Calculs Algebriques

Question 1

Soient E et I deux ensembles non vides, qu’est-ce qu’une famille de E indexée par I ?

Answer 1

On appelle famille de E indexée par I une application de I dans E,
C’est-à-dire un élément de E^I

Question 2

Comment note-t-on la somme des éléments d’un ensemble ? Et le produit ?

Answer 2

Soient I un ensemble fini et (a_i)_i€I.

On appelle Σ[i€I]a_i, la somme des éléments de I, si I=ensemble vide, Σ[i€I]a_i=0, par convention

On appelle Π[i€I]a_i, le produit des éléments de I, si I=ensemble vide, Π[i€I]a_i=1, par convention

Question 3

Comment note-t-on la somme d’un entier à un autre entier ? Et le produit ?

Answer 3

Soient (p;q)€N2 et (a_i)_i€[|p;q|] et p≤q

On appelle Σ[k=p—>q]a_k, la somme des éléments de p à q, Σ[k=q—>p]a_k=0, par convention

On appelle Π[k=p—>q]a_k, le produit des éléments de p à q, Π[k=q—>p]a_k=1, par convention

Question 4

Soit a€R, soit (p;q)€N2, que vaut Σ[k=p—>q]a ?

Answer 4

Σ[k=p—>q]a = a(q-p+1), si q≥p

Σ[k=p—>q]a = 0, si q<p

Question 5

Qu’est-ce que la propriété de linéarité, est elle vraie pour Σ, Π, ou les deux ?

Answer 5

Soit λ€C, soient ((a_i)_i€I ; (b_i)_i€I)€(E^I)^2, avec E un ensemble et I un ensemble fini, alors :
Σ<i€I>(a_i + λ.b_i) = Σ<k€I>a_i + λ.Σ<i€I>b_i
Cette propriété est vraie uniquement pour la somme

Question 6

Soient I un ensemble fini et ((a_i)_i€I ; (b_i)_i€I)€(E^I)^2, avec E un ensemble,

Π[i€I]a_i*b_i = ?
Quel est le cas particulier avec b constant (¥i€I, b_i=λ€C) ?

Answer 6

Π[i€I]a_i*b_i = Π[i€I]a_i * Π[i€I]b_i

Et Π[i€I]a_i*λ = λ^|I| * Π[i€I]a_i

Question 7

Soient I un ensemble fini et ((a_i)_i€I)€E^I, avec E un ensemble,

Re(Σ[i€I]a_i) = ?

Answer 7

Re(Σ[i€I]a_i) = Σ[i€I]Re(a_i)

Question 8

Que peut-on dire du conjugué de la somme ? Et du conjugué du produit ?

Answer 8

Le conjugué de la somme est la somme des conjugués

Le conjugué du produit est le produit des conjugués

Question 9

Que peut-on dire de la valeur absolue de la somme ? Et de la valeur absolue du produit ?

Answer 9

La valeur absolue de la somme est inférieure à la valeur absolue de la somme. (Inégalité triangulaire généralisée)

La valeur absolue du produit est le produit des valeurs absolue

Question 10

Que peut-on dire de l’argument de la somme ? Et de l’argument du produit ?

Answer 10

Pour la somme : rien

Pour le produit : l’argument du produit est congru à la somme des arguments modulo 2π

Question 11

Qu’est-ce que la factorielle d’un naturel ?

Answer 11

Soit n€N, on appelle factorielle de n, n!, le nombre : Π[k=1–>n]k

Par convention, 0!=1 donc

Question 12

Qu’est-ce que le regroupement, est-ce valable pour la somme, le produit, ou les deux ?

Answer 12

Valable pour la somme et le produit

Question 13

Comment effectuer un changement d’indice sur une somme ? Comment appelle-t-on également un changement d’indice ?

Answer 13

Soient I et J deux ensembles, et φ€J^I une bijection de I sur J, soit ((a_j)_j€J)€C^J, alors,

Σ[i€I]a_φ(i) = Σ[j€J]a_j

On appelle cette opération un changement d’indice ou une réindexation

Question 14

Soit n€N, que vaut le produit des entiers pairs entre 1 et 2n ?
Demo

Answer 14

Π[k=1–>2n, k pair]k=2^n * n!

On le montre par changement d’indice (k=2k’) :
Π[k=1–>2n, k pair]k=Π[k=2–>2n, k pair]k (car k pair donc k=1 non inclus)
=Π[k’=1–>n]2k’ par changement d’indice 2k’=k
=2^n * n!

Question 15

Soit n€N, que vaut le produit des entiers impairs entre 1 et 2n ?
Comment le montrer ?

Answer 15

Π[k=1–>2n, k impair] =(2n)! / (2^n * n!)

