Primitives Et Equa Diff Flashcards
Qu’est-ce qu’une primitive ?
Soit I un intervalle non vide, f€C0(I, C)
On appelle primitive de f toute fonction F C1 telle que F’=f
Qu’est-ce que le théorème fondamental de l’analyse ?
Soir a<b, f€C0([a;b], C), F une primitive de f,
Alors ∫<a→b>f(t).dt = F(b) - F(a)
Soit I un intervalle non vide, a€I, f€C0(I,C),
Quelle primitive de f s’annule en a, est-elle unique ?
Soit I un intervalle non vide, a€I, f€C0(I,C),
x→∫<a→x>f(t).dt est l’unique primitive de f qui s’annule en a
Qu’est-ce que C0(E,F) avec E et F deux ensembles ?
L’ensemble des fonctions continues sur E à valeurs dans F
Que peut-on dire de la différence de deux primitives ?
Justif
Soit I un intervalle non vide, f€C0(I,C), F1 et F2 deux primitive de f,
Alors F1 - F2 est constante sur I
(F1 - F2)’ = F1’ - F2’, par linéarité de la dérivée,
= f - f
= 0
Donc, I étant un intervalle, F1 - F2 est constante
Quelles sont les primitives (et sous quelles conditions) des fonctions qui à x associent :
- 1/(1+x²)
- 1/√(1-x²)
- -1/√(1-x²)
- 1/(a² + x²)
- 1/√(a² - x²)
- ch(x)
- sh(x)
*Arcsin(x/|a|)
Quelles sont les primitives (et sous quelles conditions) des fonctions qui à x associent :
- x^n
- a
- x^α
- cos(x)
- sin(x)
- 1/x
- u’/u
- u’×u^α
Comment calculer les intégrales des fonctions du type :
x→1/(a.x² + b.x + c), (a, b, c)€R*×R²
On pose Δ=b² - 4ac
-
Si Δ>0 :
Analyse :
Δ>0, donc a.x² + b.x + c admet deux racines réelles distinctes que l’on note x1 et x2, alors a.x² + b.x + c=a(x-x1)(x-x2)
Alors, ∀x€R\{x1, x2}, ∃(λ, μ)€R², 1/(a.x² + b.x + c) = λ/(x-x1) + μ/(x-x2)
déterminer λet μ
Synthèse :
Poser λ et μ, introduire x€R\{x1, x2}
vérifier que λ/(x-x1) + μ/(x-x2) = 1/(a.x² + b.x + c)
écrire l’égalité des intégrales
reconnaitre la primitive de ln -
Si Δ<0 :
mettre a.x² + b.x + c sous forme canonique
Donner l’égalité des primitives
Sortir le 1/a
Sortir des facteurs pour reconnaitre une primitive d’Arctan
Comment calculer une primitive d’une composée trigonométrique ?
- Tout linéariser
- Transformer les produits en sommes par les formules trigo
- Calculer la somme des intégrales
Qu’est ce qu’une fonction C1 ?
Soit I un intervalle non vide, f€C0(I, C), on dit que f est C1 de I sur C si f est dérivable sur I et que f’€C0(I, C)
On note C1(I, C) l’ensemble des fonctions C1 de I sur C
Qu’est-ce que l’intégration par parties ?
Soit [a;b] un intervalle de R, a<b, (f;g)€C1(I, C)², alors :
∫<a→b>f’(t)×g(t).dt = [f(t)×g(t)] - ∫<a→b>g’(t).f(t).dt
Comment procéder à un changement de variable dans une intégrale ?
- Dire le changement de variable que l’on va effectuer, préciser que c’est une bijection de classe C1 (lorsque ce n’est pas évident)
- Exprimer la nouvelle variable en fonction de l’ancienne et calculer pour les bornes.
- Dans l’expression, remplacer l’ancienne variable par l’expression avec la nouvelle variable
- Différentier comme en physique pour le d
Ex :
Que sont les règles de Bioche ?
Pour savoir quel changement de variable effectuer quand on a des fonctions trigonométriques ?
