Séries Flashcards
Définir une somme partielle d’ordre N€N et une série
Comment appelle-t-on et note-t-on la limite d’une série ?
Qu’appelle-t-on nature d’une série ?
Son caractère divergent ou convergent
Que peut-on dire de la somme de la combinaison linéaire de deux séries ?
Quand dit-on qu’une série géométrique complexe converge ?
Qu’appelle-t-on série exponentielle ? Quelle est sa propriété ?
Rappeler les trois croissances comparées en +∞ (le plus général possible)
- x^α = o(β^x), pour (α,β)€R², β>1
- ln(x) = o(x^α), pour α€R*+
- a^x = o(x!), pour a€R
Quelle est la condition nécessaire à la convergence d’une série ?
Justif
Comment l’utilise-t-on ?
Justif
Comment lier convergence et majoration pour une série de termes positifs ?
Justif
Qu’est-ce que le critère de Riemann ?
Démontrer le critère de Riemann
Traiter ensuite les trois cas et conclure à chaque fois en montrant que c’est majoré ou par comparaison
Qu’est-ce que le critère de comparaison des séries à termes positifs ?
Qu’est-ce que le critère de négligeabilité ou domination des séries à termes strictement positifs ?
Qu’est-ce que le critère d’équivalence des séries à termes strictement positifs ?
Quand on doit montrer qu’une série avec un ln ou un exp converge, comment faire ?
On fait apparaitre quelque chose de la forme ln(1+X) ou exp(1-X), avec X → 0 en +∞, afin de faire un DL ou un équivalent
Montrer le critère de comparaison
Montrer le critère de négligeabilité
Comment lier convergence d’une suite et d’une série ?
Définir la convergence absolue
Qu’est-ce que le théorème de la convergence absolue ?
Que peut-on dire d’une série positive, qui converge et dont la somme est nulle ?
Montrer :
Si on a besoin d’avoir un terme d’ordre supérieur dans un DL (1/n² pour le critère de Riemann) comment le faire de la manière la plus efficace possible ?
On met un O(1/n²), car on peut écrire au choix :
a + b/n + o(1/n) ou a + b/n + O(1/n²)
Qu’appelle-t-on reste d’ordre N d’une série de terme général u_n ?
C’est Σ(n=N → +∞)(u_n)
Quelle est la somme d’une série de terme général géométrique de raison z, tel que |z|<1 ?
1/(1-z)
Quelles sont les trois séries de référence ?
- Série exponentielle
- Série géométrique
- Série de Riemann
Quelles sont les trois méthodes pour les suites à termes positifs ?
- Critère de comparaison
- Critère de négligeabilité
- Critère d’équivalence
Lorsqu’une suite n’est pas de signe constant, comment faire ?
On étudie la suite en valeur absolue et on utilise de théorème de la convergence absolue
Comment montrer qu’une série diverge ?
- Utiliser la divergence grossière
- Se ramener à une série de Riemann
- Montrer que la suite des sommes partielles diverge
Comment calculer la somme d’une série ?
- Introduire N€N,
- Calculer la somme partielle sous une forme dont la limite est identifiable
- Calculer la limite lorsque N → +∞
Quand réalise-t-on des comparaison séries-intégrales ?
De manière plus théorique, lorsqu’on veut :
- Montrer la convergence ou la divergence d’une série
- Trouver un équivalent des sommes partielles/du reste
Comment réécrire 1/(n+1) par une intégrale ?
Lorsqu’on cherche à montrer qu’une suite converge, comment savoir si on utilise le DL ou les équivalents ?
Si c’est un produit dans la suite, on utilise les équivalents, si c’est une somme les DL
