Dénombrement Flashcards
Définir le cardinal d’un ensemble fini
Soit E un ensemble fini, A ⊂ E, que peut-on dire de A ?
Justif
Soient E et F des ensembles, et f injective de E dans F, que peut-on dire si F est fini ?
Soient E et F des ensembles, f une fonction surjective de E dans F, que peut-on dire si E est de cardinal fini ?
Alors F est de cardinal fini et |E|≥|F|
Dans quel cas peut-on dire que injective ⇔ surjective ⇔ bijective
Si les espaces de départ et d’arrivée sont de même cardinal
Soit E un ensemble, A et B deux sous-ensembles de E de cardinaux finis, donner le cardinal de AUB (dans le cas général et dans le cas A et B disjoint)
Soit E un ensemble, A et B deux sous-ensembles de E de cardinaux finis, donner le cardinal de A\B et /A
Donner |U<i=1 → n>(Ai)|
Soit E un ensemble, A et B deux sous-ensembles de E de cardinaux finis, donner le cardinal de A×B
|A|×|B|
Déterminer le nombre d’entiers plus petits strictement que 1000 et divisibles par 3 ou 5
Soit E un ensemble fini de cardinal n, P(E) l’ensemble des parties de E, donner |P(E)|
Justif
Définir (p:n) en terme d’ensemble
Que vaut la somme des coefficients binomiaux ?
Justif
Qu’est-ce que la propriété du triangle de pascal ?
Justif
Qu’est-ce que la propriété de symétrie du coefficient binomial ?
Justif
Soient E et F des ensembles de cardinaux finis n et p (supérieurs à 1), donner le cardinal de F^E
Que fait-on des différentes probabilités lorsqu’on a une disjonction de cas ?
On les somme
Que fait-on des différentes probabilités lorsqu’on a des choix successifs ?
On les multiplie
Donner le cardinal de F^p
|F^p| = |F|^p
Donner le nombre d’applications injectives de E dans F, |E|=n et |F|=p
Justifier intuitivement
- Si n>p :
Il y a trop d’éléments dans E pour que chacun s’envoie sur F de manière différente, il n’y a donc pas d’application injective de E dans F - Si n≤p :
Pour chaque élément de F on choisit un élément de p.
A chaque fois on a une possibilité de moins (à cause de l’injectivité on ne peut pas choisir le même) donc on fait p! choix.
Cependant, on arrête de choisir lorsqu’on a plus d’éléments dans E, donc n avant la fin, on ne fait donc pas les (p-n) derniers choix.
Donner le nombre de bijections entre deux ensembles de même cardinal fini n
n!
Quel schéma utiliser pour une situation où l’ordre compte et ou on peut refaire plusieurs fois le même choix
n^p
Quel schéma utiliser pour une situation où l’ordre compte et ou on ne peut pas refaire plusieurs fois le même choix
n!/(n-p)!
Quel schéma utiliser pour une situation où l’ordre ne compte pas et où on ne peut pas refaire plusieurs fois le même choix (déterminer une position, quelque chose d’indiscernable)
(p:n)
