Primitives Et Equa Diff Flashcards
Qu’est-ce qu’une primitive ?
Soit I un intervalle non vide, f€C0(I, C)
On appelle primitive de f toute fonction F C1 telle que F’=f
Qu’est-ce que le théorème fondamental de l’analyse ?
Soir a<b, f€C0([a;b], C), F une primitive de f,
Alors ∫<a→b>f(t).dt = F(b) - F(a)
Soit I un intervalle non vide, a€I, f€C0(I,C),
Quelle primitive de f s’annule en a, est-elle unique ?
Soit I un intervalle non vide, a€I, f€C0(I,C),
x→∫<a→x>f(t).dt est l’unique primitive de f qui s’annule en a
Qu’est-ce que C0(E,F) avec E et F deux ensembles ?
L’ensemble des fonctions continues sur E à valeurs dans F
Que peut-on dire de la différence de deux primitives ?
Justif
Soit I un intervalle non vide, f€C0(I,C), F1 et F2 deux primitive de f,
Alors F1 - F2 est constante sur I
(F1 - F2)’ = F1’ - F2’, par linéarité de la dérivée,
= f - f
= 0
Donc, I étant un intervalle, F1 - F2 est constante
Quelles sont les primitives (et sous quelles conditions) des fonctions qui à x associent :
- 1/(1+x²)
- 1/√(1-x²)
- -1/√(1-x²)
- 1/(a² + x²)
- 1/√(a² - x²)
- ch(x)
- sh(x)
*Arcsin(x/|a|)
Quelles sont les primitives (et sous quelles conditions) des fonctions qui à x associent :
- x^n
- a
- x^α
- cos(x)
- sin(x)
- 1/x
- u’/u
- u’×u^α
Comment calculer les intégrales des fonctions du type :
x→1/(a.x² + b.x + c), (a, b, c)€R*×R²
On pose Δ=b² - 4ac
-
Si Δ>0 :
Analyse :
Δ>0, donc a.x² + b.x + c admet deux racines réelles distinctes que l’on note x1 et x2, alors a.x² + b.x + c=a(x-x1)(x-x2)
Alors, ∀x€R\{x1, x2}, ∃(λ, μ)€R², 1/(a.x² + b.x + c) = λ/(x-x1) + μ/(x-x2)
déterminer λet μ
Synthèse :
Poser λ et μ, introduire x€R\{x1, x2}
vérifier que λ/(x-x1) + μ/(x-x2) = 1/(a.x² + b.x + c)
écrire l’égalité des intégrales
reconnaitre la primitive de ln -
Si Δ<0 :
mettre a.x² + b.x + c sous forme canonique
Donner l’égalité des primitives
Sortir le 1/a
Sortir des facteurs pour reconnaitre une primitive d’Arctan
Comment calculer une primitive d’une composée trigonométrique ?
- Tout linéariser
- Transformer les produits en sommes par les formules trigo
- Calculer la somme des intégrales
Qu’est ce qu’une fonction C1 ?
Soit I un intervalle non vide, f€C0(I, C), on dit que f est C1 de I sur C si f est dérivable sur I et que f’€C0(I, C)
On note C1(I, C) l’ensemble des fonctions C1 de I sur C
Qu’est-ce que l’intégration par parties ?
Soit [a;b] un intervalle de R, a<b, (f;g)€C1(I, C)², alors :
∫<a→b>f’(t)×g(t).dt = [f(t)×g(t)] - ∫<a→b>g’(t).f(t).dt
Comment procéder à un changement de variable dans une intégrale ?
- Dire le changement de variable que l’on va effectuer, préciser que c’est une bijection de classe C1 (lorsque ce n’est pas évident)
- Exprimer la nouvelle variable en fonction de l’ancienne et calculer pour les bornes.
- Dans l’expression, remplacer l’ancienne variable par l’expression avec la nouvelle variable
- Différentier comme en physique pour le d
Ex :
Que sont les règles de Bioche ?
Pour savoir quel changement de variable effectuer quand on a des fonctions trigonométriques ?
- Si l’expression est invariante par t → -t, changement de variable u=cos(t)
- Si l’expression est invariante par t → π - t, changement de variable u=sin(t)
- Si l’expression est invariante par t → π + t, changement de variable u=tan(t)
Qu’est-ce qu’une équation différentielle ?
C’est une équation fonctionnelle (qui fait intervenir une fonction et ses dérivées)
Qu’est-ce qu’une équation différentielle linéaire
Une équation différentielle qui fait intervenir une combinaison linéaire d’une fonction et de ses dérivées (sans puissances).
Qu’est-ce que le principe de superposition des solutions ?
Soit g une fonction deux fois dérivable sur I, (a;b;c)€C0(I, R)³ et (s1;s2)€C0(I, R)²,
Toute solution de a.g’’ + b.g’ + c.g = s1 + s2 est la somme d’une solution de a.g’’ + b.g’ + c.g = s1 et d’une solution de a.g’’ + b.g’ + c.g = s2
Comment démontrer les solutions de y’ + a.y = 0 ?
- Multiplier par exp(ax)
- Remarquer la dérivée d’un produit
- En déduire que ce produit est constant
- Isoler y
Quelles sont les solutions de y’ + a.y = 0 ? Avec a une fonction
x → C.exp(-A(x)), A une primitive de a et C€R
Qu’est-ce que le théorème de la variation de la constante
Soit (a;b)€C0(I, R)²,
On pose : y’ + a.y = b,
Les solutions de cette équation sont de la forme : C × y0, avec y0 une solution de l’équation homogène (pour laquelle K=1), et C€C1(I, C) qui vérifie C’ = b/y0
Comment déterminer une solution particulière de y’(x) + a(x).y(x) = b(x) par variation de la constante ? Rédaction
On cherche une solution particulière sous la forme y_p : x → y0(x).c(x) avec c€C1(I, R) vérifiant : ∀x€I : c’(x) = b(x)/y0(x),
déterminer c(x)
Donc y_p : x → c(x) × y0(x) est une solution particulière.
Quelle est la méthode pour déterminer une solution particulière de y’(x) + a.y(x) = P(x) ?
On considère l’équation y’(x) + a.y(x) = P(x), avec a€R et P un polynôme de degré n
- Si a≠0, on cherche une solution particulière de la forme x → Q(x) avec Q un polynôme de degré n
- Si a=0, on cherche une solution particulière de la forme x → x × Q(x) avec Q un polynôme de degré n
Comment rédiger pour déterminer une solution particulière de y’(x) + α.y(x) = P(x) ? α€R
On cherche une solution particulière de la forme x → forme d’un polynôme de même degré que P
mettre le polynôme dans l’équation pour déterminer ses coefficients par identification
Donc x → … est une solution particulière de l’équation
Quelle est la méthode pour déterminer une solution particulière de y’(x) + a.y(x) = exp(α.x) ? (a;α)€R²
- Si α≠-a, on cherche une solution particulière y_p de la forme y_p(x)=b×exp(α.x)
- Si α=-a, on cherche une solution particulière y_p de la forme y_p(x)=b×x×exp(α.x)
Comment rédiger pour déterminer une solution particulière de y’(x) + a.y(x) = exp(α.x) ? (a;α)€R²
On cherche une solution particulière y_p : x → t × exp(αx), t€R,
Écrire équa diff avec y_p
Remplacer y_p(x) par t × exp(αx)
Déterminer t
Donner l’expression de y_p
Donc, y = y0 + y_p
