Arithmétique Flashcards
Quelle est la condition pour faire de l’arithmétique dans des anneaux ?
Il faut que (A,+,x) soit intègre
Que signifie a|b ?
Il existe q € A tel que b=aq
Que signifie que a et b € A sont associés ?
a|b et b|a
Caractérisations de a et b sont associés
- a et b sont associés ssi bA=aA
- ssi il existe u€Ax tel que b=au
Caractérisation de a|b
ssi bA[aA
Que dire d’un élément inversible par rapport à la divisibilité ?
Il divise tout le monde
Quel est le seul élément divisible par tout le monde ?
0
a|b et b|c alors
a|c
Si a|bi pour tout i€[1,n] alors :
a divise toute combinaison linéaire des bi
Quesque un PGCD ?
Qu’est il important de noter sur un PGCD dans un anneau intègre ?
c’est un élément d€A qui vérifie :
d|a et d|b et pour tout del€A,(del|a et del|b) -> del|d
Attention ce PGCD n’est pas unique et il n’est même pas sur d’éxister !
Quesque un ppcm ?
c’est un élément m€A qui vérifie :
a|m et b|m et pour tout del€A,(a|del et b|del) -> m|del
Quand dit on que deux éléments de A sont premiers entre eux ?
ils sont premiers entre eux ssi 1 est un pgcd de a et b
Caractérisation de deux éléments a,b sont premiers entre eux
deux éléments a,b sont premiers entre eux ssi l’ensemble des diviseurs commun à a et b est égal à l’ensemble des inversibles de A
Quand dit on que p € A est irréductible ?
ssi p est non nul, non inversible et si, les seuls diviseurs de p dans A sont les inversibles et les associés de p
Caractérisation de p irréductible
ssi p est non nul, non inversible et vérifie pour tout(a,b)€A, p=ab –> p€Ax ou b€Ax
Si p est irréductible, quand es que p et a sont premiers entre eux ?
p et a sont premiers entre eux ssi p ne divise pas a
(HP) Quesqu’un anneau principal ?
C’est un anneau intègre dont tous les idéaux sont de la forme aA
(HP) Dans un anneau principal que dire d’un pgcd de a et b
il existe !
(HP) Dans un anneau principal, caractérisastion d’un pgcd
d est un pgcd de a et b ssi aA+bA=dA
(HP) Dans un anneau principal, Si d est un pgcd de a et b que dire des autres pgcd ?
Ce sont les associés de d
(HP) Dans un anneau principal, (Bezout) comment peut s’écrire d un pgcd
Si d est un pgcd alors il existe (u,v)€A tel que d=au+bv
(HP) Dans un anneau principal, Théorème de Bezout
a et b sont premiers entre eux ssi il existe (u,v)€A / 1=au+bv
(HP) Dans un anneau principal, Théorème de Gauss
Si a et b sont premiers entre eux et a|bc –> a|c
(HP) Dans un anneau principal, que dire si a et b sont premiers entre eux et a et c sont premiers entre eux
a et bc sont premiers entre eux
(HP) Dans un anneau principal, Si b et c sont premiers entre eux et b|a et c|a alors
bc|a
(HP) Dans un anneau principal, Si a et b sont premiers entre eux alors que dire de leur puissance
ap et bq sont premiers entre eux
(HP) Dans un anneau principal, p un élément irréductible de A et (a,b)€A que dire de p|ab
–> p|a ou p|b
Caractérisations de P est un polynome irréductible ?
ssi non constant et les seuls diviseurs de P dans K[X] sont les polynomes constants non nuls et les associés de P
_ssi degP>=1 et pour tout (A,B)€K[X]**2,_
P=AB–> deg(A)=0 ou deg(B)=0
Que dire des polynome de degré 1 dans K[X]
ils sont irréductible
(HP) Que dire d’un polynome de K[X] de degré 2 ou 3 qui n’admetrait pas de racines dans K[X]
Il est irréductible
Quesque que LE pgcd dans K[X]
c’est le pgcd qui est normalisé
