Notion d'espace vectoriel normé

Question 1

Qu’appel t’on une norme sur E

Answer 1

c’est une application N de E dans R+ qui vérifie :

• Pour tout x€E, pour tous lambda € K, N(lambda*x)=|lambda|N(x) (Homogénéité)
• N(x+y)<=N(x)+N(y) (la sous additivité)
• N(x)=0 –> x=0 (séparation)

Question 2

Quels sont les normes sur K=R ou C ?

Answer 2

Ce sont les alpha| | alpha décrivant R+

Question 3

Quesque la distance entre deux éléments de E ?

Que doit on noter sur la distance ?

Answer 3

la distance entre x,y c’est le réel d(x,y)=||y-x||

Cette distance dépend de la norme considérée

Question 4

Quels sont les propriétés de la distance entre deux éléments de E ?

Answer 4

d(x,y)=d(y,x)

d(x,z)<=d(x,y) + d(y,z)

d(x,y)=0 –> x=y

Question 5

Quesque la distance de x à une partie non vide A ?

Answer 5

d(x,A)=inf{d(x,a),a€A}

Question 6

Inégalité des distances à un ensemble

Answer 6

|d(x,A)-d(y,A)|<=d(x,y)

Question 7

Quand dit t’on que deux normes sont équivalentes ?

Answer 7

on dit que 2 normes sont équivalentes ssi il existe alpha, beta tel que N1<=alphaN2 et N2<=BN1

Question 8

Que dire des normes sur ev fini ?

Answer 8

elles sont toutes équivalentes

Question 9

Quand dit on qu’une partie A de E est bornée ?

Answer 9

On dit que A est une partie bornée de E ssi il existe M€ R+ tel que pour tout x€A, ||x||<=M

Question 10

Que dire des parties bornées pour deux normes équivalentes ?

Answer 10

Ce sont les mêmes !

Question 11

Comment est définie la norme associée à un produit scalaire ?

qu’elle est son autre formulation

Answer 11

||x||=sqrt(x|x)

Question 12

Soit B une base (e1,…,ep), soit x€E qu’on décompose dans cette base,

quesque sont les normes N_b1,N_B2,N_Binfini

Answer 12

N_B1(x)=sum(1,p,|alphai|)

N_B2(x)=sqrt(sum(1,p,|alphai|**2))

N_B3(x)=Max|alphai|

Question 13

Que dire des normes N_B1,N_B2, N_B3 elles sont équivalentes

Answer 13

NB1<=_sqrt(p)NB2<=pN_B,infini<=pN_B1

Question 14

Soient (E1,N1) … des ev normés donner une norme sur E1,E2,…,Ep

Answer 14

On a N(x1,…,xp)=max(N1(x1),N2(x2),…,Np(xp))

Question 15

Quesqu’une boule fermée, boule ouverte et sphère de centre a de rayon r

Answer 15

BO(a,r)={x€E/||x-a||<r></r>

<p>BF(a,r)={x€E/||x-a||&lt;=r}</p>

<p>S(a,r)={x€E/||x-a||=r}</p>

</r>

Question 16

Donner les trois normes à connaitre dans Kⁿ

Answer 16

||x||₁=sum(1,n,|xi|)

||x||₂=sqrt(sum(1,n,|xi|²))

||x||_infini=max(|xi|)

Question 17

Quels sont les trois normes pour K[X] ?

Answer 17

||P||1=sum(1,n,|ai|)

||P||2=sqrt(sum(1,n,|ai|²))

||P||infini=max(|xi|)

Question 18

Quels sont les inégalités dans K[X] entre les normes ?

Qu’est il important de noter ?

Answer 18

|| ||infini<=|| ||2 <= || ||1

elles ne sont pas équivalentes

Question 19

Quels sont les normes et semies normes sur les applications continues par morceaux ?

Que dire sur les applications continues

Answer 19

||f||1 = int(a,b,|f|) (semie norme)

||f||2=sqrtint(a,b,|f|²) (semie norme)

||f||3= Sup|f(t)|_t€[a,b] (norme)

ce sont des normes

Question 20

Quels sont les inégalités entre les normes des app continues par morceaux ?

Que dire de ses normes ?

Answer 20

|| ||₁ <= sqrt(b-a)|| ||₂ et || ||₂<=sqrt(b-a)|| ||_infini

Elles ne sont équivalentes

Question 21

(HP) Quesque l1(K)

l2(K)

l3(K)

Answer 21

l1(K)={(un)€KN/sum(|un|) cv}

l2(K)={(un)€KN/sum(|un|2) cv}

l3(K)={(un)€KN/(un) soit bornée}

Question 22

(HP) Que dire de l1, l2 et l3 ?

Answer 22

ce sont des K espaces vectoriels

Question 23

(HP), soit u,v dans l2, définir un produit scalaire

Answer 23

(u|v)=sum(n=0,+infini,unvn)

Question 24

(HP) Définir les normes de l1, l2, linfini

Answer 24

ce sont les usuelles

Question 25

(HP) si u,v € l2 alors que dire de uv ?

Answer 25

uv € L1 et ||uv||1<=||u||2||v||2

Question 26

Quels sont les inclusions entre l1 l2 et l3

Answer 26

l1 < l2 < l3