Séries

Question 1

Définir une somme partielle d’ordre N€N et une série

Answer 1

Question 2

Comment appelle-t-on et note-t-on la limite d’une série ?

Answer 2

Question 3

Qu’appelle-t-on nature d’une série ?

Answer 3

Son caractère divergent ou convergent

Question 4

Que peut-on dire de la somme de la combinaison linéaire de deux séries ?

Answer 4

Question 5

Quand dit-on qu’une série géométrique complexe converge ?

Answer 5

Question 6

Qu’appelle-t-on série exponentielle ? Quelle est sa propriété ?

Answer 6

Question 7

Rappeler les trois croissances comparées en +∞ (le plus général possible)

Answer 7

• x^α = o(β^x), pour (α,β)€R², β>1
• ln(x) = o(x^α), pour α€R*+
• a^x = o(x!), pour a€R

Question 8

Quelle est la condition nécessaire à la convergence d’une série ?
Justif
Comment l’utilise-t-on ?

Answer 8

Question 9

Justif

Answer 9

Question 10

Comment lier convergence et majoration pour une série de termes positifs ?
Justif

Answer 10

Question 11

Qu’est-ce que le critère de Riemann ?

Answer 11

Question 12

Démontrer le critère de Riemann

Answer 12

Traiter ensuite les trois cas et conclure à chaque fois en montrant que c’est majoré ou par comparaison

Question 13

Qu’est-ce que le critère de comparaison des séries à termes positifs ?

Answer 13

Question 14

Qu’est-ce que le critère de négligeabilité ou domination des séries à termes strictement positifs ?

Answer 14

Question 15

Qu’est-ce que le critère d’équivalence des séries à termes strictement positifs ?

Answer 15

Question 16

Quand on doit montrer qu’une série avec un ln ou un exp converge, comment faire ?

Answer 16

On fait apparaitre quelque chose de la forme ln(1+X) ou exp(1-X), avec X → 0 en +∞, afin de faire un DL ou un équivalent

Question 17

Montrer le critère de comparaison

Answer 17

Question 18

Montrer le critère de négligeabilité

Answer 18

Question 19

Comment lier convergence d’une suite et d’une série ?

Answer 19

Question 20

Définir la convergence absolue

Answer 20

Question 21

Qu’est-ce que le théorème de la convergence absolue ?

Answer 21

Question 22

Que peut-on dire d’une série positive, qui converge et dont la somme est nulle ?

Answer 22

Question 23

Montrer :

Answer 23

Question 24

Si on a besoin d’avoir un terme d’ordre supérieur dans un DL (1/n² pour le critère de Riemann) comment le faire de la manière la plus efficace possible ?

Answer 24

On met un O(1/n²), car on peut écrire au choix :
a + b/n + o(1/n) ou a + b/n + O(1/n²)

Question 25

Qu’appelle-t-on reste d’ordre N d’une série de terme général u_n ?

Answer 25

C’est Σ(n=N → +∞)(u_n)

Question 26

Quelle est la somme d’une série de terme général géométrique de raison z, tel que |z|<1 ?

Answer 26

1/(1-z)

Question 27

Quelles sont les trois séries de référence ?

Answer 27

• Série exponentielle
• Série géométrique
• Série de Riemann

Question 28

Quelles sont les trois méthodes pour les suites à termes positifs ?

Answer 28

• Critère de comparaison
• Critère de négligeabilité
• Critère d’équivalence

Question 29

Lorsqu’une suite n’est pas de signe constant, comment faire ?

Answer 29

On étudie la suite en valeur absolue et on utilise de théorème de la convergence absolue

Question 30

Comment montrer qu’une série diverge ?

Answer 30

• Utiliser la divergence grossière
• Se ramener à une série de Riemann
• Montrer que la suite des sommes partielles diverge

Question 31

Comment calculer la somme d’une série ?

Answer 31

• Introduire N€N,
• Calculer la somme partielle sous une forme dont la limite est identifiable
• Calculer la limite lorsque N → +∞

Question 32

Quand réalise-t-on des comparaison séries-intégrales ?

Answer 32

De manière plus théorique, lorsqu’on veut :

• Montrer la convergence ou la divergence d’une série
• Trouver un équivalent des sommes partielles/du reste

Question 33

Comment réécrire 1/(n+1) par une intégrale ?

Answer 33

Question 34

Lorsqu’on cherche à montrer qu’une suite converge, comment savoir si on utilise le DL ou les équivalents ?

Answer 34

Si c’est un produit dans la suite, on utilise les équivalents, si c’est une somme les DL