Topologie d'un espace vectoriel normé

Question 1

Que veut dire que V est un voisinage de a€E dans (E,|| ||) ?

Quel est l’ensemble des voisinages de a ?

Answer 1

V est un voisinage ssi il existe r>0 tel que B(a,r)[V

On note V_E (a) l’ensemble des voisinages

Question 2

Que dire des voisinages de A pour deux normes équivalentes ?

Answer 2

Ce sont les mêmes !

Question 3

Que dire des parties qui contiennent un voisinage de a€E ?

Answer 3

Ce sont des voisinages

Question 4

Quand es qu’une intersection de voisinage est un voisinage ?

Answer 4

Une intersection est un voisinage ssi c’est une intersection finie

Question 5

Quand une réunion est elle un voisinage ?

Answer 5

Tout le temps à condition que la réunion ne soit pas vide !

Question 6

Caractérisation de la convergence avec des voisinages

Answer 6

Une suite (xn) d’éléments converge dans (E,|| ||) ssi Pour tout V€V(a), Il existe N € N, Pour tout n>=N, xn€V

Question 7

Citez deux principaux voisages de a

Answer 7

BO(a,r) et BF(a,r)

Question 8

Dans R quesqu’un voisinage de +inf

Answer 8

Il exitste P >0 tel que [P,inf[ soit dans la partie

Question 9

Que veut dire q’une partie A de E est une partie ouverte ?

Answer 9

On dit que que A est ouvert ssi si A est un voisinage de chacun de ses points

Question 10

Que dire des ouverts pour deux normes équivalentes ?

Answer 10

Ce sont les mêmes !

Question 11

Citez les ouverts “triviaux”

Answer 11

L’ensemble de vide et E

Question 12

Quesqu’une intersection d’ouvert est un ouvert ?

Answer 12

Quand l’intersection est finie

Question 13

Quand es qu’une réunion de parties ouverte est ouverte ?

Answer 13

Tout le temps !

Question 14

Citer une partie ouverte

Answer 14

La boule ouverte !

Question 15

Que veut dire qu’une partie A de E est fermée ?

Answer 15

Une partie A est dite fermée ssi elle contient les limites de ses suites convergentes

Question 16

Que dire sur les partie fermées dans des normes équivalentes ?

Answer 16

Ce sont les mêmes

Question 17

Caractérisation de A fermée/ouvert avec E/A ?

Answer 17

A est ouverte/fermée ssi A/E est fermée/ouverte

Question 18

Que dire sur A si A N’est pas ouvert ?

Answer 18

On peut rien dire !!!!!

Question 19

Quand es qu’une union de partie parties fermées est fermée ?

Answer 19

Quand c’est une union finie de parties fermées

Question 20

Quand es qu’une intersection quelconque de partie fermée est fermée ?

Answer 20

Tout le temps

Question 21

Citez deux exemples principaux de parties fermées ?

Answer 21

BF(a,r) et S(a,r)

Question 22

Citez les espaces “triviaux” fermés ?

Answer 22

L’ensemble vide et E

Question 23

Que dire de F si F est fini et dim(F)<+inf

Answer 23

alors F est fermé

Question 24

Que veut dire que a€ est adhérant à A une partie de E ?

Quel est l’ensemble des points adhérants ?

Answer 24

On dit que a est adhérent à A ssi il existe une sous suite (an) d’élément de A qui tend vers a

A c’est l’adhérence de A

Question 25

Caractérisation de a est adhérent à A

Answer 25

Le point a est adhérent à A ssi pour tout r>0, BF(a,r)^A!=l’ensemble vide

Question 26

Quesque l’adhérence de la BO(a,r)

et l’adhérence de la BF(a,r)

Answer 26

=BF(a,r)

Question 27

Que veut dire qu’une partie A est dense dans E

Answer 27

Une partie A est dite dense dans E ssi tout point de E est limite d’une suite d’élément de A.

Question 28

Caractérisation de A est dense dans E

Answer 28

ssi A rencontre tout ouvert non vide

ssi A=E

Question 29

Que veut dire que a€E est un point interieur de A

Answer 29

ssi A est un voisinage de a dans (E,|| ||)

Question 30

Quesque l’ensemble des point qui sont à l’interieur de A ?

Answer 30

c’est l’interieur de A^°

Question 31

Quesque l’interieur de la BO(a,r) , de la BF(a,r)

Answer 31

=BO(a,r)

Question 32

Quesque la frontière d’une partie A?

Comment est elle notée

Answer 32

c’est _A/_A°

Fr(A)

Question 33

Fr(BO(a,r))=?

Fr(BF(a,r))=?

Answer 33

S(a,r)

Question 34

Soit A une partie qu’appelle t’ont ces parties ?

V^A où V€V(a)

O^A ou O est un ouvert ?

F^A ou F est un fermé ?

Answer 34

un voisinage de a dans A

un ouvert de A

un fermé de A