Calculs Algebriques Flashcards
Soient E et I deux ensembles non vides, qu’est-ce qu’une famille de E indexée par I ?
On appelle famille de E indexée par I une application de I dans E,
C’est-à-dire un élément de E^I
Comment note-t-on la somme des éléments d’un ensemble ? Et le produit ?
Soient I un ensemble fini et (a_i)_i€I.
On appelle Σ[i€I]a_i, la somme des éléments de I, si I=ensemble vide, Σ[i€I]a_i=0, par convention
On appelle Π[i€I]a_i, le produit des éléments de I, si I=ensemble vide, Π[i€I]a_i=1, par convention
Comment note-t-on la somme d’un entier à un autre entier ? Et le produit ?
Soient (p;q)€N2 et (a_i)_i€[|p;q|] et p≤q
On appelle Σ[k=p—>q]a_k, la somme des éléments de p à q, Σ[k=q—>p]a_k=0, par convention
On appelle Π[k=p—>q]a_k, le produit des éléments de p à q, Π[k=q—>p]a_k=1, par convention
Soit a€R, soit (p;q)€N2, que vaut Σ[k=p—>q]a ?
Σ[k=p—>q]a = a(q-p+1), si q≥p
Σ[k=p—>q]a = 0, si q<p
Qu’est-ce que la propriété de linéarité, est elle vraie pour Σ, Π, ou les deux ?
Soit λ€C, soient ((a_i)_i€I ; (b_i)_i€I)€(E^I)^2, avec E un ensemble et I un ensemble fini, alors :
Σ<i€I>(a_i + λ.b_i) = Σ<k€I>a_i + λ.Σ<i€I>b_i
Cette propriété est vraie uniquement pour la somme
Soient I un ensemble fini et ((a_i)_i€I ; (b_i)_i€I)€(E^I)^2, avec E un ensemble,
Π[i€I]a_i*b_i = ?
Quel est le cas particulier avec b constant (¥i€I, b_i=λ€C) ?
Π[i€I]a_i*b_i = Π[i€I]a_i * Π[i€I]b_i
Et Π[i€I]a_i*λ = λ^|I| * Π[i€I]a_i
Soient I un ensemble fini et ((a_i)_i€I)€E^I, avec E un ensemble,
Re(Σ[i€I]a_i) = ?
Re(Σ[i€I]a_i) = Σ[i€I]Re(a_i)
Que peut-on dire du conjugué de la somme ? Et du conjugué du produit ?
Le conjugué de la somme est la somme des conjugués
Le conjugué du produit est le produit des conjugués
Que peut-on dire de la valeur absolue de la somme ? Et de la valeur absolue du produit ?
La valeur absolue de la somme est inférieure à la valeur absolue de la somme. (Inégalité triangulaire généralisée)
La valeur absolue du produit est le produit des valeurs absolue
Que peut-on dire de l’argument de la somme ? Et de l’argument du produit ?
Pour la somme : rien
Pour le produit : l’argument du produit est congru à la somme des arguments modulo 2π
Qu’est-ce que la factorielle d’un naturel ?
Soit n€N, on appelle factorielle de n, n!, le nombre : Π[k=1–>n]k
Par convention, 0!=1 donc
Qu’est-ce que le regroupement, est-ce valable pour la somme, le produit, ou les deux ?
Valable pour la somme et le produit
Comment effectuer un changement d’indice sur une somme ? Comment appelle-t-on également un changement d’indice ?
Soient I et J deux ensembles, et φ€J^I une bijection de I sur J, soit ((a_j)_j€J)€C^J, alors,
Σ[i€I]a_φ(i) = Σ[j€J]a_j
On appelle cette opération un changement d’indice ou une réindexation
Soit n€N, que vaut le produit des entiers pairs entre 1 et 2n ?
Demo
Π[k=1–>2n, k pair]k=2^n * n!
On le montre par changement d’indice (k=2k’) :
Π[k=1–>2n, k pair]k=Π[k=2–>2n, k pair]k (car k pair donc k=1 non inclus)
=Π[k’=1–>n]2k’ par changement d’indice 2k’=k
=2^n * n!
Soit n€N, que vaut le produit des entiers impairs entre 1 et 2n ?
Comment le montrer ?
Π[k=1–>2n, k impair] =(2n)! / (2^n * n!)
