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Maths SUP > Primitives Et Equa Diff > Flashcards

Primitives Et Equa Diff Flashcards

1
Q

Qu’est-ce qu’une primitive ?

A

Soit I un intervalle non vide, f€C0(I, C)
On appelle primitive de f toute fonction F C1 telle que F’=f

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Q

Qu’est-ce que le théorème fondamental de l’analyse ?

A

Soir a<b, f€C0([a;b], C), F une primitive de f,
Alors ∫<a→b>f(t).dt = F(b) - F(a)

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3
Q

Soit I un intervalle non vide, a€I, f€C0(I,C),
Quelle primitive de f s’annule en a, est-elle unique ?

A

Soit I un intervalle non vide, a€I, f€C0(I,C),
x→∫<a→x>f(t).dt est l’unique primitive de f qui s’annule en a

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4
Q

Qu’est-ce que C0(E,F) avec E et F deux ensembles ?

A

L’ensemble des fonctions continues sur E à valeurs dans F

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5
Q

Que peut-on dire de la différence de deux primitives ?
Justif

A

Soit I un intervalle non vide, f€C0(I,C), F1 et F2 deux primitive de f,
Alors F1 - F2 est constante sur I

(F1 - F2)’ = F1’ - F2’, par linéarité de la dérivée,
= f - f
= 0
Donc, I étant un intervalle, F1 - F2 est constante

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6
Q

Quelles sont les primitives (et sous quelles conditions) des fonctions qui à x associent :

  • 1/(1+x²)
  • 1/√(1-x²)
  • -1/√(1-x²)
  • 1/(a² + x²)
  • 1/√(a² - x²)
  • ch(x)
  • sh(x)
A

*Arcsin(x/|a|)

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7
Q

Quelles sont les primitives (et sous quelles conditions) des fonctions qui à x associent :
- x^n
- a
- x^α
- cos(x)
- sin(x)
- 1/x
- u’/u
- u’×u^α

A
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8
Q

Comment calculer les intégrales des fonctions du type :
x→1/(a.x² + b.x + c), (a, b, c)€R*×R²

A

On pose Δ=b² - 4ac

  • Si Δ>0 :
    Analyse :
    Δ>0, donc a.x² + b.x + c admet deux racines réelles distinctes que l’on note x1 et x2, alors a.x² + b.x + c=a(x-x1)(x-x2)
    Alors, ∀x€R\{x1, x2}, ∃(λ, μ)€R², 1/(a.x² + b.x + c) = λ/(x-x1) + μ/(x-x2)
    déterminer λet μ
    Synthèse :
    Poser λ et μ, introduire x€R\{x1, x2}
    vérifier que λ/(x-x1) + μ/(x-x2) = 1/(a.x² + b.x + c)
    écrire l’égalité des intégrales
    reconnaitre la primitive de ln
  • Si Δ<0 :
    mettre a.x² + b.x + c sous forme canonique
    Donner l’égalité des primitives
    Sortir le 1/a
    Sortir des facteurs pour reconnaitre une primitive d’Arctan
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9
Q

Comment calculer une primitive d’une composée trigonométrique ?

A
  • Tout linéariser
  • Transformer les produits en sommes par les formules trigo
  • Calculer la somme des intégrales
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10
Q

Qu’est ce qu’une fonction C1 ?

A

Soit I un intervalle non vide, f€C0(I, C), on dit que f est C1 de I sur C si f est dérivable sur I et que f’€C0(I, C)

On note C1(I, C) l’ensemble des fonctions C1 de I sur C

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11
Q

Qu’est-ce que l’intégration par parties ?

A

Soit [a;b] un intervalle de R, a<b, (f;g)€C1(I, C)², alors :
∫<a→b>f’(t)×g(t).dt = [f(t)×g(t)] - ∫<a→b>g’(t).f(t).dt

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12
Q

Comment procéder à un changement de variable dans une intégrale ?

A
  1. Dire le changement de variable que l’on va effectuer, préciser que c’est une bijection de classe C1 (lorsque ce n’est pas évident)
  2. Exprimer la nouvelle variable en fonction de l’ancienne et calculer pour les bornes.
  3. Dans l’expression, remplacer l’ancienne variable par l’expression avec la nouvelle variable
  4. Différentier comme en physique pour le d

Ex :

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13
Q

Que sont les règles de Bioche ?

