Espaces Vectoriels Flashcards
Si E est un espace vectoriel sur K, comment appelle-t-on les éléments de E et les éléments de K ?
Qu’est-ce qu’un sous-espace vectoriel ?
Modifier la deuxième condition : toute combinaison linéaire de F est dans F
Que peut-on dire de l’intersection de plusieurs sous-espaces vectoriels ?
Justif
Soit A ⊂ E, qu’est-ce que le sous-espace engendré par A
On appelle sous-espace vectoriel engendré par A, noté Vect(A), l’ensemble des combinaisons linéaires de A.
Soit E un espace vectoriel, A ⊂ E, que peut-on dire de Vect(A) ?
Justif
Vect(A) est le plus petit sous espace vectoriel de E qui contient A
*0E = 0K × x, x€A
Soit E un espace vectoriel, (A;B)€P(E)², que peut-on dire de Vect(A) et Vect(B) si A ⊂ B ?
Vect(A) ⊂ Vect(B)
Que peut-on dire de l’espace vectoriel engendré par des combinaisons linéaires d’éléments (e1, …, en)€A^n, avec n€N ? A quelle condition ?
Il est égal a Vect(e1, …, en), a condition que chaque ei apparaisse dans une des combinaisons linéaires
Soit F un espace vectoriel, qu’est-ce qu’un générateur de F ? Traduire en quantificateurs
A=(ei)i€I, dit que A est une générateur de F si : ∀x€F, ∃n€N*, ∃(i1, …, in)€I^n, deux à deux distincts, ∃(λ1, …, λn)€K^n, x=Σ(k=1 → n)(λ_k × e_ik)
Soit F un sous-espace vectoriel, A ⊂ F, que signifie-t-il de dire que A engendre F ?
A est un générateur de F
Soient F et G deux sous-espaces vectoriels de E, qu’est-ce que F + G ?
Montrer que si F et G sont deux sous-espaces vectoriels de E, alors F + G est un sous-espace vectoriel de E également
A quelle condition Vect(FUG) = F + G
Si F et G sont deux sev du même ev
Que sont deux espaces vectoriels en somme directe ? Comment le voir intuitivement
Soit F et G deux sous-espaces vectoriels de E, on dit que F et G sont en somme directe si :
∀(xF, xG)€FxG, (xF + xG = 0) ⇒ (xF = xG = 0)
En gros, si une des composantes est non nulle, on ne peut pas la «translater» par l’autre espace (comme on fait dans F + G) pour la ramener à 0, ils ne se coupent qu’en 0
Soient F et G deux espaces vectoriels en somme directe, démontrer que tout vecteur de F + G se décompose de manière unique comme la somme de d’un élément de F et d’un élément de G
Comment savoir intuitivement si un ensemble va être un espace vectoriel ?
Si sa condition est linéaire et qu’il contient 0
Quel est le lien entre somme directe et intersection ?
Justif
Le complémentaire d’un espace vectoriel est-il un espace vectoriel ?
Non
Que sont deux espaces vectoriels supplémentaires dans E ?
Donner, en quantificateurs, la caractérisation de F⊕G=E
Qu’est-ce qu’une application linéaire, comment note-t-on l’ensemble des applications linéaires ?
Qu’est-ce qu’un endomorphisme, comment note-t-on l’ensemble des endomorphismes ?
Qu’est-ce qu’un isomorphisme, comment note-t-on l’ensemble des isomorphismes ?
Qu’est-ce qu’un automorphisme, comment note-t-on l’ensemble des automorphismes ?
Qu’est-ce qu’une forme linéaire, comment note-t-on l’ensemble des formes linéaires ?
Montrer que L(E;F) est un espace vectoriel
Soit (u;v)€L(E;F)×L(F;G) que peut-on dire de vou ?
Que peut-on dire de l’image directe d’un espace vectoriel par une application linéaire, et de l’image réciproque d’un espace vectoriel par une application linéaire ?
Justif
Qu’appelle-t-on noyau et image d’une application linéaire ?
Comment utiliser le noyau et l’image d’une application linéaire pour montrer qu’elle est injective/surjective ?
Justif pour l’injectivité
Comment déterminer ker(u) ?
- Si u est injective, ker(u)={0E}
- Sinon on résout u(X)=0
Comment déterminer Im(u) ?
- Si u est surjective, Im(u)=F
- Sinon, on intuite A=Im(u), on introduit X€A et on montre/on construit un antécédent de A par u
Qu’appelle-t-on «projeté de x sur F parallèlement à G» ? «Projection de x sur F parallèlement à G» ? Que valent ker et Im de la projection de x sur F parallèlement à G ?
Montrer que la projection de x sur F parallèlement à G est une application linéaire puis que son ker vaut G
Comment caractériser un projecteur ?
Soit p un projecteur, p² = p
Soit E un espace vectoriel, F et G tels que F⊕G=E, qu’appelle-t-on symétrique de x par rapport à F parallèlement à G ? Et symétrie par rapport à F parallèlement à G ? Que peut-on dire de la symétrie par rapport à F parallèlement à G
Une symétrie par rapport à F parallèlement à G est-elle une application linéaire ?
Oui
Comment exprimer F et G en utilisant une symétrie par rapport à F parallèlement à G ?
Comment caractériser une symétrie ?
Soit s€L(E) une symétrie, alors s² = Id_E
Soit u€L(E), quand dit-on que u est une homothétie de E ?
On dit que u est une homothétie de E si on dispose de λ€K tel que u = λ×Id_E
Quelles sont les méthodes pour montrer qu’un ensemble est un espace vectoriel ?
- Montrer que c’est un sous-espace vectoriel
- Montrer que c’est le Vect d’un ensemble
- Montrer que c’est le noyau où l’image d’une application linéaire
- Montrer que c’est l’intersection d’espaces vectoriels
Expliquer intuitivement le p²=p pour les projecteurs
Si on projette une deuxième fois ça ne change rien, car on est déjà projeté
Expliquer intuitivement le s²=Id pour les symétries
Si on fait deux fois le symétrique on reprend le même
Soit p un projecteur de E sur E, que peut-on dire de Ker(p) et Im(p) ?
Ker(p) ⊕ Im(p) = E
Soit s une symétrie de E sur E, que peut-on dire de Ker(s+Id_E) et Ker(s-Id_E) ?
Ker(s + Id_E) ⊕ Ker(s - Id_E)
= E
Quel est l’ensemble des points fixes d’une application linéaire u de E ?
A=Ker(u - Id_E), car x€A ⇔ u(x) - x = 0
Quel est l’ensemble des x tels que u(x)=-x, avec u une application linéaire de E ?
A=Ker(u + Id_E), car x€A ⇔ u(x) + x = 0
A quoi faut-il faire attention dans la définition du symétrique et du projecteur ?
Ils ne sont définis que par rapport à F et G avec F ⊕ G = E
Quels sont les outils spécifiques aux fonctions pour montrer qu’une famille de fonctions est libre ?
- Évaluer en des points particuliers
- Passer à la limite
- Dériver ou primitiver, une ou plusieurs fois
- Utiliser les DL
Comment voir F + G ?
Son «centre» est de coordonnées égales à la somme des coordonnées des «centres» de F et G.
On place F ou G sur ce nouveau centre et on translate l’autre en tout point.
