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Maths SUP > Bases Et Dimensions > Flashcards

Bases Et Dimensions Flashcards

1
Q

Qu’est-ce qu’une famille libre finie ?

A

Ça veut dire qu’ils ont chacun leur direction

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Q

Qu’est-ce qu’une famille liée ?

A

Chacun s’écrit comme une combinaison linéaire des autres

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Q

Qu’est-ce qu’une famille libre infinie ?

A
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4
Q

Que peut-on dire de la sous-famille d’une famille libre ?

A

Elle est libre

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Q

Que peut-on dire de la sur-famille d’une famille liée ?

A

Elle est liée

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6
Q

Que peut-on dire d’une famille qui contient le vecteur nul ?

A

Elle est liée

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7
Q

Soit x€E, que signifie-t-il de dire que la famille (x) est libre ?

A

x≠0

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8
Q

Que peut-on dire d’une famille qui contient deux vecteurs colinéaires ?

A

Elle est liée

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9
Q

Que peut-on dire d’une famille libre d’éléments d’un sous-espace vectoriel de E ? Expliquer intuitivement

A

C’est une famille libre de E.

En effet, si ce n’était plus une famille libre ça voudrait dire que l’un des éléments de E\sev(E) est une combinaison linéaire des éléments de cette famille, donc d’éléments de sev(E), donc il est censé appartenir à sev(E), ce qui est absurde

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10
Q

Que peut-on dire de l’union de deux familles libres

A

Rien

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11
Q

Qu’est-ce que la propriété d’identification sur une famille libre ?

A
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12
Q

Comment associer une famille liée et la combinaison linéaire ?

A
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13
Q

Soit F une famille libre de E et x€E, que peut-on dire si FU(x) est liée ?

A
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14
Q

Soit F une famille libre de E, et x qui n’appartient pas à Vect(F), que peut-on dire de FU(x) ?

A
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15
Q

Soit E1 et E2 des sous-espaces vectoriels de E, F1 et F2 deux familles libres de E1 et E2, a quelle condition F1UF2 est-elle une famille libre ?
Justif

A

Si E1 et E2 sont en somme directe

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16
Q

Qu’est-ce qu’une base d’un espace vectoriel ? Que sont les coordonnées d’un vecteur dans une base ?

A
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17
Q

Comment caractériser une base ?

A
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18
Q

Comment considérer une base ?

A

C’est la famille génératrice avec le minimum de vecteurs, ou la famille libre avec le maximum de vecteurs

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19
Q
A
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20
Q

Donner une base de F

A
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21
Q

2)

A
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22
Q

3)
Avec B1=((2;1;0);(-1;0;1)) et B2=((1;2;0);(0;2;1))

A
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23
Q

Comment faire le lien entre supplémentaires et base ?

A
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24
Q

Montrer le sens direct

A
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25
Q

Montrer le sens indirect

A
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26
Q

Comment définir une application linéaire par l’image d’une base ?

A

En gros, u est l’unique application linéaire qui transforme la base de E en base de F.
Elle prends les coordonnées de x et les passent de E dans F.

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27
Q

Démo

A

Montrons que v convient :

Soit i€l, ei = 1 xei + [(j€l, j#i)(0 × ej)
Donc v(ei) = fi

De plus,

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28
Q

Qu’est-ce qu’un espace vectoriel de dimension finie ?

A
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29
Q

Qu’est-ce que le théorème de la base extraite ?

A
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30
Q

Qu’est-ce que le théorème de la base incomplète ?
Justif

A
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31
Q

Que peut-on dire d’une famille de cardinal n+1 dans un espace vectoriel de dimension n

A
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32
Q

Qu’est-ce que la dimension d’un espace vectoriel fini

A
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33
Q

Déterminer la dimension de C comme R-ev

A
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34
Q

Déterminer la dimension de C comme C-ev

A
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35
Q

Déterminer la dimension de Kn[X]

A

Et, |(X^k)k€[[0;n]]| = n+1
Donc Kn[X] est de dimension finie et dim(Kn[X]) = n+1

36
Q

Déterminer dim(M_(n;p)(ℂ)) comme ℝ-ev

A

Donc c’est une base de M_(n;p)(ℂ) comme ℝ-ev,

Donc M_(n;p)(ℂ) comme ℝ-ev est de dimension finie et dim(M_(n;p)(ℂ)) comme ℝ-ev = 2.n.p

37
Q

On considère une famille de p éléments d’un espace vectoriel E de dimension n, que peut-on dire si cette famille est libre dans E, et si elle est génératrice de E ?
Justif

A
38
Q

On considère un ev E de dimension finie, u€L(E;F), et une famille de p éléments, dans quel cas l’image de la famille par u est-elle une famille libre de F ? une famille génératrice de F ? une base de F ?