On le montre en disant que l’ensemble des entiers pairs et impairs de 1 à 2n forment une partitions de l’ensemble des entiers de 1 à 2n puis en effectuant un regroupement et en passant Π[k=1–>2n, k pair] de l’autre côté
Qu’est-ce que le télescopage ?
Justif
Soient (a_k)_ k€N et (x_k)_ k€N tels que :
¥k€N, x_k = a_(k+1) - a_k, alors :
Σ[k=0–>n]x_k = a_(n+1) - a_0
Écrire la somme des x_k et remplacer x_k,
Séparer les sommes,
Procéder à un changement d’indice,
Procéder à un regroupement de manière à ce que deux sommes s’annulent
Quelle est la méthode pour déterminer, pour tout n€N, Σ[k=1–>n]k^a, avec a€N et en connaissant pour les entiers inférieurs à a ?
- Écrire Σ[k=1–>n] ((k+1)^a+1 - k^a+1)
- Procéder à un télescopage + séparation des sommes et Newton, qui sont donc égaux
- Isoler la somme que l’on cherche
Que vaut la somme des termes de p à q d’une suite géométrique de raison x ?
Soit x€R, (p;q)€N^2, p≤q,
((premier terme exprimé) - (premier terme non exprimé))/(1-x) si x≠1
Σ[k=p—>q]x^k = q-p+1 si x=1
Comment calculer Σ[k=0→n]k.x^k ?
- Poser f : R —> R ; x|—> Σ[k=0–>n]x^(k+1)
- Justifier la dérivabilité sous cette forme et calculer la dérivée
- Mettre sous la forme (1-x^(n+2))/(1-x), justifier la dérivabilité sous cette forme et calculer la dérivée
- Écrire l’égalité des dérivées et poursuivre en isolant Σ[k=0–>n]k.x^k
A quoi faut-il faire attention au niveau des bornes lors d’un changement d’indice ?
Les remettre dans le bon sens, dans le cas d’un retournement par exemple elles ne sont plus dans le bon sens
Comment faire apparaître un télescopage sur : n.n!, avec n€N ?
A quoi faut-il faire attention lors du calcul d’une somme géométrique ?
Disjonction de cas si la raison est 1
A quoi faut-il faire attention lorsque l’on traite (k:n)
Disjonction de cas en fonction de 0≤k≤n ou non
Que vaut la somme d’une famille doublement indexée, sans ordre dans les indices ?
Que vaut la somme d’une famille doublement indexée, avec un ordre dans les indices ?
Soit n€N, et k€Z qu’est-ce que k parmi n ?
k parmi n, noté (k:n), vaut n!/(n-k)!k! si k€[|0;n|] et 0 sinon
Soit n€N, que vaut (0:n) ?
(0:n)=1
Soit n€N, que vaut (1:n) ?
(1:n)=n
Qu’est-ce que la propriété de symétrie de (k:n) ?
(k:n)=(n-k:n)
Qu’est-ce que la relation de Pascal ?
Soit n€N et k€Z, alors (k:n) + (k+1:n) = (k+1:n+1)
Comment démontrer la formule du binôme de Newton ? (Détail rapide)
Par récurrence :
Montrons que la propriété P_n: «¥(a;b)€C2, (a+b)^n = Σ<k=0–>n>((n:k)a^k.b^(n-k))» est vrai pour tout n€N,
Initialisation :
Montrons P_0 :
Hérédité :
Soit n€N, supposons P_n vraie et montrons que P_(n+1) est vraie.
Multiplier par (a+b)
Distribuer et partager les sommes
Changement d’indice pour avoir la même dans les sommes
S’arranger pour que ça s’annule
Faire apparaitre P_(n+1)
Qu’est-ce que la sommes des coefficients binomiaux pairs ? Et des impairs ?
Comment démontrer ?
Les deux valent 2^(n-1)
Prendre la somme des coefficients binomiaux et 0^n=(1-1)^n
Comment transformer (k:n) simplement pour effectuer un télescopage ?
(k:n)=(k+1:n+1) - (k+1:n)
Pourquoi faut-il faire attention au changement d’indice que l’on fait dans les sommes ?
Car il faut que l’on somme autant de termes au départ qu’à l’arrivée
Qu’est-ce que l’égalité de Bernoulli ?
Que vaut k×(k:n) ?
