Continuité des fonctions de E dans F

Question 1

Que veut dire qu’une application f définie sur D est continue au point a

Answer 1

ssi pour toute suite (xn) d’éléments de D qui converge a alors f(xn) tend vers f(a)

Question 2

Donner la caractérisation avec epsilon, et les voisinages de f est continue au point a

Answer 2

f est continue au point a

ssi pour tout epsilon >0, il existe alpha >0 tel que pour tout x€D,||x-a||<=alpha

implique ||f(x)-f(a)||<=epsilon

ssi pour tout V€ V(f(a)), Il existe U€VF(a)/f(U^D)<v>
</v>

Question 3

Que veut dire que f est continue sur son ensemble de définition ?

Que veut dire que f est continue sur A une partie de son ensemble de définition D ?

Answer 3

Ca veut dire que f est continue en tout point de D

f_|A est continue en tout point de A

Question 4

Soit D l’ensemble de def de f et A une partie de D, alors qu’implique f est continue en tout point de A?

Quand es que la réciproque est vraie ?

Answer 4

f est continue sur A

si la partie A est un ouvert

Question 5

Que dire de l’image réciproque d’un ouvert par une fonction continue

et d’un fermé

Answer 5

c’est un ouvert

c’est un fermé

Question 6

Si f et g deux fonctions coincident sur une partie dense que dire de f et g ?

Answer 6

Alors f=g

Question 7

Si on est en dimension finie et f(x)=Σfi(x)ei à quel condition f est continue sur A une partie de l’ensemble de def de f

Answer 7

ssi les fi sont continue sur A

Question 8

Si f est à valeur dans C à quel(s) condition, Im(f) et Re(f) et le conjugué sont continues

Answer 8

ssi f est continue

Question 9

Qu’implique etre lipschitzienne sur une partie?

Par quoi est stable être lipschitzienne ?

Answer 9

être uniformément continue sur cette partie

combinaison linéaire et composition

Question 10

Définition de l’uniforme continuité

Answer 10

Soit epsilon>0 il existe alpha >0 tel que pour tout ||x-y||<=alpha implique ||f(x)-f(y)||<=epsilon

Question 11

Caractérisation séquentielle de l’uniforme continuité

Answer 11

Une fonction est une uniformément continue ssi pour toute suite (xn),(yn) d’éléments de A tel que xn-yn tende vers 0 on a lim(f(xn)-f(yn))=0

Question 12

soit u une app linéaire

Caractérisation de u est continue

Answer 12

u est continue sur E ssi il existe k€R+|pour tout x€E,||u(x)||<=k||x||

Question 13

Que dire d’une application linéaire dont l’espace de départ est fini ?

Answer 13

elle est continue

Question 14

Si f:E1x…xEp –> F est une app linéaire que dire sur f ?

Answer 14

f est continue

et il existe k€R+ pour tout (x1,…,xn)€E1x…xEp| ||f(x1,…,xp)||<=k||x1||….

Question 15

DimE<infini>
</infini>

Answer 15

ssi il existe des entiers naturels n1,…,np et une famille

(ai1,…,aip)_{(i1,…ip)€[0,n1]x[0,np]} de scalaires tels que pour tout

x=Σ_{de 1 à p}xjej de E on ait P(x)=Σ_{(i1,…ip)€[0,n1]x[0,np]} a_(i1,…ip) x₁ⁱ¹….x_p^ip

Question 16

Quel est la particularité des fonctions polynome relativement à B une base de E

Answer 16

elles sont continues !