Polynome d'un endomorphisme Flashcards
Soit P un polynome de K[X], et u un endomorphisme de E.
Que note t’on :
- P(u)
- Iu
- K[u]
- Et quesqu’un polynome anulateur de u ?
- P(u) c’est un endomorphisme, on a substitué X à u
- Iu={P€K[X]/P(u)=0}
- K[u]={P(u),P€K[X]}
- Un polynome anulateur c’est un polynome qui vérifie P(u)=0L(E)
Soit P€K[X],
citez :
- des sous espaces stables par u qui dépendent de P
- Si on dispose d’une valeur propre Lambda de u, citer une valeur propre de P(u)
- Si on dispose d’une valeur propre lambda de u, déterminer une racine du polynome P si P est anulateur.
- Dans quoi est inclu le spectre de u ?
- KerP(u) et Im(P(u)) (car P(u) et u commutent)
- P(lambda)
- P(lambda)=0
- Sp(u)€racines de P SI P ANNULATEUR
Soit P€K[X], u€L(E), et u diagonalisable, que dire de P(u) ?
et si u est trigonalisable ?
alors P(u) est diagonalisable,et on a il existe B une base de E tel que MB(u)=Diag(λ1,…,λn) et ainsi MB(P(u))=Diag(P(λ1),…,P(λn)). C’est la même base !
Si u est trigonalisable c’est la même chose sauf que ce sont selement le coeff diagonaux qui sont P(λ)…
Théorème de structure :
Comment est définie l’application φu ?
Quel est sa propriétée ?
Quels sont les propriétés de son Ker et de son Image ?
Comment est définie le polynome minimal ?
φu : K[X] –> L(E) , φu = P(u)
C’est un morphisme de K algèbres
Son image est la plus petite sous algèbre de L(E) qui contient u. Cette sous algèbre est commutative.
Son noyau est un idéal (K[x] est un anneau commutatif), c’est Iu nommé l’idéal annulateur de u.
Si Iu=!0 alors il existe un unique polynome πu unitaire tel que Iu=πuK[X]. πu est appelé polynome minimal.
Soit u un endomorphisme, listez quand πu existe ses différentes propriétés en dim non nécessairement finie.
πu est unitaire annule u et divise tout autre polynome annulateur.
πu est le polynome annulateur de plus petit degré à annuler u
Si E=!0 alors πu est non constant et degπu >=1
Si F est un sous espace stable de E par u et distinct de 0 alors πuF|πu
Les racines de πu sont exactement les valeurs propres de u
Si dimE est fini et u€L(E):
que dire de l’idéal annulateur Iu ? Que cela implique t’il ?
Quelle est la dimension de K[u] ? Trouver une base de K[u] si d>=1
L’idéal annulateur est non nulle donc il existe πu
K[u] est de dimension degπu
(IdE,u,…,u d-1)
Théorème de Cayley Hamilton
Si 1<=dimE<=infini alors soit u € L(E), Xu(u)=0 et πu|Xu dans K[X]
le polynome caractéristique est annulateur
Théorème des noyaux
A quoi sert-il ?
Si P1,…,Pr sont des polynomes deux à deux premiers entre eux alors on a l’égalité :
Ker(P1..Pr)(u)=KerP1(u) + KerP2(u) + … + KerPr(u)
A obtenir une decomposition de E si P1..Pr est annulateur de u
Caractérisation de u est diagonalisable avec le polynome minimal ?
u est diagonalisable
ssi πu est scindé sur K et à racines simples
ssi Il existe un polynome non constant scindé sur K et à racines simples qui s’annule en u
Que vaut πu si u est diagonalisable ?
πu = (X-λ1)…(X-λr) avec λi les valeurs propres distinctes de u
Si u est diagonalisable et si F est un sous espace stable distinct de 0 que dire de uF
Il est également diagonalisable
Soit F un sous espace vectoriel de E non réduit à 0 et u diagonalisable
Caractérisation F stable par u
F stable par u ssi F admet une base constituée de vecteurs propres de u
Si P est un polynome annulateur de non constant et scindé sur K qui s’écrit P=λ(X-λ1)α1…(X-λr)αr avec λ=!0 et λi distincts
Qu’est ce que cela implique ?
E=Ker(u-λ1IdE)α1+…_+_Ker(u-λrIdE)αr
Posons Vk=Ker(u-λkIdE)αk Vk est stable par u et uVk = v + n avec v une homothétie de rapport λk et n endomorphisme nilpotent
L’endomorphisme de u est donc trigonalisable et sa matrice est triangulaire par bloc (cf ci dessus)
Caractérisation avec πu de u trigonalisable
u est trigonalisable
ssi πu est scindé sur K
ssi il existe un polynome non constant et scindé sur K qui annule u
