Bases Et Dimensions

Question 1

Qu’est-ce qu’une famille libre finie ?

Answer 1

Ça veut dire qu’ils ont chacun leur direction

Question 2

Qu’est-ce qu’une famille liée ?

Answer 2

Chacun s’écrit comme une combinaison linéaire des autres

Question 3

Qu’est-ce qu’une famille libre infinie ?

Answer 3

Question 4

Que peut-on dire de la sous-famille d’une famille libre ?

Answer 4

Elle est libre

Question 5

Que peut-on dire de la sur-famille d’une famille liée ?

Answer 5

Elle est liée

Question 6

Que peut-on dire d’une famille qui contient le vecteur nul ?

Answer 6

Elle est liée

Question 7

Soit x€E, que signifie-t-il de dire que la famille (x) est libre ?

Answer 7

x≠0

Question 8

Que peut-on dire d’une famille qui contient deux vecteurs colinéaires ?

Answer 8

Elle est liée

Question 9

Que peut-on dire d’une famille libre d’éléments d’un sous-espace vectoriel de E ? Expliquer intuitivement

Answer 9

C’est une famille libre de E.

En effet, si ce n’était plus une famille libre ça voudrait dire que l’un des éléments de E\sev(E) est une combinaison linéaire des éléments de cette famille, donc d’éléments de sev(E), donc il est censé appartenir à sev(E), ce qui est absurde

Question 10

Que peut-on dire de l’union de deux familles libres

Answer 10

Rien

Question 11

Qu’est-ce que la propriété d’identification sur une famille libre ?

Answer 11

Question 12

Comment associer une famille liée et la combinaison linéaire ?

Answer 12

Question 13

Soit F une famille libre de E et x€E, que peut-on dire si FU(x) est liée ?

Answer 13

Question 14

Soit F une famille libre de E, et x qui n’appartient pas à Vect(F), que peut-on dire de FU(x) ?

Answer 14

Question 15

Soit E1 et E2 des sous-espaces vectoriels de E, F1 et F2 deux familles libres de E1 et E2, a quelle condition F1UF2 est-elle une famille libre ?
Justif et expliquer intuitivement

Answer 15

Si E1 et E2 sont en somme directe

On veut s’assurer qu’aucun vecteur ne peut être la combinaison linéaire d’autres, donc qu’il ne peut être «ramené à 0» par les nouveaux vecteurs qui arrivent. C’est le cas si les deux espaces sont en somme directe : puisque le vecteur initial est différent de 0, aucun élément du nouvel ensemble ne pourra le ramener à 0 (def de la somme directe)

Question 16

Qu’est-ce qu’une base d’un espace vectoriel ? Que sont les coordonnées d’un vecteur dans une base ?

Answer 16

Question 17

Comment caractériser une base ?

Answer 17

Question 18

Comment considérer une base ?

Answer 18

C’est la famille génératrice avec le minimum de vecteurs, ou la famille libre avec le maximum de vecteurs

Question 19

Answer 19

Question 20

Donner une base de F

Answer 20

Question 21

2)

Answer 21

Question 22

3)
Avec B1=((2;1;0);(-1;0;1)) et B2=((1;2;0);(0;2;1))

Answer 22

Question 23

Comment faire le lien entre supplémentaires et base ?

Answer 23

Question 24

Montrer le sens direct

Answer 24

Question 25

Montrer le sens indirect

Answer 25

Question 26

Comment définir une application linéaire par l’image d’une base ?

Answer 26

En gros, u est l’unique application linéaire qui transforme la base de E en base de F. Elle prends les coordonnées de x et les passent de E dans F.

Question 27

Démo

Answer 27

Montrons que v convient : Soit i€l, ei = 1 xei + [(j€l, j#i)(0 × ej) Donc v(ei) = fi De plus,

Question 28

Qu’est-ce qu’un espace vectoriel de dimension finie ?

Answer 28

Question 29

Qu’est-ce que le théorème de la base extraite ?