On le montre en disant que l’ensemble des entiers pairs et impairs de 1 à 2n forment une partitions de l’ensemble des entiers de 1 à 2n puis en effectuant un regroupement et en passant Π[k=1–>2n, k pair] de l’autre côté

Question 16

Qu’est-ce que le télescopage ?
Justif

Answer 16

Soient (a_k)_ k€N et (x_k)_ k€N tels que :
¥k€N, x_k = a_(k+1) - a_k, alors :

Σ[k=0–>n]x_k = a_(n+1) - a_0

Écrire la somme des x_k et remplacer x_k,
Séparer les sommes,
Procéder à un changement d’indice,
Procéder à un regroupement de manière à ce que deux sommes s’annulent

Question 17

Quelle est la méthode pour déterminer, pour tout n€N, Σ[k=1–>n]k^a, avec a€N et en connaissant pour les entiers inférieurs à a ?

Answer 17

1. Écrire Σ[k=1–>n] ((k+1)^a+1 - k^a+1)
2. Procéder à un télescopage + séparation des sommes et Newton, qui sont donc égaux
3. Isoler la somme que l’on cherche

Question 18

Que vaut la somme des termes de p à q d’une suite géométrique de raison x ?

Answer 18

Soit x€R, (p;q)€N^2, p≤q,

((premier terme exprimé) - (premier terme non exprimé))/(1-x) si x≠1
Σ[k=p—>q]x^k = q-p+1 si x=1

Question 19

Comment calculer Σ[k=0→n]k.x^k ?

Answer 19

1. Poser f : R —> R ; x|—> Σ[k=0–>n]x^(k+1)
2. Justifier la dérivabilité sous cette forme et calculer la dérivée
3. Mettre sous la forme (1-x^(n+2))/(1-x), justifier la dérivabilité sous cette forme et calculer la dérivée
4. Écrire l’égalité des dérivées et poursuivre en isolant Σ[k=0–>n]k.x^k

Question 20

A quoi faut-il faire attention au niveau des bornes lors d’un changement d’indice ?

Answer 20

Les remettre dans le bon sens, dans le cas d’un retournement par exemple elles ne sont plus dans le bon sens

Question 21

Comment faire apparaître un télescopage sur : n.n!, avec n€N ?

Answer 21

Question 22

A quoi faut-il faire attention lors du calcul d’une somme géométrique ?

Answer 22

Disjonction de cas si la raison est 1

Question 23

A quoi faut-il faire attention lorsque l’on traite (k:n)

Answer 23

Disjonction de cas en fonction de 0≤k≤n ou non

Question 24

Que vaut la somme d’une famille doublement indexée, sans ordre dans les indices ?

Answer 24

Question 25

Que vaut la somme d’une famille doublement indexée, avec un ordre dans les indices ?

Answer 25

Question 26

Soit n€N, et k€Z qu’est-ce que k parmi n ?

Answer 26

k parmi n, noté (k:n), vaut n!/(n-k)!k! si k€[|0;n|] et 0 sinon

Question 27

Soit n€N, que vaut (0:n) ?

Answer 27

(0:n)=1

Question 28

Soit n€N, que vaut (1:n) ?

Answer 28

(1:n)=n

Question 29

Qu’est-ce que la propriété de symétrie de (k:n) ?

Answer 29

(k:n)=(n-k:n)

Question 30

Qu’est-ce que la relation de Pascal ?

Answer 30

Soit n€N et k€Z, alors (k:n) + (k+1:n) = (k+1:n+1)

Question 31

Comment démontrer la formule du binôme de Newton ? (Détail rapide)

Answer 31

Par récurrence :
Montrons que la propriété P_n: «¥(a;b)€C2, (a+b)^n = Σ<k=0–>n>((n:k)a^k.b^(n-k))» est vrai pour tout n€N,

Initialisation :
Montrons P_0 :

Hérédité :
Soit n€N, supposons P_n vraie et montrons que P_(n+1) est vraie.
Multiplier par (a+b)
Distribuer et partager les sommes
Changement d’indice pour avoir la même dans les sommes
S’arranger pour que ça s’annule
Faire apparaitre P_(n+1)

Question 32

Qu’est-ce que la sommes des coefficients binomiaux pairs ? Et des impairs ?
Comment démontrer ?

Answer 32

Les deux valent 2^(n-1)

Prendre la somme des coefficients binomiaux et 0^n=(1-1)^n

Question 33

Comment transformer (k:n) simplement pour effectuer un télescopage ?

Answer 33

(k:n)=(k+1:n+1) - (k+1:n)

Question 34

Pourquoi faut-il faire attention au changement d’indice que l’on fait dans les sommes ?

Answer 34

Car il faut que l’on somme autant de termes au départ qu’à l’arrivée

Question 35

Qu’est-ce que l’égalité de Bernoulli ?

Answer 35

Question 36

Que vaut k×(k:n) ?

Answer 36