- Si l’expression est invariante par t → -t, changement de variable u=cos(t)
- Si l’expression est invariante par t → π - t, changement de variable u=sin(t)
- Si l’expression est invariante par t → π + t, changement de variable u=tan(t)
Qu’est-ce qu’une équation différentielle ?
C’est une équation fonctionnelle (qui fait intervenir une fonction et ses dérivées)
Qu’est-ce qu’une équation différentielle linéaire
Une équation différentielle qui fait intervenir une combinaison linéaire d’une fonction et de ses dérivées (sans puissances).
Qu’est-ce que le principe de superposition des solutions ?
Soit g une fonction deux fois dérivable sur I, (a;b;c)€C0(I, R)³ et (s1;s2)€C0(I, R)²,
Toute solution de a.g’’ + b.g’ + c.g = s1 + s2 est la somme d’une solution de a.g’’ + b.g’ + c.g = s1 et d’une solution de a.g’’ + b.g’ + c.g = s2
Comment démontrer les solutions de y’ + a.y = 0 ?
- Multiplier par exp(ax)
- Remarquer la dérivée d’un produit
- En déduire que ce produit est constant
- Isoler y
Quelles sont les solutions de y’ + a.y = 0 ? Avec a une fonction
x → C.exp(-A(x)), A une primitive de a et C€R
Qu’est-ce que le théorème de la variation de la constante
Soit (a;b)€C0(I, R)²,
On pose : y’ + a.y = b,
Les solutions de cette équation sont de la forme : C × y0, avec y0 une solution de l’équation homogène (pour laquelle K=1), et C€C1(I, C) qui vérifie C’ = b/y0
Comment déterminer une solution particulière de y’(x) + a(x).y(x) = b(x) par variation de la constante ? Rédaction
On cherche une solution particulière sous la forme y_p : x → y0(x).c(x) avec c€C1(I, R) vérifiant : ∀x€I : c’(x) = b(x)/y0(x),
déterminer c(x)
Donc y_p : x → c(x) × y0(x) est une solution particulière.
Quelle est la méthode pour déterminer une solution particulière de y’(x) + a.y(x) = P(x) ?
On considère l’équation y’(x) + a.y(x) = P(x), avec a€R et P un polynôme de degré n
- Si a≠0, on cherche une solution particulière de la forme x → Q(x) avec Q un polynôme de degré n
- Si a=0, on cherche une solution particulière de la forme x → x × Q(x) avec Q un polynôme de degré n
Comment rédiger pour déterminer une solution particulière de y’(x) + α.y(x) = P(x) ? α€R
On cherche une solution particulière de la forme x → forme d’un polynôme de même degré que P
mettre le polynôme dans l’équation pour déterminer ses coefficients par identification
Donc x → … est une solution particulière de l’équation
Quelle est la méthode pour déterminer une solution particulière de y’(x) + a.y(x) = exp(α.x) ? (a;α)€R²
- Si α≠-a, on cherche une solution particulière y_p de la forme y_p(x)=b×exp(α.x)
- Si α=-a, on cherche une solution particulière y_p de la forme y_p(x)=b×x×exp(α.x)
Comment rédiger pour déterminer une solution particulière de y’(x) + a.y(x) = exp(α.x) ? (a;α)€R²
On cherche une solution particulière y_p : x → t × exp(αx), t€R,
Écrire équa diff avec y_p
Remplacer y_p(x) par t × exp(αx)
Déterminer t
Donner l’expression de y_p
Donc, y = y0 + y_p
Qu’est-ce qu’une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants ?
C’est une équation du type :
y’’(x) + a.y’(x) + b.y(x) = f(x)
Avec (a;b)€C2, I un intervalle non vide, f€C0(I, R), y€R^I deux fois dérivable
Qu’est-ce que l’équation caractéristique d’une équation différentielle du deuxième ordre ?
r² + a.r + b = 0
Comment résoudre l’équation homogène d’une équation différentielle du deuxième ordre dans C ?