Answer 29

Question 30

Qu’est-ce que le théorème de la base incomplète ? Justif

Answer 30

Question 31

Que peut-on dire d’une famille de cardinal n+1 dans un espace vectoriel de dimension n

Answer 31

Question 32

Qu’est-ce que la dimension d’un espace vectoriel fini

Answer 32

Question 33

Déterminer la dimension de C comme R-ev

Answer 33

Question 34

Déterminer la dimension de C comme C-ev

Answer 34

Question 35

Déterminer la dimension de Kn[X]

Answer 35

Et, |(X^k)k€[[0;n]]| = n+1 Donc Kn[X] est de dimension finie et dim(Kn[X]) = n+1

Question 36

Déterminer dim(M_(n;p)(ℂ)) comme ℝ-ev

Answer 36

Donc c’est une base de M_(n;p)(ℂ) comme ℝ-ev, Donc M_(n;p)(ℂ) comme ℝ-ev est de dimension finie et dim(M_(n;p)(ℂ)) comme ℝ-ev = 2.n.p

Question 37

On considère une famille de p éléments d’un espace vectoriel E de dimension n, que peut-on dire si cette famille est libre dans E, et si elle est génératrice de E ? Justif

Answer 37

Question 38

On considère un ev E de dimension finie, u€L(E;F), et une famille de p éléments, dans quel cas l’image de la famille par u est-elle une famille libre de F ? une famille génératrice de F ? une base de F ?

Answer 38

Question 39

Démontrer

Answer 39

Question 40

Que sont deux isomorphes et que peut-on dire de leurs dimensions ? Justif

Answer 40

Question 41

Que peut-on dire de la dimension du produit cartésien d’espaces vectoriels de dimensions finies ?

Answer 41

C’est la somme des dimensions de ces espaces vectoriels

Question 42

Comment caractériser un espace vectoriel infini, par une existence ?

Answer 42

Question 43

Démontrer

Answer 43

Question 44

Que peut-on dire de la dimension de F, un sous espace vectoriel de E (un espace vectoriel de dimension finie)

Answer 44

Question 45

Démontrer

Answer 45

Question 46

Quel est les liens entre les trois propositions suivantes : - B est libre - B est génératrice - |B|=dim(E) Justif les deux premiers Expliquer intuitivement

Answer 46

B libre signifie que la famille est assez petite, B génératrice signifie que la famille est assez grande, |B|=dim(E) est la frontière commune, le seule cas où B est libre et génératrice (une base)

Question 47

Comment montrer F=E grace aux dimensions ? Justif

Answer 47

Question 48

Que peut-on dire de dim(F⊕G) ?

Answer 48

dim(F⊕G) = dim(F) + dim(G)

Question 49

Quelles sont les trois propositions où si deux sont vraies la troisième est vraie

Answer 49

- B est libre - B est génératrice - |B|=dim(E)

Question 50

Qu’est-ce que la caractérisation dimensionnelle des supplémentaires ? Justif

Answer 50

Question 51

Montrer que tout sous espace vectoriel d’un espace vectoriel de dimension finie admet un supplémentaire dans cet espace

Answer 51

Question 52

Qu’est-ce la formule de Grassmann ? Démo

Answer 52

Alors, dim(F+G) = |B’| = p + (q-p) + (r-p) = q + r - p = dim(F) + dim(G) - dim(FnG)

Question 53

Qu’appelle-t-on le rang d’une famille ?

Answer 53

Question 54

Que peut-on dire du rang de p éléments ? Expliquer intuitivement

Answer 54

Il est inférieur ou égal à p, avec égalité si et seulement si la famille constituée des p éléments est libre Soit la famille des p éléments est libre et c’est une base de son Vect, donc il y a égalité. Soit elle est lié et alors on peut en extraire une base de son Vect, qui est donc de cardinal inférieur strictement à p.

Question 55

Soit u une application linéaire, à quelle condition peut-on dire que le rang de p éléments est égal au rang des images de ces éléments par u ?

Answer 55

Si u est injective

Question 56

Qu’est-ce qu’une application linéaire de rang fini ? Qu’est-ce que le rang d’une application linéaire ?

Answer 56

Question 57

Soit u€L(E;F), E de dimension finie, dim(E)=n, (e1, …, en) une base de E, que peut-on dire de (u(e1), …, u(en)) ? Justif

Answer 57

Question 58

Soit E et F deux espaces vectoriels, u€L(E,F), que peut-on dire au niveau des rangs : - Si E est de dimension finie - Si F est de dimension finie - Si E et F sont de dimensions finies

Answer 58

Question 59

Justif les deux premiers

Answer 59

Question 60

Soit E un espace de dimension finie, u€L(E,F), (e1, …, en) une famille génératrice de E, que peut-on dire du rang de (u(e1), …, u(en)) ? A DEMONTRER

Answer 60

Question 61

Soit E, F, G trois espaces vectoriels, u€L(E,F) et v€L(F,G), de rang fini, que peut-on dire du rang de vou ?

