Arithmétique

Question 1

Que signifie «b divise a» ?

Answer 1

Soient (a;b)€ZxZ*, on dit que b divise a (b|a), s’il existe un k€Z tel que a=k.b.

On dit aussi que a est un multiple de b ou que b est un diviseur de a.

Question 2

Qu’est-ce que qZ ?

Answer 2

On note qZ l’ensemble des multiples de q.
qZ={n€Z|il existe k€Z,n=kq} —> compréhension
qZ={kq|k€Z} —> extension

Question 3

Qu’est-ce que le théorème de la division euclidienne ?

Answer 3

Soit (a,b)€ZxZ*,
Il existe un unique couple (q,r)€Z2 tq :
- a=q.b+r
- 0<=r<|b|
On appelle q le quotient de la division euclidienne de a par b.
On appelle r le reste de la division euclidienne de a par b.

Question 4

Comment démontrer le théorème de la division euclidienne ?

Answer 4

1. Unicité :
   - Arriver à r-r’<b
   - Raisonner par l’absurde pour montrer r=r’
   - En déduire q=q’
2. Existence :
   - Disjonction sur le signe de a car on utilise une récurrence
   - Récurrence
   - Disjonction sur la valeur de r (hérédité)
   - |b|=b*E, avec E€{0;1}
   - Ecrire -a€N pour a<0
   - Distinction sur le caractère nul de r

Question 5

Qu’est-ce que le plus grand élément d’un ensemble D ?

Answer 5

Soit D inclus dans R avec D non vide,
On dit que c€R est le plus grand élément de D si : c€D et ¥x€D, x<=c.
Ce plus grand élément est unique.

Question 6

Qu’est-ce que le PGCD ?

Answer 6

Soit (a;b)€Z2{(0;0)}, on définit le PGCD de a et de b, noté a^b ou PGCD(a;b) comme :
c=PGCD(a;b) <=> (c|a et c|b) et (¥d€Z*, d|a et d|b => d<=c)

Question 7

Qu’est-ce que le PPCM ?

Answer 7

Soit (a;b)€(Z*)2, on définit le PPCM, ou avb, plus petit entier naturel multiple de a et de b :
Soit c€N, c=avb ⇔ (a|c et b|c) et (∀d€Z, a|d et b|d ⇒ |d|≥c)

Question 8

Qu’est-ce que l’algorithme d’Euclide ?

Answer 8

Soit (a;b)€N2\{(0;0)}, pour trouver PGCD(a;b) on effectue des divisions euclidiennes successives selon le procédé suivant :
- On définit la suite (un)n€N par u0=a et u1=b, a>=b, et ui est le reste de la division euclidienne de u(i-2) par u(i-1).
- Alors, il existe n0€N* tel que ui≠0, pour i<n0 et u(n0)=0
- On en déduit que PGCD(a;b)=u(n0-1)

Question 9

Qu’est-ce qu’un nombre premier ?

Answer 9

Soit n€N, n>=2,
On dit que n est un nombre premier (n€P) si les seuls diviseurs de n positifs sont 1 et n :
n€P <=> ( ¥d€N, d|n ⇒ d€{1;n} )

Question 10

Qu’est-ce qu’un ensemble E fini ? Qu’est-ce que son cardinal ?

Answer 10

On dit que E est fini si : E=∅ ou s’il existe un n€N tel qu’il existe une bijection de E sur [|1;n|].

Sinon, on dit que E est infini.

Si E est un ensemble fini, n est unique et est appelé cardinal de E, on le note card(E) ou |E|

Question 11

Qu’est-ce que le théorème de la décomposition en facteurs premiers ?

Answer 11

∀n€Z, |n|≥ 2,
∃r€N* , ∃(p1,…,pr)€P^r, ∃(α1,…,αr)€(N*)r, ∃ε€{-1;1}, n = ε × p1^α1 × … × pr^αr

Cette décomposition est unique à l’ordre des facteurs près.