Topologie d'un espace vectoriel normé Flashcards
Que veut dire que V est un voisinage de a€E dans (E,|| ||) ?
Quel est l’ensemble des voisinages de a ?
V est un voisinage ssi il existe r>0 tel que B(a,r)[V
On note VE (a) l’ensemble des voisinages
Que dire des voisinages de A pour deux normes équivalentes ?
Ce sont les mêmes !
Que dire des parties qui contiennent un voisinage de a€E ?
Ce sont des voisinages
Quand es qu’une intersection de voisinage est un voisinage ?
Une intersection est un voisinage ssi c’est une intersection finie
Quand une réunion est elle un voisinage ?
Tout le temps à condition que la réunion ne soit pas vide !
Caractérisation de la convergence avec des voisinages
Une suite (xn) d’éléments converge dans (E,|| ||) ssi Pour tout V€V(a), Il existe N € N, Pour tout n>=N, xn€V
Citez deux principaux voisages de a
BO(a,r) et BF(a,r)
Dans R quesqu’un voisinage de +inf
Il exitste P >0 tel que [P,inf[ soit dans la partie
Que veut dire q’une partie A de E est une partie ouverte ?
On dit que que A est ouvert ssi si A est un voisinage de chacun de ses points
Que dire des ouverts pour deux normes équivalentes ?
Ce sont les mêmes !
Citez les ouverts “triviaux”
L’ensemble de vide et E
Quesqu’une intersection d’ouvert est un ouvert ?
Quand l’intersection est finie
Quand es qu’une réunion de parties ouverte est ouverte ?
Tout le temps !
Citer une partie ouverte
La boule ouverte !
Que veut dire qu’une partie A de E est fermée ?
Une partie A est dite fermée ssi elle contient les limites de ses suites convergentes
Que dire sur les partie fermées dans des normes équivalentes ?
Ce sont les mêmes
Caractérisation de A fermée/ouvert avec E/A ?
A est ouverte/fermée ssi A/E est fermée/ouverte
Que dire sur A si A N’est pas ouvert ?
On peut rien dire !!!!!
Quand es qu’une union de partie parties fermées est fermée ?
Quand c’est une union finie de parties fermées
Quand es qu’une intersection quelconque de partie fermée est fermée ?
Tout le temps
Citez deux exemples principaux de parties fermées ?
BF(a,r) et S(a,r)
Citez les espaces “triviaux” fermés ?
L’ensemble vide et E
Que dire de F si F est fini et dim(F)<+inf
alors F est fermé
Que veut dire que a€ est adhérant à A une partie de E ?
Quel est l’ensemble des points adhérants ?
On dit que a est adhérent à A ssi il existe une sous suite (an) d’élément de A qui tend vers a
A c’est l’adhérence de A
Caractérisation de a est adhérent à A
Le point a est adhérent à A ssi pour tout r>0, BF(a,r)^A!=l’ensemble vide
Quesque l’adhérence de la BO(a,r)
et l’adhérence de la BF(a,r)
=BF(a,r)
Que veut dire qu’une partie A est dense dans E
Une partie A est dite dense dans E ssi tout point de E est limite d’une suite d’élément de A.
Caractérisation de A est dense dans E
ssi A rencontre tout ouvert non vide
ssi A=E
Que veut dire que a€E est un point interieur de A
ssi A est un voisinage de a dans (E,|| ||)
Quesque l’ensemble des point qui sont à l’interieur de A ?
c’est l’interieur de A°
Quesque l’interieur de la BO(a,r) , de la BF(a,r)
=BO(a,r)
Quesque la frontière d’une partie A?
Comment est elle notée
c’est _A/_A°
Fr(A)
Fr(BO(a,r))=?
Fr(BF(a,r))=?
S(a,r)
Soit A une partie qu’appelle t’ont ces parties ?
V^A où V€V(a)
O^A ou O est un ouvert ?
F^A ou F est un fermé ?
un voisinage de a dans A
un ouvert de A
un fermé de A
