Limites Et Continuité Flashcards
Que peut-on dire de f au voisinage de a, si f possède une limite finie en a ? Démo
Que signifie-t-il de dire qu’une fonction tend vers l€RU{+/-∞} par la droite lorsque x tend vers a€R ? En quantificateurs
Comment montrer qu’une fonction tend vers l en a ? Tend vers +∞ en a ?
Au moyen d’une autre fonction
Qu’est-ce que la caractérisation séquentielle de la limite d’une fonction f ?
Quand l’utilise-t-on ?
On l’utilise pour montrer qu’il n’y a pas de limite
Comment procéder quand on cherche une limite de puissance et que la variable apparaît dans la base et dans l’exposant ?
Il faut définir la variable (faire attention à l’ensemble) et utiliser a^b=exp(b×ln(a)), ∀a€R*+
Quelle technique peut-être utile pour calculer une limite ? Par exemple pour la limite de ln(1+x)/x en +∞ ? Quand est-elle particulièrement efficace ?
On fait apparaître un taux d’accroissement qui est égal à la dérivée en un point précis.
Par exemple : photo
Elle est particulièrement efficace lorsqu’on a une forme indéterminée «0/0»
Lorsqu’on a une forme indéterminée «0/0» et qu’on veut faire apparaître au dénominateur la forme «x - a» pour le taux d’accroissement, comment faire ?
Supposons que la fraction soit X/X’, on a X/X’ = X/(x-a) × (x-a)/X’
Que vaut (x³ - 1) ?
On a : x³ - 1 = (x - 1)(x² + x + 1)
Quelle est la limite de la composée ?
Si :
- lim(x → a)(f(x)) = b
- lim(x → b)(g(x)) = l
- g continue en b
Alors :
- lim(x → a)(gof(x)) = l
Si deux fonctions f et g ont des limites l1 et l2 lorsqu’elles tendent vers a€R, et que f(x)≤g(x) pour tout x au voisinage de a ? Que peut-on dire de l1 et l2 ? A quoi faut-il faire attention ?
l1≤l2
Attention : si on a f(x)<g(x), le passage à la limite conserve l1≤l2
Qu’est-ce qu’une fonction continue en un point a ? Continue à gauche/droite en un point a ? Continue sur un ensemble ? Comment note-t-on l’ensemble des fonctions continues sur un ensemble ?
Définir le prolongement par continuité
Qu’est-ce que la caractérisation séquentielle de la continuité ?
Que peut-on dire de la combinaison linéaire, du produit et du quotient de deux fonctions continues ?
Quand peut-on dire qu’une fonction composée est continue ?
Qu’est-ce que le théorème des valeurs intermédiaires ? Son corollaire ?
Comment montrer l’existence d’une solution d’une fonction, sans la déterminer précisément ?
TVI
Qu’est-ce que le théorème des bornes atteintes ?
Soit (a;b)€R², a<b, f€R^[a;b], f continue,
Alors f est bornée sur [a;b] et atteint ses bornes
Comment montrer qu’une fonction continue sur R+ qui tend vers l en +∞ est bornée sur R+ ?
- deuxième inégalité triangulaire sur l’intervalle [borne;+∞[, par la limite
- théorème des bornes atteintes sur [0;borne[
Comment déterminer la limite d’une fonction en pratique ?
- Taux d’accroissement
- Croissance comparée
- Changement de variable
- Techniques sur les fonctions particulières
- Encadrement
Quand effectue-t-on un changement de variable ?
Lorsqu’on a une grosse composée ou qu’on veut changer le point vers lequel tend la limite, pour se ramener à tendre vers un nombre usuel
Quelles sont les techniques sur les fonctions ln et √() pour avoir une limite plus simple à calculer ?
- ln(a×b)=ln(a) + ln(b)
- √(), quantité conjuguée
Comment montrer qu’une fonction n’a pas de limite ?
Par caractérisation séquentielle
Comment montrer qu’une fonction a une limite en théorie ?
- par définition de la limite
- par le théorème de la limite monotone