Series numériques

Question 1

Quesqu’une serie ?

Answer 1

Une suite

Question 2

Quesque la somme de la serie de terme général an ?

Answer 2

C’est la limite de la série de terme général (an)

Question 3

Quesque le reste d’ordre n de la serie des an?

Quand existe t’il ?

Quels sont ses propriétés ?

Answer 3

Existe si et seulement si la serie cv

Rn=A-An

Rn–>0

An=Rn-1-Rn

Question 4

Somme de la serie géométrique avec z

Answer 4

Question 5

Soit une SATP, converge ssi …

Answer 5

serie et majorée par un truc qui CV

Question 6

Comment montrer qu’une SATP CV ?

Answer 6

• On montre que an<=bn avec serie des bn CV
• On montre an=O(bn) avec bn qui CV
• On montre que an=o(bn) avec bn qui CV
• On motre que an~bn avec bn qui CV

Question 7

Comparaison serie integrale

(Hypothèse + Théorème)

Answer 7

Soit p un entier, et phi:[p,+infini[ -> R continue par morceau, positive, décroissante sur [p,+infini[ Pour tout entier n>=p on pose In=integrale de p à n de phi.

La serie de terme genetale phi(n) est donc de même nature que (In)

La série de terme général phi(n)-integrale(de n à n+1) de phi est convergente.

Question 8

Sommation des relations de comparaisons

cas divergent

Answer 8

(an) et (bn) sont à termes postifs et serie (bn) DV

Question 9

Sommation des relations de comparaisons

cas convergent

Answer 9

(an) et (bn) positifs, serie (bn) CV

Question 10

Quesqu’une serie de terme general (an) absolument convergente?

Answer 10

(an) appartien K**N, on dit que la serie de terme general est absolument convergente si serie de terme general la valeur absolue de (an) est convergente

Question 11

Règle de d’Alembert

Answer 11

Soit (an) une suite d’élément non nuls de K. On supose que |an+1|/|an|–> L avec L un réel positif pouvant valoir +infini.

Alors L<1 –> serie an CVA

L>1 –> serie an DVG

Question 12

Critère des series alternées

Answer 12

Si (an) est une suite de réels décroissante et qui tend vers 0 alors la série (-1)ⁿ * an est convergente, et si on note An la somme partielle et Rn le reste d’ordre n alors Rn et du signe de (-1)ⁿ⁺¹ et A_2n+12n et |Rn|<=a_n+1 (Marche aussi à l’ordre -1)

Question 13

Que dire de la serie Harmonique ?

Answer 13

Hn= 1 + 1/2 + 1/3 + …

(Hn-ln(n)) CV vers gamma ( constante d’Euler)

Hn=ln(n)+gamma+o(1)

Question 14

Transformation d’Abel

Answer 14

Technique de telecopage:

Σuk(vk+1-vk) = un*vn+1 - upvp - Σ(uk-uk-1)vk

A retrouver en changent d’indice

Question 15

Somme de la serie (-1)ⁿ/n

Somme de la serie 1/n²

Answer 15

Somme de la serie (-1)n/n = -ln(2)

(Deguisement integral)

Somme de la serie 1/n²=pi²/6

Question 16

Series de Betrand

Answer 16

Soit (a,b) des réels alors la serie 1/n^aln(n)^b Converge ssi (a>1) ou (a=1 et B>1)

Question 17

Règle de Raabe-Duhamel

Answer 17

Soit (an) une suite de réels strictement positifs. On suppose qu’il existe a un réel tel que an+1/an = 1 - a/n +O(1/n²). Dans ses conditions il existe delta > 0 tel que an ~ delta/ n^a

Question 18

Soit (un) appartenant à R**N, S’il existe lambda appartenant à R* lim(un+1-un)=lambda alors …

Soit un une suite de réels strictements positifs. S’il existe lambda>0 et alpha appartenant à R* tel que lim (un+1^alpha-un^alpha)=lambda alors …

Answer 18

un~lambda*n

unalpha ~lambda*n

Question 19

Donner les equivalents :

ln(n!)

somme de la serie des 1/k^alpha alpha dans ]-infini,1[

reste d’ordre n des 1/kalpha alpha dans ]1,+infini[

Answer 19

nln(n)

n^1-alpha/1-alpha

1/(alpha-1)(n^alpha-1)