On note Δ le discriminant de l’équation caractéristique :
- Si Δ=0, on appelle r la solution de l’équation caractéristique dans C. Les solutions de l’équation homogène sont de la forme : ∀x€R, y(x)=(A.x + B)×exp(r.x)
- Si Δ≠0, on appelle r1 et r2 les racines de l’équation caractéristique dans C. Alors, les solutions sont de la forme y(x) = A×exp(r1.x) + B×exp(r2.x), (A;B)€R²
Comment résoudre l’équation homogène d’une équation différentielle du deuxième ordre dans R ?
On note Δ le discriminant de l’équation caractéristique :
- Si Δ>0, on appelle r1 et r2 les deux racines réelles de l’équation. Alors ∃(A;B)€R², ∀x€R, y(x) = A×exp(r1.x) + B×exp(r2.x)
- Si Δ=0, on appelle r la solution de l’équation caractéristique dans R. Les solutions de l’équation homogène sont de la forme : ∀x€R, y(x)=(A.x + B)×exp(r.x)
- Δ<0, on note r1 = a+i.b, r2 = a-i.b = /r1, alors ∃(A;B)€R² tel que : ∀x€R, y(x)=exp(a.x) × (A.cos(b.x) + B.sin(b.x))
Quelle est la méthode pour déterminer une solution particulière de y’’(x) + a.y’(x) + b.y(x) = P(x), avec (a;b)€C² et P(x) un polynôme de degré n ?
- Si b≠0, on cherche une solution particulière de la forme d’un polynôme de degré n
- Si b=0 et a≠0, on cherche une solution particulière de la forme de x.Q(x), Q(x) un polynôme de degré n.
- Si b=0 et a=0, on cherche une solution particulière de la forme x².Q(x), Q(x) un polynôme de degré n.
Quelle est la méthode pour déterminer une solution particulière de y’’(x) + a.y’(x) + b.y(x) = exp(α.x), avec (α;a;b)€C³ ?
- Si α n’est pas une racine de l’équation caractéristique, on cherche y_p de la forme t → k×exp(α.t)
- Si α est racine simple de l’équation caractéristique, on cherche y_p de la forme t → k×t×exp(α.t)
- Si α est racine double de l’équation caractéristique, on cherche y_p de la forme t → k×t²×exp(α.t)
Qu’est-ce que le théorème de Cauchy ? Son addendum ?
Soit I un intervalle non vide, f€C0(I, C), (a;b)€R², y€C^I deux fois dérivable, t0€I, (λ;μ)€C².
- Le système {
y’’ + a.y’ + b.y = f(t), ∀t€I,
y(t0)=λ
y’(t0)=μ } admet une unique solution
Addendum :
- Le système {
y’(t) + a(t)×y(t) = f(t)
y(t0) = λ } admet une unique solution.
Quelle technique permet de calculer simplement l’intégrale d’un polynôme sur un autre polynôme de même degré ?
Faire apparaître le polynôme du dessous en haut en faisant +P-P pour avoir quelque chose de la forme 1+…
Soit y une fonction deux fois dérivable, (a;b;c;d;ω)€R^5, de quelle forme est la solution particulière de l’équation y’’ + a.y’ + b.y = c.cos(ω.x) + d.sin(ω.x)
Si +-i.ω n’est pas racine de l’équation caractéristique :
- x → λ.cos(ω.x) + μ.sin(ω.x), avec (λ;μ)€R²
Si +-i.ω est racine de l’équation caractéristique :
- x → x(λ.cos(ω.x) + μ.sin(ω.x)), avec (λ;μ)€R²
A quoi faut-il faire attention dans une intégration par parties ?
Il faut expliciter les deux applications et dire qu’elles sont C1
Donner les primitives de ln
x → x × (ln(x) - 1) + C
Donner les primitives de tan et tanh
x → - ln|cos(x)| + C
et
x → ln|ch(x)| + C
Comment réécrire 1/cos², 1/sin², 1/ch² et 1/sh² pour calculer leurs primitives ?
Que vaut la primitive de x → (x + a)^n ?
x → (x + a)^(n+1) / (n+1)