Answer 61

Question 62

Que peut-on dire de la somme de deux applications linéaires de rangs finis, et du produit d’une application linéaire de rang fini et d’un scalaire ? A DEMONTRER

Answer 62

Question 63

Que peut-on dire de ũ ? Justif

Answer 63

Question 64

Qu’est-ce que le théorème du rang ? Justif

Answer 64

Question 65

Qu’est-ce que le corollaire du théorème du rang ?

Answer 65

Soit u€L(E;F), avec E et F deux espaces vectoriels et dim(E) = dim(F), alors : f injective de E dans F ⇔ f surjective de E sur F ⇔ f bijective

Question 66

Comment montrer grâce aux dimensions qu’une application linéaire u est surjective ?

Answer 66

On montre que dim(Im(u)) = dim(F) et on a Im(u) ⊂ F, donc Im(u) = F et u est surjective

Question 67

Qu’est-ce qu’un hyperplan ?

Answer 67

Soit E un espace vectoriel, H un sous-espace vectoriel, on dit que H est un hyperplan de E s’il existe Φ€L(E, K), Φ≠0, telle que H = Ker(Φ)

Question 68

Que vaut le rang d’une forme linéaire non nulle ? Justif

Answer 68

1 Son image est incluse dans K et différente de 0, donc elle vaut K (il n’y a que K et {0} comme ev dans K, et Im est un ev) et dim(K)=1

Question 69

Que vaut la dimension d’un hyperplan d’un ev de dimension n ? Comment démontrer

Answer 69

n - 1 On démontre en utilisant la définition et le théorème du rang

Question 70

Que peut-on dire de la supplémentarité d’un hyperplan ? Justif

Answer 70

Soit E un espace vectoriel, H un hyperplan de E, D une droite vectorielle non contenue dans H. Alors E = H ⊕ D

Question 71

Comment montrer qu’une famille est libre ?

Answer 71

- définition - raisonner par l’absurde en prenant le plus grand/petit λ non nul - sous-famille d’une famille libre - image d’une famille libre par une application injective - union de deux familles libres d’espaces en somme directe - intersection de deux familles libres

Question 72

Comment montrer qu’une famille est génératrice de E ?

Answer 72

- écrire explicitement chaque élément de E comme un élément du Vect - résoudre y = Σ(k=1 → n)(λk×xk) - sur-famille d’une famille génératrice

Question 73

Comment montrer qu’une famille est une base ?

Answer 73

- analyse-synthèse - libre et génératrice - libre (ou génératrice) et de même cardinal que la dimension - image d’une base par un endomorphisme - union de base d’espaces supplémentaires

Question 74

Comment construire une base ?

Answer 74

On trouve le nombre minimum de degrés de libertés nécessaires, puis on essaye de trouver la base

Question 75

Qu’est-ce que la dimension intuitivement ?

Answer 75

C’est le nombre de degré de liberté pour décrire l’ensemble

Question 76

Comment déterminer la dimension d’un ev ?

Answer 76

- trouver une base et regarder son cardinal - exprimer E comme un noyau ou une image et utiliser le théorème du rang - grace à un isomorphisme, même dimension que l’autre ev - dimension du produit cartésien - dimension classique (K^n, M_(n;p), K[X], suites linéaires d’ordre n, équations linéaires d’ordre n) - grassman

Question 77

Comment montrer que F⊕G=E ?

Answer 77

- somme directe et F+G=E - analyse-synthèse - somme directe et dim(F)+dim(G)=dim(E) - BF U BG = BE - reconnaitre des Ker/Im de projecteurs/symétries - reconnaitre un hyperplan et une droite

Question 78

Comment construire un supplémentaire ?

Answer 78

On ajoute ce qu’il manque à la base

Question 79

Comment déterminer le noyau et l’image d’une application linéaire ?

Answer 79

Résoudre u(x)=0 pour le noyau - en dimension finie : utiliser le théorème du rang, puis montrer une inclusion - si l’application est surjective : Im=vect de l’image d’une famille génératrice

Question 80

Qu’est-ce que la propriété d’une famille de polynômes de degrés échelonnés ?

Answer 80

Une famille n+1 polynômes non nuls et de degrés échelonnés forme une base de Rn[X]