A

Pour savoir quel changement de variable effectuer quand on a des fonctions trigonométriques ?

  • Si l’expression est invariante par t → -t, changement de variable u=cos(t)
  • Si l’expression est invariante par t → π - t, changement de variable u=sin(t)
  • Si l’expression est invariante par t → π + t, changement de variable u=tan(t)
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14
Q

Qu’est-ce qu’une équation différentielle ?

A

C’est une équation fonctionnelle (qui fait intervenir une fonction et ses dérivées)

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15
Q

Qu’est-ce qu’une équation différentielle linéaire

A

Une équation différentielle qui fait intervenir une combinaison linéaire d’une fonction et de ses dérivées (sans puissances).

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16
Q

Qu’est-ce que le principe de superposition des solutions ?

A

Soit g une fonction deux fois dérivable sur I, (a;b;c)€C0(I, R)³ et (s1;s2)€C0(I, R)²,
Toute solution de a.g’’ + b.g’ + c.g = s1 + s2 est la somme d’une solution de a.g’’ + b.g’ + c.g = s1 et d’une solution de a.g’’ + b.g’ + c.g = s2

17
Q

Comment démontrer les solutions de y’ + a.y = 0 ?

A
  • Multiplier par exp(ax)
  • Remarquer la dérivée d’un produit
  • En déduire que ce produit est constant
  • Isoler y
18
Q

Quelles sont les solutions de y’ + a.y = 0 ? Avec a une fonction

A

x → C.exp(-A(x)), A une primitive de a et C€R

19
Q

Qu’est-ce que le théorème de la variation de la constante

A

Soit (a;b)€C0(I, R)²,
On pose : y’ + a.y = b,
Les solutions de cette équation sont de la forme : C × y0, avec y0 une solution de l’équation homogène (pour laquelle K=1), et C€C1(I, C) qui vérifie C’ = b/y0

20
Q

Comment déterminer une solution particulière de y’(x) + a(x).y(x) = b(x) par variation de la constante ? Rédaction

A

On cherche une solution particulière sous la forme y_p : x → y0(x).c(x) avec c€C1(I, R) vérifiant : ∀x€I : c’(x) = b(x)/y0(x),
déterminer c(x)
Donc y_p : x → c(x) × y0(x) est une solution particulière.

21
Q

Quelle est la méthode pour déterminer une solution particulière de y’(x) + a.y(x) = P(x) ?

A

On considère l’équation y’(x) + a.y(x) = P(x), avec a€R et P un polynôme de degré n

  • Si a≠0, on cherche une solution particulière de la forme x → Q(x) avec Q un polynôme de degré n
  • Si a=0, on cherche une solution particulière de la forme x → x × Q(x) avec Q un polynôme de degré n
22
Q

Comment rédiger pour déterminer une solution particulière de y’(x) + α.y(x) = P(x) ? α€R

A

On cherche une solution particulière de la forme x → forme d’un polynôme de même degré que P
mettre le polynôme dans l’équation pour déterminer ses coefficients par identification
Donc x → … est une solution particulière de l’équation

23
Q

Quelle est la méthode pour déterminer une solution particulière de y’(x) + a.y(x) = exp(α.x) ? (a;α)€R²

A
  • Si α≠-a, on cherche une solution particulière y_p de la forme y_p(x)=b×exp(α.x)
  • Si α=-a, on cherche une solution particulière y_p de la forme y_p(x)=b×x×exp(α.x)
24
Q

Comment rédiger pour déterminer une solution particulière de y’(x) + a.y(x) = exp(α.x) ? (a;α)€R²

A

On cherche une solution particulière y_p : x → t × exp(αx), t€R,
Écrire équa diff avec y_p
Remplacer y_p(x) par t × exp(αx)
Déterminer t
Donner l’expression de y_p

Donc, y = y0 + y_p

25
Q

Qu’est-ce qu’une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants ?

A

C’est une équation du type :
y’’(x) + a.y’(x) + b.y(x) = f(x)
Avec (a;b)€C2, I un intervalle non vide, f€C0(I, R), y€R^I deux fois dérivable

26
Q

Qu’est-ce que l’équation caractéristique d’une équation différentielle du deuxième ordre ?

A

r² + a.r + b = 0

27
Q

Comment résoudre l’équation homogène d’une équation différentielle du deuxième ordre dans C ?