A
39
Q

Démontrer

A
40
Q

Que sont deux isomorphes et que peut-on dire de leurs dimensions ?
Justif

A
41
Q

Que peut-on dire de la dimension du produit cartésien d’espaces vectoriels de dimensions finies ?

A

C’est la somme des dimensions de ces espaces vectoriels

42
Q

Comment caractériser un espace vectoriel infini, par une existence ?

A
43
Q

Démontrer

A
44
Q

Que peut-on dire de la dimension de F, un sous espace vectoriel de E (un espace vectoriel de dimension finie)

A
45
Q

Démontrer

A
46
Q

Quel est les liens entre les trois propositions suivantes :
- B est libre
- B est génératrice
- |B|=dim(E)
Justif les deux premiers
Expliquer intuitivement

A

B libre signifie que la famille est assez petite, B génératrice signifie que la famille est assez grande, |B|=dim(E) est la frontière commune, le seule cas où B est libre et génératrice (une base)

47
Q

Comment montrer F=E grace aux dimensions ?
Justif

A
48
Q

Que peut-on dire de dim(F⊕G) ?

A

dim(F⊕G) = dim(F) + dim(G)

49
Q

Quelles sont les trois propositions où si deux sont vraies la troisième est vraie

A
  • B est libre
  • B est génératrice
  • |B|=dim(E)
50
Q

Qu’est-ce que la caractérisation dimensionnelle des supplémentaires ?
Justif

A
51
Q

Montrer que tout sous espace vectoriel d’un espace vectoriel de dimension finie admet un supplémentaire dans cet espace

A
52
Q

Qu’est-ce la formule de Grassmann ?
Démo

A

Alors, dim(F+G) = |B’| = p + (q-p) + (r-p)
= q + r - p
= dim(F) + dim(G) - dim(FnG)

53
Q

Qu’appelle-t-on le rang d’une famille ?

A
54
Q

Que peut-on dire du rang de p éléments ?
Expliquer intuitivement

A

Il est inférieur ou égal à p, avec égalité si et seulement si la famille constituée des p éléments est libre

Soit la famille des p éléments est libre et c’est une base de son Vect, donc il y a égalité.
Soit elle est lié et alors on peut en extraire une base de son Vect, qui est donc de cardinal inférieur strictement à p.

55
Q

Soit u une application linéaire, à quelle condition peut-on dire que le rang de p éléments est égal au rang des images de ces éléments par u ?

A

Si u est injective

56
Q

Qu’est-ce qu’une application linéaire de rang fini ? Qu’est-ce que le rang d’une application linéaire ?

A
57
Q

Soit u€L(E;F), E de dimension finie, dim(E)=n, (e1, …, en) une base de E, que peut-on dire de (u(e1), …, u(en)) ?
Justif

A
58
Q

Soit E et F deux espaces vectoriels, u€L(E,F), que peut-on dire au niveau des rangs :

  • Si E est de dimension finie
  • Si F est de dimension finie
  • Si E et F sont de dimensions finies
A
59
Q

Justif les deux premiers

A
60
Q

Soit E un espace de dimension finie, u€L(E,F), (e1, …, en) une famille génératrice de E, que peut-on dire du rang de (u(e1), …, u(en)) ?
A DEMONTRER

A
61
Q

Soit E, F, G trois espaces vectoriels, u€L(E,F) et v€L(F,G), de rang fini, que peut-on dire du rang de vou ?

A
62
Q

Que peut-on dire de la somme de deux applications linéaires de rangs finis, et du produit d’une application linéaire de rang fini et d’un scalaire ?
A DEMONTRER

A
63
Q

Que peut-on dire de ũ ?
Justif

A
64
Q

Qu’est-ce que le théorème du rang ?
Justif

A
65
Q

Qu’est-ce que le corollaire du théorème du rang ?

A

Soit u€L(E;F), avec E et F deux espaces vectoriels et dim(E) = dim(F), alors :

f injective de E dans F ⇔ f surjective de E sur F ⇔ f bijective

66
Q

Comment montrer grâce aux dimensions qu’une application linéaire u est surjective ?

A

On montre que dim(Im(u)) = dim(F) et on a Im(u) ⊂ F, donc Im(u) = F et u est surjective

67
Q

Qu’est-ce qu’un hyperplan ?

A

Soit E un espace vectoriel, H un sous-espace vectoriel, on dit que H est un hyperplan de E s’il existe Φ€L(E, K), Φ≠0, telle que H = Ker(Φ)

68
Q

Que vaut le rang d’une forme linéaire non nulle ?
Justif

A

1

Son image est incluse dans K et différente de 0, donc elle vaut K (il n’y a que K et {0} comme ev dans K, et Im est un ev) et dim(K)=1

69
Q

Que vaut la dimension d’un hyperplan d’un ev de dimension n ?
Comment démontrer

A

n - 1

On démontre en utilisant la définition et le théorème du rang

70
Q

Que peut-on dire de la supplémentarité d’un hyperplan ?
Justif

A

Soit E un espace vectoriel, H un hyperplan de E, D une droite vectorielle non contenue dans H.
Alors E = H ⊕ D

71
Q

Comment montrer qu’une famille est libre ?

