Notion d'espace vectoriel normé Flashcards
Qu’appel t’on une norme sur E
c’est une application N de E dans R+ qui vérifie :
- Pour tout x€E, pour tous lambda € K, N(lambda*x)=|lambda|N(x) (Homogénéité)
- N(x+y)<=N(x)+N(y) (la sous additivité)
- N(x)=0 –> x=0 (séparation)
Quels sont les normes sur K=R ou C ?
Ce sont les alpha| | alpha décrivant R+
Quesque la distance entre deux éléments de E ?
Que doit on noter sur la distance ?
la distance entre x,y c’est le réel d(x,y)=||y-x||
Cette distance dépend de la norme considérée
Quels sont les propriétés de la distance entre deux éléments de E ?
d(x,y)=d(y,x)
d(x,z)<=d(x,y) + d(y,z)
d(x,y)=0 –> x=y
Quesque la distance de x à une partie non vide A ?
d(x,A)=inf{d(x,a),a€A}
Inégalité des distances à un ensemble
|d(x,A)-d(y,A)|<=d(x,y)
Quand dit t’on que deux normes sont équivalentes ?
on dit que 2 normes sont équivalentes ssi il existe alpha, beta tel que N1<=alphaN2 et N2<=BN1
Que dire des normes sur ev fini ?
elles sont toutes équivalentes
Quand dit on qu’une partie A de E est bornée ?
On dit que A est une partie bornée de E ssi il existe M€ R+ tel que pour tout x€A, ||x||<=M
Que dire des parties bornées pour deux normes équivalentes ?
Ce sont les mêmes !
Comment est définie la norme associée à un produit scalaire ?
qu’elle est son autre formulation
||x||=sqrt(x|x)
Soit B une base (e1,…,ep), soit x€E qu’on décompose dans cette base,
quesque sont les normes Nb1,NB2,NBinfini
NB1(x)=sum(1,p,|alphai|)
NB2(x)=sqrt(sum(1,p,|alphai|**2))
NB3(x)=Max|alphai|
Que dire des normes NB1,NB2, NB3 elles sont équivalentes
NB1<=sqrt(p)NB2<=pNB,infini<=pNB1
Soient (E1,N1) … des ev normés donner une norme sur E1,E2,…,Ep
On a N(x1,…,xp)=max(N1(x1),N2(x2),…,Np(xp))
Quesqu’une boule fermée, boule ouverte et sphère de centre a de rayon r
BO(a,r)={x€E/||x-a||<r></r>
<p>BF(a,r)={x€E/||x-a||<=r}</p>
<p>S(a,r)={x€E/||x-a||=r}</p>
</r>
Donner les trois normes à connaitre dans Kn
||x||1=sum(1,n,|xi|)
||x||2=sqrt(sum(1,n,|xi|2))
||x||infini=max(|xi|)
Quels sont les trois normes pour K[X] ?
||P||1=sum(1,n,|ai|)
||P||2=sqrt(sum(1,n,|ai|2))
||P||infini=max(|xi|)
Quels sont les inégalités dans K[X] entre les normes ?
Qu’est il important de noter ?
|| ||infini<=|| ||2 <= || ||1
elles ne sont pas équivalentes
Quels sont les normes et semies normes sur les applications continues par morceaux ?
Que dire sur les applications continues
||f||1 = int(a,b,|f|) (semie norme)
||f||2=sqrtint(a,b,|f|2) (semie norme)
||f||3= Sup|f(t)|t€[a,b] (norme)
ce sont des normes
Quels sont les inégalités entre les normes des app continues par morceaux ?
Que dire de ses normes ?
|| ||1 <= sqrt(b-a)|| ||2 et || ||2<=sqrt(b-a)|| ||infini
Elles ne sont équivalentes
(HP) Quesque l1(K)
l2(K)
l3(K)
l1(K)={(un)€KN/sum(|un|) cv}
l2(K)={(un)€KN/sum(|un|2) cv}
l3(K)={(un)€KN/(un) soit bornée}
(HP) Que dire de l1, l2 et l3 ?
ce sont des K espaces vectoriels
(HP), soit u,v dans l2, définir un produit scalaire
(u|v)=sum(n=0,+infini,unvn)
(HP) Définir les normes de l1, l2, linfini
ce sont les usuelles
(HP) si u,v € l2 alors que dire de uv ?
uv € L1 et ||uv||1<=||u||2||v||2
Quels sont les inclusions entre l1 l2 et l3
l1 < l2 < l3