Qu’appelle-t-on projeté orthogonal ?

Answer 32

Question 33

Que peut-on dire de F et F⊥ ? De (F⊥)⊥ ?

Answer 33

Inverser le ⊂
Et : si E de dim finie*

Question 34

Montrer que F ⊕ F⊥ = E

Answer 34

Montrons que F et F⊥ sont en somme directe :

Soit x€FnF⊥,
Alors x€F⊥ : ∀y€F, (x|y) = 0
Particulièrement, car x€F, (x|x) = 0.
Donc par caractère défini positif du produit scalaire, x=0.
Donc, FnF⊥={0} et F et F⊥ sont en somme directe

Question 35

Qu’appelle-t-on distance d’un vecteur à un ensemble ?

Answer 35

Question 36

Quel inégalité a-t-on avec la distance ? Quel est le cas d’égalité ?

Answer 36

Question 37

Utiliser le produit scalaire pour donner une expression de x€E, de (x|y), avec (x,y)€E² et de ||x||²

Answer 37

Question 38

Justif

Answer 38

Question 39

Que peut-on dire du supplémentaire orthogonal ?

Answer 39

Il est unique (orthogonal fixe la variable de direction et supplémentaire fixe la variable d’emplacement)

Question 40

Lorsqu’on a une combinaison linéaire de vecteurs et qu’on veut n’en garder qu’un, comment faire ?

Answer 40

On fait le produit scalaire avec un vecteur orthogonal à tous sauf celui qu’on veut garder

Question 41

Comment utiliser le produit scalaire pour montrer qu’un vecteur est nul ?

Answer 41

• montrer que sa norme est nulle
• montrer que pour tout élément de E le produit scalaire est nul

Question 42

Comment trouver la matrice d’une projection orthogonale/le projeté orthogonal d’un vecteur sur F ⊂ E ?

Answer 42

• Si on connait F⊥, on peut décomposer les vecteurs de la base canonique/le vecteur en somme d’un élément de F et d’un de F⊥ et garder celui de F
• Déterminer une base orthonormée de F, et appliquer aux vecteurs de la base canonique/au vecteur la formule du projeté orthogonal