A
  • définition
  • raisonner par l’absurde en prenant le plus grand/petit λ non nul
  • sous-famille d’une famille libre
  • image d’une famille libre par une application injective
  • union de deux familles libres d’espaces en somme directe
  • intersection de deux familles libres
72
Q

Comment montrer qu’une famille est génératrice de E ?

A
  • écrire explicitement chaque élément de E comme un élément du Vect
  • résoudre y = Σ(k=1 → n)(λk×xk)
  • sur-famille d’une famille génératrice
73
Q

Comment montrer qu’une famille est une base ?

A
  • analyse-synthèse
  • libre et génératrice
  • libre (ou génératrice) et de même cardinal que la dimension
  • image d’une base par un endomorphisme
  • union de base d’espaces supplémentaires
74
Q

Comment construire une base ?

A

On trouve le nombre minimum de degrés de libertés nécessaires, puis on essaye de trouver la base

75
Q

Qu’est-ce que la dimension intuitivement ?

A

C’est le nombre de degré de liberté pour décrire l’ensemble

76
Q

Comment trouver la dimension d’un ev ?

A
  • trouver une base et regarder son cardinal
  • exprimer E comme un noyau ou une image et utiliser le théorème du rang
  • grace à un isomorphisme, même dimension que l’autre ev
  • dimension du produit cartésien
  • dimension classique (K^n, M_(n;p), K[X], suites linéaires d’ordre n, équations linéaires d’ordre n)
  • grassman
77
Q

Comment montrer que F⊕G=E ?

A
  • somme directe et F+G=E
  • analyse-synthèse
  • somme directe et dim(F)+dim(G)=dim(E)
  • BF U BG = BE
  • reconnaitre des Ker/Im de projecteurs/symétries
  • reconnaitre un hyperplan et une droite
78
Q

Comment construire un supplémentaire ?

A

On ajoute ce qu’il manque à la base

79
Q

Comment déterminer le noyau et l’image d’une application linéaire ?

A

Résoudre u(x)=0 pour le noyau

  • en dimension finie : utiliser le théorème du rang, puis montrer une inclusion
  • si l’application est surjective : Im=vect de l’image d’une famille génératrice
80
Q

Qu’est-ce que la propriété d’une famille de polynômes de degrés échelonnés ?

A

Une famille n+1 polynômes non nuls et de degrés échelonnés forme une base de Rn[X]

81
Q

Comment déterminer la matrice d’une famille dans une base ?

A

Exprimer la décomposition dans la base de chaque élément de la famille et mettre en matrice

82
Q

Comment déterminer le noyau d’une matrice A/application linéaire u, connaissant le noyau de u/A ?

A

Φ : x → Mat(x)B, est une bijection de Ker(u) dans Ker(A)

Dans un cas on a le vecteur, dans un cas ses cordonnées

83
Q

Comment montrer que deux matrices sont semblables ?

A
  • elles sont image d’un même endomorphisme dans deux bases différentes
  • on détermine P tel que : A = P-1 × B × P
84
Q

Montrer que Ker(p) ⊕ Im(p) = E, avec p un projecteur

A

Soit x€E, x€Ker(p) n Im(p),
Alors on dispose de y€E tel que p(y)=x, par définition de l’image,
Donc, p²(y) = p(x) = 0, par définition d’un projecteur et du noyau,
Par définition d’un projecteur on a également que p(y) = p²(y) = 0,
Donc, x = p(y) = 0,
Donc Ker(p) n Im(p) = {0E},
Donc Ker(p) et Im(p) sont en somme directe

De plus, par théorème du rang, dim(E) = dim(Ker(p)) + dim(Im(p)),

Donc, par propriété, Ker(p) ⊕ Im(p) = E

85
Q

Montrer que, pour p un projecteur et P n’importe quelle matrice associée, rg(p) = Tr(P)

A
  • Si Ker(p) et Im(p) sont tous deux non nuls :
    Soit (e1, …, er) une base de Im(p) et (e(r+1), …, en) une base de Ker(p), alors B = (e1, …, en) est une base de E, car Ker(p) ⊕ Im(p) = E
    Posons M = Mat(p)B,
    ∀k€[|r+1, n|], p(ek) = 0, par définition du noyau
    ∀k€[|1, n|, p(ek) = ek par définition du projecteur
    écrire alors Mat(p)B
    Donc, tr(M) = r = rg(p)
  • Si Ker(p) = {0} :
    De même, P = Id et rg(p) = n = dim(E) = rg(p), par théorème du rang
  • Si Im(p) = {0} :
    p = 0_L(E), donc Tr(P) = 0 = rg(p)

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