Arithmétique Flashcards
Quelle est la condition pour faire de l’arithmétique dans des anneaux ?
Il faut que (A,+,x) soit intègre
Que signifie a|b ?
Il existe q € A tel que b=aq
Que signifie que a et b € A sont associés ?
a|b et b|a
Caractérisations de a et b sont associés
- a et b sont associés ssi bA=aA
- ssi il existe u€Ax tel que b=au
Caractérisation de a|b
ssi bA[aA
Que dire d’un élément inversible par rapport à la divisibilité ?
Il divise tout le monde
Quel est le seul élément divisible par tout le monde ?
0
a|b et b|c alors
a|c
Si a|bi pour tout i€[1,n] alors :
a divise toute combinaison linéaire des bi
Quesque un PGCD ?
Qu’est il important de noter sur un PGCD dans un anneau intègre ?
c’est un élément d€A qui vérifie :
d|a et d|b et pour tout del€A,(del|a et del|b) -> del|d
Attention ce PGCD n’est pas unique et il n’est même pas sur d’éxister !
Quesque un ppcm ?
c’est un élément m€A qui vérifie :
a|m et b|m et pour tout del€A,(a|del et b|del) -> m|del
Quand dit on que deux éléments de A sont premiers entre eux ?
ils sont premiers entre eux ssi 1 est un pgcd de a et b
Caractérisation de deux éléments a,b sont premiers entre eux
deux éléments a,b sont premiers entre eux ssi l’ensemble des diviseurs commun à a et b est égal à l’ensemble des inversibles de A
Quand dit on que p € A est irréductible ?
ssi p est non nul, non inversible et si, les seuls diviseurs de p dans A sont les inversibles et les associés de p
Caractérisation de p irréductible
ssi p est non nul, non inversible et vérifie pour tout(a,b)€A, p=ab –> p€Ax ou b€Ax
