Bases Et Dimensions Flashcards
Qu’est-ce qu’une famille libre finie ?
Ça veut dire qu’ils ont chacun leur direction
Qu’est-ce qu’une famille liée ?
Chacun s’écrit comme une combinaison linéaire des autres
Qu’est-ce qu’une famille libre infinie ?
Que peut-on dire de la sous-famille d’une famille libre ?
Elle est libre
Que peut-on dire de la sur-famille d’une famille liée ?
Elle est liée
Que peut-on dire d’une famille qui contient le vecteur nul ?
Elle est liée
Soit x€E, que signifie-t-il de dire que la famille (x) est libre ?
x≠0
Que peut-on dire d’une famille qui contient deux vecteurs colinéaires ?
Elle est liée
Que peut-on dire d’une famille libre d’éléments d’un sous-espace vectoriel de E ? Expliquer intuitivement
C’est une famille libre de E.
En effet, si ce n’était plus une famille libre ça voudrait dire que l’un des éléments de E\sev(E) est une combinaison linéaire des éléments de cette famille, donc d’éléments de sev(E), donc il est censé appartenir à sev(E), ce qui est absurde
Que peut-on dire de l’union de deux familles libres
Rien
Qu’est-ce que la propriété d’identification sur une famille libre ?
Comment associer une famille liée et la combinaison linéaire ?
Soit F une famille libre de E et x€E, que peut-on dire si FU(x) est liée ?
Soit F une famille libre de E, et x qui n’appartient pas à Vect(F), que peut-on dire de FU(x) ?
Soit E1 et E2 des sous-espaces vectoriels de E, F1 et F2 deux familles libres de E1 et E2, a quelle condition F1UF2 est-elle une famille libre ?
Justif et expliquer intuitivement
Si E1 et E2 sont en somme directe
On veut s’assurer qu’aucun vecteur ne peut être la combinaison linéaire d’autres, donc qu’il ne peut être «ramené à 0» par les nouveaux vecteurs qui arrivent. C’est le cas si les deux espaces sont en somme directe : puisque le vecteur initial est différent de 0, aucun élément du nouvel ensemble ne pourra le ramener à 0 (def de la somme directe)
Qu’est-ce qu’une base d’un espace vectoriel ? Que sont les coordonnées d’un vecteur dans une base ?
Comment caractériser une base ?
Comment considérer une base ?
C’est la famille génératrice avec le minimum de vecteurs, ou la famille libre avec le maximum de vecteurs
Donner une base de F
2)
3)
Avec B1=((2;1;0);(-1;0;1)) et B2=((1;2;0);(0;2;1))
Comment faire le lien entre supplémentaires et base ?
Montrer le sens direct
Montrer le sens indirect
Comment définir une application linéaire par l’image d’une base ?
En gros, u est l’unique application linéaire qui transforme la base de E en base de F.
Elle prends les coordonnées de x et les passent de E dans F.
Démo
Montrons que v convient :
Soit i€l, ei = 1 xei + [(j€l, j#i)(0 × ej)
Donc v(ei) = fi
De plus,
Qu’est-ce qu’un espace vectoriel de dimension finie ?
Qu’est-ce que le théorème de la base extraite ?
Qu’est-ce que le théorème de la base incomplète ?
Justif
Que peut-on dire d’une famille de cardinal n+1 dans un espace vectoriel de dimension n
Qu’est-ce que la dimension d’un espace vectoriel fini
Déterminer la dimension de C comme R-ev
Déterminer la dimension de C comme C-ev
Déterminer la dimension de Kn[X]
Et, |(X^k)k€[[0;n]]| = n+1
Donc Kn[X] est de dimension finie et dim(Kn[X]) = n+1
Déterminer dim(M_(n;p)(ℂ)) comme ℝ-ev
Donc c’est une base de M_(n;p)(ℂ) comme ℝ-ev,
Donc M_(n;p)(ℂ) comme ℝ-ev est de dimension finie et dim(M_(n;p)(ℂ)) comme ℝ-ev = 2.n.p
On considère une famille de p éléments d’un espace vectoriel E de dimension n, que peut-on dire si cette famille est libre dans E, et si elle est génératrice de E ?
Justif
On considère un ev E de dimension finie, u€L(E;F), et une famille de p éléments, dans quel cas l’image de la famille par u est-elle une famille libre de F ? une famille génératrice de F ? une base de F ?
Démontrer
Que sont deux isomorphes et que peut-on dire de leurs dimensions ?
Justif
Que peut-on dire de la dimension du produit cartésien d’espaces vectoriels de dimensions finies ?
C’est la somme des dimensions de ces espaces vectoriels
Comment caractériser un espace vectoriel infini, par une existence ?
Démontrer
Que peut-on dire de la dimension de F, un sous espace vectoriel de E (un espace vectoriel de dimension finie)
Démontrer
Quel est les liens entre les trois propositions suivantes :
- B est libre
- B est génératrice
- |B|=dim(E)
Justif les deux premiers
Expliquer intuitivement
B libre signifie que la famille est assez petite, B génératrice signifie que la famille est assez grande, |B|=dim(E) est la frontière commune, le seule cas où B est libre et génératrice (une base)
Comment montrer F=E grace aux dimensions ?
Justif
Que peut-on dire de dim(F⊕G) ?
dim(F⊕G) = dim(F) + dim(G)
Quelles sont les trois propositions où si deux sont vraies la troisième est vraie
- B est libre
- B est génératrice
- |B|=dim(E)
Qu’est-ce que la caractérisation dimensionnelle des supplémentaires ?
