Dénombrement

Question 1

Définir le cardinal d’un ensemble fini

Answer 1

Question 2

Soit E un ensemble fini, A ⊂ E, que peut-on dire de A ?
Justif

Answer 2

Question 3

Soient E et F des ensembles, et f injective de E dans F, que peut-on dire si F est fini ?

Answer 3

Question 4

Soient E et F des ensembles, f une fonction surjective de E dans F, que peut-on dire si E est de cardinal fini ?

Answer 4

Alors F est de cardinal fini et |E|≥|F|

Question 5

Dans quel cas peut-on dire que injective ⇔ surjective ⇔ bijective

Answer 5

Si les espaces de départ et d’arrivée sont de même cardinal

Question 6

Soit E un ensemble, A et B deux sous-ensembles de E de cardinaux finis, donner le cardinal de AUB (dans le cas général et dans le cas A et B disjoint)

Answer 6

Question 7

Soit E un ensemble, A et B deux sous-ensembles de E de cardinaux finis, donner le cardinal de A\B et /A

Answer 7

Question 8

Donner |U<i=1 → n>(Ai)|

Answer 8

Question 9

Soit E un ensemble, A et B deux sous-ensembles de E de cardinaux finis, donner le cardinal de A×B

Answer 9

|A|×|B|

Question 10

Déterminer le nombre d’entiers plus petits strictement que 1000 et divisibles par 3 ou 5

Answer 10

Question 11

Soit E un ensemble fini de cardinal n, P(E) l’ensemble des parties de E, donner |P(E)|
Justif

Answer 11

Question 12

Définir (p:n) en terme d’ensemble

Answer 12

Question 13

Que vaut la somme des coefficients binomiaux ?
Justif

Answer 13

Question 14

Qu’est-ce que la propriété du triangle de pascal ?
Justif

Answer 14

Question 15

Qu’est-ce que la propriété de symétrie du coefficient binomial ?
Justif

Answer 15

Question 16

Soient E et F des ensembles de cardinaux finis n et p (supérieurs à 1), donner le cardinal de F^E

Answer 16

Question 17

Que fait-on des différentes probabilités lorsqu’on a une disjonction de cas ?

Answer 17

On les somme

Question 18

Que fait-on des différentes probabilités lorsqu’on a des choix successifs ?

Answer 18

On les multiplie

Question 19

Donner le cardinal de F^p

Answer 19

|F^p| = |F|^p

Question 20

Donner le nombre d’applications injectives de E dans F, |E|=n et |F|=p
Justifier intuitivement

Answer 20

• Si n>p :
  Il y a trop d’éléments dans E pour que chacun s’envoie sur F de manière différente, il n’y a donc pas d’application injective de E dans F
• Si n≤p :
  Pour chaque élément de F on choisit un élément de p.
  A chaque fois on a une possibilité de moins (à cause de l’injectivité on ne peut pas choisir le même) donc on fait p! choix.
  Cependant, on arrête de choisir lorsqu’on a plus d’éléments dans E, donc n avant la fin, on ne fait donc pas les (p-n) derniers choix.

Question 21

Donner le nombre de bijections entre deux ensembles de même cardinal fini n

Answer 21

n!

Question 22

Quel schéma utiliser pour une situation où l’ordre compte et ou on peut refaire plusieurs fois le même choix

Answer 22

n^p

Question 23

Quel schéma utiliser pour une situation où l’ordre compte et ou on ne peut pas refaire plusieurs fois le même choix

Answer 23

n!/(n-p)!

Question 24

Quel schéma utiliser pour une situation où l’ordre ne compte pas et où on ne peut pas refaire plusieurs fois le même choix (déterminer une position, quelque chose d’indiscernable)

Answer 24

(p:n)