Limites Et Continuité Flashcards
Que peut-on dire de f au voisinage de a, si f possède une limite finie en a ? Démo
Que signifie-t-il de dire qu’une fonction tend vers l€RU{+/-∞} par la droite lorsque x tend vers a€R ? En quantificateurs
Comment montrer qu’une fonction tend vers l en a ? Tend vers +∞ en a ?
Au moyen d’une autre fonction
Qu’est-ce que la caractérisation séquentielle de la limite d’une fonction f ?
Quand l’utilise-t-on ?
On l’utilise pour montrer qu’il n’y a pas de limite
Comment procéder quand on cherche une limite de puissance et que la variable apparaît dans la base et dans l’exposant ?
Il faut définir la variable (faire attention à l’ensemble) et utiliser a^b=exp(b×ln(a)), ∀a€R*+
Quelle technique peut-être utile pour calculer une limite ? Par exemple pour la limite de ln(1+x)/x en +∞ ? Quand est-elle particulièrement efficace ?
On fait apparaître un taux d’accroissement qui est égal à la dérivée en un point précis.
Par exemple : photo
Elle est particulièrement efficace lorsqu’on a une forme indéterminée «0/0»
Lorsqu’on a une forme indéterminée «0/0» et qu’on veut faire apparaître au dénominateur la forme «x - a» pour le taux d’accroissement, comment faire ?
Supposons que la fraction soit X/X’, on a X/X’ = X/(x-a) × (x-a)/X’
Que vaut (x³ - 1) ?
On a : x³ - 1 = (x - 1)(x² + x + 1)
Quelle est la limite de la composée ?
Si :
- lim(x → a)(f(x)) = b
- lim(x → b)(g(x)) = l
- g continue en b
Alors :
- lim(x → a)(gof(x)) = l
Si deux fonctions f et g ont des limites l1 et l2 lorsqu’elles tendent vers a€R, et que f(x)≤g(x) pour tout x au voisinage de a ? Que peut-on dire de l1 et l2 ? A quoi faut-il faire attention ?
l1≤l2
Attention : si on a f(x)<g(x), le passage à la limite conserve l1≤l2
Qu’est-ce qu’une fonction continue en un point a ? Continue à gauche/droite en un point a ? Continue sur un ensemble ? Comment note-t-on l’ensemble des fonctions continues sur un ensemble ?
Définir le prolongement par continuité
Qu’est-ce que la caractérisation séquentielle de la continuité ?
Que peut-on dire de la combinaison linéaire, du produit et du quotient de deux fonctions continues ?
Quand peut-on dire qu’une fonction composée est continue ?
Qu’est-ce que le théorème des valeurs intermédiaires ? Son corollaire ?
Comment montrer l’existence d’une solution d’une fonction, sans la déterminer précisément ?
TVI
Qu’est-ce que le théorème des bornes atteintes ?
Soit (a;b)€R², a<b, f€R^[a;b], f continue,
Alors f est bornée sur [a;b] et atteint ses bornes
Comment montrer qu’une fonction continue sur R+ qui tend vers l en +∞ est bornée sur R+ ?
- deuxième inégalité triangulaire sur l’intervalle [borne;+∞[, par la limite
- théorème des bornes atteintes sur [0;borne[
Comment déterminer la limite d’une fonction en pratique ?
- Taux d’accroissement
- Croissance comparée
- Changement de variable
- Techniques sur les fonctions particulières
- Encadrement
Quand effectue-t-on un changement de variable ?
Lorsqu’on a une grosse composée ou qu’on veut changer le point vers lequel tend la limite, pour se ramener à tendre vers un nombre usuel
Quelles sont les techniques sur les fonctions ln et √() pour avoir une limite plus simple à calculer ?
- ln(a×b)=ln(a) + ln(b)
- √(), quantité conjuguée
Comment montrer qu’une fonction n’a pas de limite ?
Par caractérisation séquentielle
Comment montrer qu’une fonction a une limite en théorie ?
- par définition de la limite
- par le théorème de la limite monotone
Comment montrer qu’une fonction est continue en pratique ?
- les différents théorèmes généraux
- calcul de limites point par point pour les composées de fonctions discontinues
Dans quels cas utiliser le TVI ?
- montrer une surjectivité
- chercher un point fixe
- montrer des annulations
- montrer qu’une fonction prend une infinité de valeurs
Quand utiliser le TBA ?
Pour montrer qu’une fonction est bornée, pour montrer l’existence d’un max et d’un min
Quel est la restriction commune au TVI et au TBA ?
Ils s’appliquent uniquement sur un segment
Comment montrer théoriquement qu’une fonction est continue sur un ensemble ?
Soit x€D_f, montrer que f(x+ε) - f(x) → 0 lorsque ε → 0
Lorsqu’on a une égalité de fonctions du type : f(x)=g(h(x)), qu’on a (pour tout x€R) une information sur f(x) et qu’on veut avoir une information sur g(x), comment faire ?
On fait f(h-1(x))=g(h(h-1(x)))=g(x)
Comment monter qu’une fonction f continue admet un point fixe par TVI ?
- Poser g : x → f(x) - x, continue comme somme de fonctions continues,
- Montrer qu’il existe x tel que g(x)=0 ⇔ f(x) = x
Comment traiter une équation fonctionnelle ?
- Si elle est dérivable, utiliser la dérivation pour faire apparaître la dérivée et résoudre l’équation différentielle
- Si elle est continue, déterminer la valeur de f aux points rationnels, en commençant par les entiers. Conclure en utilisant le fait que tout réel est limite d’une suite de rationnels
Comment montrer qu’une fonction est dérivable ou pas sur un ensemble ?
- Pour les parties sans problème de l’ensemble, composée de fonctions dérivables
- Pour les parties où ce n’est pas possible, calculer le nombre dérivée par sa définition (taux d’accroissement), s’il tend vers une limite finie, alors la fonction est dérivable, sinon non
Comment démontrer qu’une fonction f admet un unique point fixe sur I en utilisant la bijectivité ?
Quand ne pas utiliser cette méthode
- introduire g : x → f(x) - x
- montrer que g est continue et strictement croissante/décroissante sur I, utiliser le théorème de bijection
- calculer g(I), 0€g(I), donc il existe un unique x€I tel que g(x)=0 ⇔ f(x) = x
Il ne faut pas utiliser cette méthode si on cherche la valeur du point fixe car elle ne permet pas de le déterminer
Soit (f;g)€(R^I)², a un point ou une borne de I, f bornée sur I et lim(x → +∞)(g(x))=0, que peut-on dire de la limite de leur produit ?
f(x)×g(x) → 0, lorsque x → +∞
Qu’est-ce que le théorème de la limite monotone ?
b un réel ou +∞
Quand utiliser l’encadrement et quand utiliser la conservation des inégalités au passage à la limite ?
Si on ne sait pas que la limite existe, on ne peut pas utiliser le passage à la limite, alors que le théorème des gendarmes donne l’existence de la limite
Comment faire lorsqu’on veut montrer une inégalité stricte sur une limite mais qu’on ne peut pas parce que les inégalités deviennent larges aux limites ?
On met un «tampon», par exemple pour montrer lim(f(x))>a, on montre que f(x)>b>a et alors lim(f(x))≥b>a
Dans quel cas une fonction complexe est-elle continue ?
f continue ⇔ Re(f) et Im(f) continues
