Bases Et Dimensions Flashcards
Qu’est-ce qu’une famille libre finie ?
Ça veut dire qu’ils ont chacun leur direction
Qu’est-ce qu’une famille liée ?
Chacun s’écrit comme une combinaison linéaire des autres
Qu’est-ce qu’une famille libre infinie ?
Que peut-on dire de la sous-famille d’une famille libre ?
Elle est libre
Que peut-on dire de la sur-famille d’une famille liée ?
Elle est liée
Que peut-on dire d’une famille qui contient le vecteur nul ?
Elle est liée
Soit x€E, que signifie-t-il de dire que la famille (x) est libre ?
x≠0
Que peut-on dire d’une famille qui contient deux vecteurs colinéaires ?
Elle est liée
Que peut-on dire d’une famille libre d’éléments d’un sous-espace vectoriel de E ? Expliquer intuitivement
C’est une famille libre de E.
En effet, si ce n’était plus une famille libre ça voudrait dire que l’un des éléments de E\sev(E) est une combinaison linéaire des éléments de cette famille, donc d’éléments de sev(E), donc il est censé appartenir à sev(E), ce qui est absurde
Que peut-on dire de l’union de deux familles libres
Rien
Qu’est-ce que la propriété d’identification sur une famille libre ?
Comment associer une famille liée et la combinaison linéaire ?
Soit F une famille libre de E et x€E, que peut-on dire si FU(x) est liée ?
Soit F une famille libre de E, et x qui n’appartient pas à Vect(F), que peut-on dire de FU(x) ?
Soit E1 et E2 des sous-espaces vectoriels de E, F1 et F2 deux familles libres de E1 et E2, a quelle condition F1UF2 est-elle une famille libre ?
Justif
Si E1 et E2 sont en somme directe
Qu’est-ce qu’une base d’un espace vectoriel ? Que sont les coordonnées d’un vecteur dans une base ?
Comment caractériser une base ?
Comment considérer une base ?
C’est la famille génératrice avec le minimum de vecteurs, ou la famille libre avec le maximum de vecteurs
Donner une base de F
2)
3)
Avec B1=((2;1;0);(-1;0;1)) et B2=((1;2;0);(0;2;1))
Comment faire le lien entre supplémentaires et base ?
Montrer le sens direct
Montrer le sens indirect
Comment définir une application linéaire par l’image d’une base ?
En gros, u est l’unique application linéaire qui transforme la base de E en base de F.
Elle prends les coordonnées de x et les passent de E dans F.
Démo
Montrons que v convient :
Soit i€l, ei = 1 xei + [(j€l, j#i)(0 × ej)
Donc v(ei) = fi
De plus,
Qu’est-ce qu’un espace vectoriel de dimension finie ?
Qu’est-ce que le théorème de la base extraite ?
Qu’est-ce que le théorème de la base incomplète ?
Justif
Que peut-on dire d’une famille de cardinal n+1 dans un espace vectoriel de dimension n
Qu’est-ce que la dimension d’un espace vectoriel fini
Déterminer la dimension de C comme R-ev
Déterminer la dimension de C comme C-ev