Fonctions À Deux Variables

Question 1

Définir une boule fermée

Answer 1

Question 2

Intuitivement, que remplace les boules ?

Answer 2

Elles remplacent dans IR² les intervalles dans IR

Question 3

Définir un sous ensemble de IR² ouvert

Answer 3

Question 4

Définir un ensemble A ⊂ IR² fermé

Answer 4

Question 5

Soit a€IR², r>0, montrer que B(a,r) est ouverte et /B(a,r) est fermée

Question 6

Montrer que Z² est un fermé de IR²

Question 7

Définir la limite d’une fonction à deux variables

Answer 7

B(a,δ)

Question 8

Définir la continuité d’une fonction a deux variables

Answer 8

Question 9

Montrer que (x,y) → x est continue sur IR²

Question 10

Définir une fonction polynomiale à deux variables

Answer 10

Question 11

Comment montrer qu’une fonction est continue en a€IR² en passant en coordonnées polaires ?

Answer 11

1. Écrire x et y en polaires
2. Écrire |f(x,y) - f(a)|
3. Majorer pour faire disparaître θ
4. Faire tendre r vers 0 et montrer que ça tend vers 0

Question 12

Qu’appelle-t-on dérivée partielle en sa première variable d’une fonction en un point ?

Answer 12

Question 13

Qu’appelle-t-on fonction de classe C1 à deux variables ?

Answer 13

Question 14

Définir une dérivée en un point selon un vecteur et établir le lien avec les dérivées partielles

Answer 14

Question 15

Définir le o pour une fonction à deux variables

Answer 15

Question 16

Définir un DL1 pour une fonction à deux variables

Answer 16

Question 17

Quel est le lien entre C1 et DL1 ?

Answer 17

Question 18

Qu’est-ce que la règle de la chaîne ?

Answer 18

Question 19

Qu’est-ce que la généralisation de la règle de la chaine ?

Answer 19

Question 20

Que signifie-t-il de dire que f atteint un maximum global en a€U ?

Answer 20

∀x€U, f(x) ≤ f(a)

Question 21

Que signifie-t-il de dire que f atteint un maximum local en a€U ?

Answer 21

∃δ€IR*+, ∀x€B(a,δ), f(x) ≤ f(a)

Question 22

Quel est le lien entre extremum et gradient, à quelle condition ?

Answer 22

Si f est C1,
f admet un extremum en a ⇒ ∇f(a) = O(IR²)

Question 23

Qu’appelle-t-on point critique ?

Answer 23

On appelle point critique tout point a€IR² tel que ∇f(a) = O(IR²)