Notion de limite pour les fonctions de E dans F

Question 1

Que veut dire que f tend vers b en a suivant A

Quels sont les conditions de cette définition

Answer 1

ca signifie que pour toute suite (an) d’éléments de A qui tend vers a la suite f(an) tend vers b

On a E et F deux ev f:D–>F, A<d>A b€F</d>

Question 2

Soit f:D–>F a€A,b€F, V voisinage de a dans E

Caractérisation de lim_a,A f=b

Answer 2

lim_a,A f=b ssi lim_a,A^V f_{|D^V =} =b

Question 3

Soit f:D–>F a€A,b€F,

limf_a,A=b implique quoi sur b ?

Si lim_a,A f(x)=b alors …

Si ||f(x)-b||<phi>a,APhi(x)=0 alors</phi>

Answer 3

b€f(A)

lim_a,A ||f(x)||=||b||

lim_a,A (f)=b

Question 4

Caractérisation de la limite suivant un ensemble

lim_a,Af=b

Epsilon ?

Voisinage ?

Answer 4

• Pour tout Eps>0, il existe un alpha>0 tel que pour tout x€A,||x-a||_E <=alpha -> ||f(x)-b||_F<=eps
• Pour tout voisinage V de b, il existe U voisinage de A /f(U^A)<v></v>

</v>

Question 5

Si lim_a,B f =b et A

Answer 5

lim _a,A f=b

a doit apartenir à l’adhérence de A et de B

Question 6

lim_a,AUB f=b ssi

Answer 6

lim _a,A f=b et lim _a,B f=b

Question 7

Théorème de la limite monotone

Comment se rappeler du théorème plus précis ?

Answer 7

Soit phi:I<r->R une application, l'adhérence de I est de la forme [alpha,Beta], Si phi est monotone alors les limite existe en alpha- et alpha+ et peuvent valoir eventuelement plus infini.</r->

Phi admet également des limites finies à droite et à gauche en tout point de l’intérieur de I

Grace à un dessin