Topologie d'un espace vectoriel normé Flashcards

1
Q

Que veut dire que V est un voisinage de a€E dans (E,|| ||) ?

Quel est l’ensemble des voisinages de a ?

A

V est un voisinage ssi il existe r>0 tel que B(a,r)[V

On note VE (a) l’ensemble des voisinages

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Q

Que dire des voisinages de A pour deux normes équivalentes ?

A

Ce sont les mêmes !

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3
Q

Que dire des parties qui contiennent un voisinage de a€E ?

A

Ce sont des voisinages

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4
Q

Quand es qu’une intersection de voisinage est un voisinage ?

A

Une intersection est un voisinage ssi c’est une intersection finie

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5
Q

Quand une réunion est elle un voisinage ?

A

Tout le temps à condition que la réunion ne soit pas vide !

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6
Q

Caractérisation de la convergence avec des voisinages

A

Une suite (xn) d’éléments converge dans (E,|| ||) ssi Pour tout V€V(a), Il existe N € N, Pour tout n>=N, xn€V

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7
Q

Citez deux principaux voisages de a

A

BO(a,r) et BF(a,r)

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8
Q

Dans R quesqu’un voisinage de +inf

A

Il exitste P >0 tel que [P,inf[ soit dans la partie

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9
Q

Que veut dire q’une partie A de E est une partie ouverte ?

A

On dit que que A est ouvert ssi si A est un voisinage de chacun de ses points

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10
Q

Que dire des ouverts pour deux normes équivalentes ?

A

Ce sont les mêmes !

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11
Q

Citez les ouverts “triviaux”

A

L’ensemble de vide et E

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12
Q

Quesqu’une intersection d’ouvert est un ouvert ?

A

Quand l’intersection est finie

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13
Q

Quand es qu’une réunion de parties ouverte est ouverte ?

A

Tout le temps !

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14
Q

Citer une partie ouverte

A

La boule ouverte !

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15
Q

Que veut dire qu’une partie A de E est fermée ?

A

Une partie A est dite fermée ssi elle contient les limites de ses suites convergentes

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16
Q

Que dire sur les partie fermées dans des normes équivalentes ?

A

Ce sont les mêmes

17
Q

Caractérisation de A fermée/ouvert avec E/A ?

A

A est ouverte/fermée ssi A/E est fermée/ouverte

18
Q

Que dire sur A si A N’est pas ouvert ?

A

On peut rien dire !!!!!

19
Q

Quand es qu’une union de partie parties fermées est fermée ?

A

Quand c’est une union finie de parties fermées

20
Q

Quand es qu’une intersection quelconque de partie fermée est fermée ?

A

Tout le temps

21
Q

Citez deux exemples principaux de parties fermées ?

A

BF(a,r) et S(a,r)

22
Q

Citez les espaces “triviaux” fermés ?

A

L’ensemble vide et E

23
Q

Que dire de F si F est fini et dim(F)<+inf

A

alors F est fermé

24
Q

Que veut dire que a€ est adhérant à A une partie de E ?

Quel est l’ensemble des points adhérants ?

A

On dit que a est adhérent à A ssi il existe une sous suite (an) d’élément de A qui tend vers a

A c’est l’adhérence de A

25
Caractérisation de a est adhérent à A
Le point a est adhérent à A ssi pour tout r\>0, BF(a,r)^A!=l'ensemble vide
26
Quesque l'adhérence de la BO(a,r) et l'adhérence de la BF(a,r)
=BF(a,r)
27
Que veut dire qu'une partie A est dense dans E
Une partie A est dite dense dans E ssi tout point de E est limite d'une suite d'élément de A.
28
Caractérisation de A est dense dans E
ssi A rencontre tout ouvert non vide ssi _A_=E
29
Que veut dire que a€E est un point interieur de A
ssi A est un voisinage de a dans (E,|| ||)
30
Quesque l'ensemble des point qui sont à l'interieur de A ?
c'est l'interieur de A°
31
Quesque l'interieur de la BO(a,r) , de la BF(a,r)
=BO(a,r)
32
Quesque la frontière d'une partie A? Comment est elle notée
c'est _A/_A° Fr(A)
33
Fr(BO(a,r))=? Fr(BF(a,r))=?
S(a,r)
34
Soit A une partie qu'appelle t'ont ces parties ? V^A où V€V(a) O^A ou O est un ouvert ? F^A ou F est un fermé ?
un voisinage de a dans A un ouvert de A un fermé de A