Espaces Euclidiens Flashcards
Définir le produit scalaire
Définir un espace préhilbertien réel et un espace euclidien
Définir la norme associée à un produit scalaire
Que vaut ||λ.x|| ?
|λ|.||x||
Donner le produit scalaire canonique sur R^n
Donner deux produits scalaires dans Rn[X]
Donner un produit scalaire sur l’ensemble des fonctions continues sur [a,b]
Exprimer l’identité remarquable sur la norme, exprimer le produit scalaire en fonction de la norme
Montrer que
Exprimer ||x||² - ||y||²
Qu’est-ce que l’inégalité de Cauchy-Schwarz ? Et le cas d’égalité ?
Démontrer l’inégalité de Cauchy-Schwarz et le cas d’égalité
Que doit-on utiliser lorsqu’on a une inégalité avec des carrés ?
Inégalité de Cauchy-Shwarz
Définir l’orthogonalité entre deux vecteurs puis une famille de vecteurs
Définir l’orthonormalité
Justif
Justif
Comment lier liberté et orthogonalité
Mq
Qu’est-ce que le théorème de Pythagore ?
Mq
Qu’est-ce que le procédé d’orthogonalisation de Gram-Schmitt
Comment effectuer en pratique l’orthogonalisation de Gram-Schmitt ?
Montrer que la famille est libre (déterminant), puis :
Pour chaque ε (à part le premier) :
- Calculer les <uk|εl> et poser vk = uk - Σ(uk|εl)×εl
- Calculer la norme de vk et εk = vk/||vk||
- Vérifier que sa norme vaut 1 ou que le produit scalaire avec ε1 est nul
Qu’est-ce que l’orthonormalisée de Gram-Schmitt d’une base orthonormée ?
C’est elle-même
Montrer que tout espace euclidien admet une base orthonormée
Qu’est-ce que le théorème de la base incomplète orthogonale ?
Toute famille orthonormale de E peut être complétée en base orthogonale de E
Que signifie-t-il de dire qu’un vecteur est orthogonal à un espace vectoriel ? Que deux espaces vectoriels sont orthogonaux ?
Qu’appelle-t-on orthogonal d’un ensemble A ?
Comment caractérise-t-on l’orthogonal à A ?
Que peut-on dire de la croissance de l’orthogonal ?
Si on nous demande de faire l’orthonormalisation de Gram-Schmitt pour déterminer une famille orthogonale, comment faire ?
On nous demande une famille orthogonale, pas orthonormale, il n’y a donc pas besoin de division par la norme à la fin
Qu’appelle-t-on projeté orthogonal ?
Que peut-on dire de F et F⊥ ? De (F⊥)⊥ ?
Inverser le ⊂
Et : si E de dim finie*
Montrer que F ⊕ F⊥ = E
Montrons que F et F⊥ sont en somme directe :
Soit x€FnF⊥,
Alors x€F⊥ : ∀y€F, (x|y) = 0
Particulièrement, car x€F, (x|x) = 0.
Donc par caractère défini positif du produit scalaire, x=0.
Donc, FnF⊥={0} et F et F⊥ sont en somme directe
Qu’appelle-t-on distance d’un vecteur à un ensemble ?
Quel inégalité a-t-on avec la distance ? Quel est le cas d’égalité ?
Utiliser le produit scalaire pour donner une expression de x€E, de (x|y), avec (x,y)€E² et de ||x||²
Justif
Que peut-on dire du supplémentaire orthogonal ?
Il est unique (orthogonal fixe la variable de direction et supplémentaire fixe la variable d’emplacement)
Lorsqu’on a une combinaison linéaire de vecteurs et qu’on veut n’en garder qu’un, comment faire ?
On fait le produit scalaire avec un vecteur orthogonal à tous sauf celui qu’on veut garder
Comment utiliser le produit scalaire pour montrer qu’un vecteur est nul ?
- montrer que sa norme est nulle
- montrer que pour tout élément de E le produit scalaire est nul
Comment trouver la matrice d’une projection orthogonale/le projeté orthogonal d’un vecteur sur F ⊂ E ?
- Si on connait F⊥, on peut décomposer les vecteurs de la base canonique/le vecteur en somme d’un élément de F et d’un de F⊥ et garder celui de F
- Déterminer une base orthonormée de F, et appliquer aux vecteurs de la base canonique/au vecteur la formule du projeté orthogonal