Justif
Montrer que tout sous espace vectoriel d’un espace vectoriel de dimension finie admet un supplémentaire dans cet espace
Qu’est-ce la formule de Grassmann ?
Démo
Alors, dim(F+G) = |B’| = p + (q-p) + (r-p)
= q + r - p
= dim(F) + dim(G) - dim(FnG)
Qu’appelle-t-on le rang d’une famille ?
Que peut-on dire du rang de p éléments ?
Expliquer intuitivement
Il est inférieur ou égal à p, avec égalité si et seulement si la famille constituée des p éléments est libre
Soit la famille des p éléments est libre et c’est une base de son Vect, donc il y a égalité.
Soit elle est lié et alors on peut en extraire une base de son Vect, qui est donc de cardinal inférieur strictement à p.
Soit u une application linéaire, à quelle condition peut-on dire que le rang de p éléments est égal au rang des images de ces éléments par u ?
Si u est injective
Qu’est-ce qu’une application linéaire de rang fini ? Qu’est-ce que le rang d’une application linéaire ?
Soit u€L(E;F), E de dimension finie, dim(E)=n, (e1, …, en) une base de E, que peut-on dire de (u(e1), …, u(en)) ?
Justif
Soit E et F deux espaces vectoriels, u€L(E,F), que peut-on dire au niveau des rangs :
- Si E est de dimension finie
- Si F est de dimension finie
- Si E et F sont de dimensions finies
Justif les deux premiers
Soit E un espace de dimension finie, u€L(E,F), (e1, …, en) une famille génératrice de E, que peut-on dire du rang de (u(e1), …, u(en)) ?
A DEMONTRER
Soit E, F, G trois espaces vectoriels, u€L(E,F) et v€L(F,G), de rang fini, que peut-on dire du rang de vou ?
Que peut-on dire de la somme de deux applications linéaires de rangs finis, et du produit d’une application linéaire de rang fini et d’un scalaire ?
A DEMONTRER
Que peut-on dire de ũ ?
Justif
Qu’est-ce que le théorème du rang ?
Justif
Qu’est-ce que le corollaire du théorème du rang ?
Soit u€L(E;F), avec E et F deux espaces vectoriels et dim(E) = dim(F), alors :
f injective de E dans F ⇔ f surjective de E sur F ⇔ f bijective
Comment montrer grâce aux dimensions qu’une application linéaire u est surjective ?
On montre que dim(Im(u)) = dim(F) et on a Im(u) ⊂ F, donc Im(u) = F et u est surjective
Qu’est-ce qu’un hyperplan ?
Soit E un espace vectoriel, H un sous-espace vectoriel, on dit que H est un hyperplan de E s’il existe Φ€L(E, K), Φ≠0, telle que H = Ker(Φ)
Que vaut le rang d’une forme linéaire non nulle ?
Justif
1
Son image est incluse dans K et différente de 0, donc elle vaut K (il n’y a que K et {0} comme ev dans K, et Im est un ev) et dim(K)=1
Que vaut la dimension d’un hyperplan d’un ev de dimension n ?
Comment démontrer
n - 1
On démontre en utilisant la définition et le théorème du rang
Que peut-on dire de la supplémentarité d’un hyperplan ?
Justif
Soit E un espace vectoriel, H un hyperplan de E, D une droite vectorielle non contenue dans H.
Alors E = H ⊕ D
Comment montrer qu’une famille est libre ?
- définition
- raisonner par l’absurde en prenant le plus grand/petit λ non nul
- sous-famille d’une famille libre
- image d’une famille libre par une application injective
- union de deux familles libres d’espaces en somme directe
- intersection de deux familles libres
Comment montrer qu’une famille est génératrice de E ?
- écrire explicitement chaque élément de E comme un élément du Vect
- résoudre y = Σ(k=1 → n)(λk×xk)
- sur-famille d’une famille génératrice
Comment montrer qu’une famille est une base ?
- analyse-synthèse
- libre et génératrice
- libre (ou génératrice) et de même cardinal que la dimension
- image d’une base par un endomorphisme
- union de base d’espaces supplémentaires
Comment construire une base ?
On trouve le nombre minimum de degrés de libertés nécessaires, puis on essaye de trouver la base
Qu’est-ce que la dimension intuitivement ?
C’est le nombre de degré de liberté pour décrire l’ensemble
Comment déterminer la dimension d’un ev ?
- trouver une base et regarder son cardinal
- exprimer E comme un noyau ou une image et utiliser le théorème du rang
- grace à un isomorphisme, même dimension que l’autre ev
- dimension du produit cartésien
- dimension classique (K^n, M_(n;p), K[X], suites linéaires d’ordre n, équations linéaires d’ordre n)
- grassman
Comment montrer que F⊕G=E ?
- somme directe et F+G=E
- analyse-synthèse
- somme directe et dim(F)+dim(G)=dim(E)
- BF U BG = BE
- reconnaitre des Ker/Im de projecteurs/symétries
- reconnaitre un hyperplan et une droite
Comment construire un supplémentaire ?
On ajoute ce qu’il manque à la base
Comment déterminer le noyau et l’image d’une application linéaire ?
Résoudre u(x)=0 pour le noyau
- en dimension finie : utiliser le théorème du rang, puis montrer une inclusion
- si l’application est surjective : Im=vect de l’image d’une famille génératrice
Qu’est-ce que la propriété d’une famille de polynômes de degrés échelonnés ?
Une famille n+1 polynômes non nuls et de degrés échelonnés forme une base de Rn[X]