A

On note Δ le discriminant de l’équation caractéristique :

  • Si Δ=0, on appelle r la solution de l’équation caractéristique dans C. Les solutions de l’équation homogène sont de la forme : ∀x€R, y(x)=(A.x + B)×exp(r.x)
  • Si Δ≠0, on appelle r1 et r2 les racines de l’équation caractéristique dans C. Alors, les solutions sont de la forme y(x) = A×exp(r1.x) + B×exp(r2.x), (A;B)€R²
28
Q

Comment résoudre l’équation homogène d’une équation différentielle du deuxième ordre dans R ?

A

On note Δ le discriminant de l’équation caractéristique :

  • Si Δ>0, on appelle r1 et r2 les deux racines réelles de l’équation. Alors ∃(A;B)€R², ∀x€R, y(x) = A×exp(r1.x) + B×exp(r2.x)
  • Si Δ=0, on appelle r la solution de l’équation caractéristique dans R. Les solutions de l’équation homogène sont de la forme : ∀x€R, y(x)=(A.x + B)×exp(r.x)
  • Δ<0, on note r1 = a+i.b, r2 = a-i.b = /r1, alors ∃(A;B)€R² tel que : ∀x€R, y(x)=exp(a.x) × (A.cos(b.x) + B.sin(b.x))
29
Q

Quelle est la méthode pour déterminer une solution particulière de y’’(x) + a.y’(x) + b.y(x) = P(x), avec (a;b)€C² et P(x) un polynôme de degré n ?

A
  1. Si b≠0, on cherche une solution particulière de la forme d’un polynôme de degré n
  2. Si b=0 et a≠0, on cherche une solution particulière de la forme de x.Q(x), Q(x) un polynôme de degré n.
  3. Si b=0 et a=0, on cherche une solution particulière de la forme x².Q(x), Q(x) un polynôme de degré n.
30
Q

Quelle est la méthode pour déterminer une solution particulière de y’’(x) + a.y’(x) + b.y(x) = exp(α.x), avec (α;a;b)€C³ ?

A
  • Si α n’est pas une racine de l’équation caractéristique, on cherche y_p de la forme t → k×exp(α.t)
  • Si α est racine simple de l’équation caractéristique, on cherche y_p de la forme t → k×t×exp(α.t)
  • Si α est racine double de l’équation caractéristique, on cherche y_p de la forme t → k×t²×exp(α.t)
31
Q

Qu’est-ce que le théorème de Cauchy ? Son addendum ?

A

Soit I un intervalle non vide, f€C0(I, C), (a;b)€R², y€C^I deux fois dérivable, t0€I, (λ;μ)€C².

  • Le système {
    y’’ + a.y’ + b.y = f(t), ∀t€I,
    y(t0)=λ
    y’(t0)=μ } admet une unique solution

Addendum :

  • Le système {
    y’(t) + a(t)×y(t) = f(t)
    y(t0) = λ } admet une unique solution.
32
Q

Quelle technique permet de calculer simplement l’intégrale d’un polynôme sur un autre polynôme de même degré ?

A

Faire apparaître le polynôme du dessous en haut en faisant +P-P pour avoir quelque chose de la forme 1+…

33
Q

Soit y une fonction deux fois dérivable, (a;b;c;d;ω)€R^5, de quelle forme est la solution particulière de l’équation y’’ + a.y’ + b.y = c.cos(ω.x) + d.sin(ω.x)

A

Si +-i.ω n’est pas racine de l’équation caractéristique :

  • x → λ.cos(ω.x) + μ.sin(ω.x), avec (λ;μ)€R²

Si +-i.ω est racine de l’équation caractéristique :

  • x → x(λ.cos(ω.x) + μ.sin(ω.x)), avec (λ;μ)€R²
34
Q

A quoi faut-il faire attention dans une intégration par parties ?

A

Il faut expliciter les deux applications et dire qu’elles sont C1

35
Q

Donner les primitives de ln

A

x → x × (ln(x) - 1) + C

36
Q

Donner les primitives de tan et tanh

A

x → - ln|cos(x)| + C
et
x → ln|ch(x)| + C

37
Q

Comment réécrire 1/cos², 1/sin², 1/ch² et 1/sh² pour calculer leurs primitives ?

A
38
Q

Que vaut la primitive de x → (x + a)^n ?

A

x → (x + a)^(n+1) / (n+1)

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