Limites Et Continuité

Question 1

Que peut-on dire de f au voisinage de a, si f possède une limite finie en a ? Démo

Answer 1

Question 2

Que signifie-t-il de dire qu’une fonction tend vers l€RU{+/-∞} par la droite lorsque x tend vers a€R ? En quantificateurs

Answer 2

Question 3

Comment montrer qu’une fonction tend vers l en a ? Tend vers +∞ en a ?
Au moyen d’une autre fonction

Answer 3

Question 4

Qu’est-ce que la caractérisation séquentielle de la limite d’une fonction f ?
Quand l’utilise-t-on ?

Answer 4

On l’utilise pour montrer qu’il n’y a pas de limite

Question 5

Comment procéder quand on cherche une limite de puissance et que la variable apparaît dans la base et dans l’exposant ?

Answer 5

Il faut définir la variable (faire attention à l’ensemble) et utiliser a^b=exp(b×ln(a)), ∀a€R*+

Question 6

Quelle technique peut-être utile pour calculer une limite ? Par exemple pour la limite de ln(1+x)/x en +∞ ? Quand est-elle particulièrement efficace ?

Answer 6

On fait apparaître un taux d’accroissement qui est égal à la dérivée en un point précis.

Par exemple : photo

Elle est particulièrement efficace lorsqu’on a une forme indéterminée «0/0»

Question 7

Lorsqu’on a une forme indéterminée «0/0» et qu’on veut faire apparaître au dénominateur la forme «x - a» pour le taux d’accroissement, comment faire ?

Answer 7

Supposons que la fraction soit X/X’, on a X/X’ = X/(x-a) × (x-a)/X’

Question 8

Que vaut (x³ - 1) ?

Answer 8

On a : x³ - 1 = (x - 1)(x² + x + 1)

Question 9

Quelle est la limite de la composée ?

Answer 9

Si :
- lim(x → a)(f(x)) = b
- lim(x → b)(g(x)) = l
- g continue en b

Alors :
- lim(x → a)(gof(x)) = l

Question 10

Si deux fonctions f et g ont des limites l1 et l2 lorsqu’elles tendent vers a€R, et que f(x)≤g(x) pour tout x au voisinage de a ? Que peut-on dire de l1 et l2 ? A quoi faut-il faire attention ?

Answer 10

l1≤l2

Attention : si on a f(x)<g(x), le passage à la limite conserve l1≤l2

Question 11

Qu’est-ce qu’une fonction continue en un point a ? Continue à gauche/droite en un point a ? Continue sur un ensemble ? Comment note-t-on l’ensemble des fonctions continues sur un ensemble ?

Answer 11

Question 12

Définir le prolongement par continuité

Answer 12

Question 13

Qu’est-ce que la caractérisation séquentielle de la continuité ?

Answer 13

Question 14

Que peut-on dire de la combinaison linéaire, du produit et du quotient de deux fonctions continues ?

Answer 14

Question 15

Quand peut-on dire qu’une fonction composée est continue ?

Answer 15

Question 16

Qu’est-ce que le théorème des valeurs intermédiaires ? Son corollaire ?

Answer 16

Question 17

Comment montrer l’existence d’une solution d’une fonction, sans la déterminer précisément ?

Answer 17

TVI

Question 18

Qu’est-ce que le théorème des bornes atteintes ?

Answer 18

Soit (a;b)€R², a<b, f€R^[a;b], f continue,
Alors f est bornée sur [a;b] et atteint ses bornes

Question 19

Comment montrer qu’une fonction continue sur R+ qui tend vers l en +∞ est bornée sur R+ ?

Answer 19

• deuxième inégalité triangulaire sur l’intervalle [borne;+∞[, par la limite
• théorème des bornes atteintes sur [0;borne[

Question 20

Comment déterminer la limite d’une fonction en pratique ?

Answer 20

• Taux d’accroissement
• Croissance comparée
• Changement de variable
• Techniques sur les fonctions particulières
• Encadrement

Question 21

Quand effectue-t-on un changement de variable ?

Answer 21

Lorsqu’on a une grosse composée ou qu’on veut changer le point vers lequel tend la limite, pour se ramener à tendre vers un nombre usuel

Question 22

Quelles sont les techniques sur les fonctions ln et √() pour avoir une limite plus simple à calculer ?

Answer 22

• ln(a×b)=ln(a) + ln(b)
• √(), quantité conjuguée

Question 23

Comment montrer qu’une fonction n’a pas de limite ?

Answer 23

Par caractérisation séquentielle

Question 24

Comment montrer qu’une fonction a une limite en théorie ?

Answer 24

• par définition de la limite
• par le théorème de la limite monotone

Question 25

Comment montrer qu’une fonction est continue en pratique ?

Answer 25

• les différents théorèmes généraux
• calcul de limites point par point pour les composées de fonctions discontinues

Question 26

Dans quels cas utiliser le TVI ?

Answer 26

• montrer une surjectivité
• chercher un point fixe
• montrer des annulations
• montrer qu’une fonction prend une infinité de valeurs

Question 27

Quand utiliser le TBA ?

Answer 27

Pour montrer qu’une fonction est bornée, pour montrer l’existence d’un max et d’un min

Question 28

Quel est la restriction commune au TVI et au TBA ?

Answer 28

Ils s’appliquent uniquement sur un segment

Question 29

Comment montrer théoriquement qu’une fonction est continue sur un ensemble ?

Answer 29

Soit x€D_f, montrer que f(x+ε) - f(x) → 0 lorsque ε → 0

Question 30

Lorsqu’on a une égalité de fonctions du type : f(x)=g(h(x)), qu’on a (pour tout x€R) une information sur f(x) et qu’on veut avoir une information sur g(x), comment faire ?

Answer 30

On fait f(h-1(x))=g(h(h-1(x)))=g(x)

Question 31

Comment monter qu’une fonction f continue admet un point fixe par TVI ?

Answer 31

• Poser g : x → f(x) - x, continue comme somme de fonctions continues,
• Montrer qu’il existe x tel que g(x)=0 ⇔ f(x) = x

Question 32

Comment traiter une équation fonctionnelle ?

Answer 32

• Si elle est dérivable, utiliser la dérivation pour faire apparaître la dérivée et résoudre l’équation différentielle
• Si elle est continue, déterminer la valeur de f aux points rationnels, en commençant par les entiers. Conclure en utilisant le fait que tout réel est limite d’une suite de rationnels

Question 33

Comment montrer qu’une fonction est dérivable ou pas sur un ensemble ?

Answer 33

• Pour les parties sans problème de l’ensemble, composée de fonctions dérivables
• Pour les parties où ce n’est pas possible, calculer le nombre dérivée par sa définition (taux d’accroissement), s’il tend vers une limite finie, alors la fonction est dérivable, sinon non

Question 34

Comment démontrer qu’une fonction f admet un unique point fixe sur I en utilisant la bijectivité ?
Quand ne pas utiliser cette méthode

Answer 34

• introduire g : x → f(x) - x
• montrer que g est continue et strictement croissante/décroissante sur I, utiliser le théorème de bijection
• calculer g(I), 0€g(I), donc il existe un unique x€I tel que g(x)=0 ⇔ f(x) = x

Il ne faut pas utiliser cette méthode si on cherche la valeur du point fixe car elle ne permet pas de le déterminer

Question 35

Soit (f;g)€(R^I)², a un point ou une borne de I, f bornée sur I et lim(x → +∞)(g(x))=0, que peut-on dire de la limite de leur produit ?

Answer 35

f(x)×g(x) → 0, lorsque x → +∞

Question 36

Qu’est-ce que le théorème de la limite monotone ?

Answer 36

b un réel ou +∞

Question 37

Quand utiliser l’encadrement et quand utiliser la conservation des inégalités au passage à la limite ?

Answer 37

Si on ne sait pas que la limite existe, on ne peut pas utiliser le passage à la limite, alors que le théorème des gendarmes donne l’existence de la limite

Question 38

Comment faire lorsqu’on veut montrer une inégalité stricte sur une limite mais qu’on ne peut pas parce que les inégalités deviennent larges aux limites ?

Answer 38

On met un «tampon», par exemple pour montrer lim(f(x))>a, on montre que f(x)>b>a et alors lim(f(x))≥b>a

Question 39

Dans quel cas une fonction complexe est-elle continue ?

Answer 39

f continue ⇔ Re(f) et Im(f) continues