Structure groupes/anneaux/corps Flashcards
Quesqu’une loi de composition interne sur ensemble E ?
Quesqu’un magma ?
Une loi de composition interne sur E est une application * de ExE dans E.
Un magma est un couple (E,*)
Quesqu’un magma unifère ?
Un magma qui admet un neutre
(a*e=e*a=a)
Que veut dire que a est inversible/symetrisable dans un magma ?
Ca veut dire qu’il existe b appartenant à E tel que a*b=b*a=e,
un tel b est unique
Que veut dire qu’une partie A de E est stable pour la loi *?
Cela veut dire que pour tous a,b appartenant à A, a*b appartient à A
Quesqu’un moinoïde ?
Un monoïde est un magma associatif et unifère
Quesqu’un groupe ?
Un groupe est un monoïde dans lequel tous ses éléments sont inversibles.
Quesqu’un groupe abélien ?
Un groupe abélien est un groupe commutatif.
Quesqu’un anneau ?
Un anneau est un triplet (E,x,+) avec
(E,+) un groupe abélien
(E,x) un moinoïde
x est distributive par rapport à +
Comment note t’on l’ensemble des éléments inversibles pour x dans un anneau (A,+,x) ?
U(A), Ax
Caractérisation d’un sous groupe H
H !=0 et pour tout x,y appartenant à H,x*y-1 appartient à H
Quand peut on utiliser le binome de newton sur a,b dans un anneau ?
Si a et b commutent
Quesqu’un anneau intègre (A,+,x) ?
C’est un anneau commutatif non nul sans diviseur de 0
(a*b=0 –> a=0 ou b=0)
Quesqu’un corps ?
(K,+,x) est un anneau commutatif
si tous les élements de K sont inversibles pour x, sauf 0
Quesqu’un espace vectoriel (E,+,*)?
+ est une lci, * est une lce à domaine d’opérateur dans K tels que :
- (E,+) est un groupe abélien
- pour tout z appartenant à K, pour tout x,y appartenant à E,
z*(x+y)=z*x+z*y
- pour tout z,e appartenant à K, pour tout x appartenant à E, (z+e)*x=z*x+e*x
- pour tout z,e appartenant à K, pour tout x appartenant à E, (ze)*x=z*(e*x)
- pour tout x appartenant à E, 1*x=x
Quesque le support d’une famille de E indexée par I?
Quesqu’une famille presque nulle ?
C’est l’ensemble :
(i appartenant I / xi != 0E)
Si le support est fini on dit que la famille est presque nulle. l’ensemble des famille presque nulle est E(I)
Quesqu’une algèbre (E,+,x,*) ?
(E,+,x) est un anneau
(E,+,*) est un K espace vectoriel
Pour tout f,g appartenant à E, pour tout a appartenant à K, a*(fxg)=(a*f)xg=fx(a*g)
Quel est l’ensemble des automorphismes?
(GL(E),o) est un groupe, est c’est le groupe linéaire de E
Quesqu’un morphisme de groupe f:G–>G’ ?
Soient (G,*) et (G’,*’) deux groupes, alors on dit que f est un morphisme de groupe ssi pour tout (x,y)€G**2, f(x*y)=f(x)*‘f(y)
Quand dit on que f est un isomorphisme de groupe
Quand f est un morphisme de groupe bijectif
Citez propriétés des morphismes de groupe
f(1G)=1G’
f(x-1)=f(x)-1
f(xn)=f(x)n
Si H est un sous groupe de G alors f(H) est un sous de G’
Si H est un sous groupe de G’ alors f-1 (G’) est un sous groupe de G
Quesque le noyau et l’image d’un morphisme ?
Ker(f)={x€G/f(x)=1G’} et Im(f)={y€G’, Il existe x €G| y=f(x)}
Que peut on dire de Ker(f) et de Im(f)
ce sont des sous groupes
Critère pour f injective et f surjective
f injective ssi Ker(f)={1G} et f surjective ssi Im(f)=G’
Quesque le produit carthésien ?
C’est une loi de composition interne de G1xG2,
(x1,x2)x(y1,y2)=(x1xy1,x2xy2)
Quels sont les sous groupes de (Z,+) ?
Les nZ avec n=min(H^R*+) si H!={0}
A quoi est égale la classe de a€Z pour la relation congru modulo n et comment est elle notée ?
a=a+nZ
Quelle est la forme de Z/nZ ?
Z/nZ={_a,_a€Z}
={0,1,2,…,n-1}
Qu’es ce que un reppresentant de x€Z/nZ ?
Qu’est il important de noter sur ce repprésentant ?
C’est un a€Z tel que x=a
Il n’est pas unique !
Pour tout a€Z, à quoi est égal a ?
r=a avec r le reste dans la division euclidienne de a par n
Quel est le cardinal de Z/nZ ?
n
Que dire de la structure de Z/nZ ?
C’est un groupe abélien de neutre 0 de cardinal fini.
A quoi faut il faire attention quand on parle d’application avec n/nZ ?
A bien montrer que c’est bien une application, c’est à dire qu’elle associe un unique élément
Quel est l’opposé de a dans Z/nZ ?
-a=-a
Que dire de l’application de pi(n) de Z–>Z/nZ définie par pi(n)(a)=a ?
Elle est surjective !
Quel ensemble est isomorphe à Z/nZ ?
Les racines nème de l’unité
Soit une partie de G un groupe,
Qu’es ce que le sous groupe engendré par A et comment est il noté ?
est l’intersection de tous les sous groupes de G qui contiennent A. C’est donc le plus petit au sens de l’inclusion.
si a € G, quelle est la forme de ?
{a**k,k€Z}
Citer les parties qui engendrent ces groupes
nZ=
Un=
Z/nZ=
A3={sigma€S3/E(sigma)=1}=
<n></n>
<wn></wn>
<1>
<(1,2,3)>
Quesque l’ordre d’un élément a € G, comment est il noté ?
Qu’est il important de noté sur l’ordre ?
C’est le cardinal de , noté w(a)
il est toujours supérieur à 1
Que dire si a est d’ordre infini ?
les éléments de sont deux à deux distincts et le groupe (,x) est isomorphe à (Z,+)
Que dire de si a est d’ordre fini ?
est fini, et contient {1,a,..aw(a)-1 } distincts, aw(a) = 1 et le groupe est isomorphe à Z/w(a)Z et Uw(a)
Caractérisation de a est d’ordre fini
a est d’ordre fini ssi il existe k€Z* tel az =1
Si a est d’ordre fini que dire de k, si ak=1
w(a)|k
Dans le groupe (Z,+) quels sont les elements d’ordre fini ?
Dans le groupe (C*,x) quels sont les elements d’ordre fini ?
0
les racines de l’unité
Si (G,x) est un groupe fini de cardinal n quesque cela implique ?
Pour tout a € G, an =1
Si (G,x) est un groupe fini que dire de l’application phi(a) de G dans G définie par phi(a)(x)=ax ?
Elle est bijective
Quest-ce qu’un générateur de (G,x) ?
a est un genérateur de G ssi G=
Que veut dire qu’un groupe est monogène ?
un groupe est monogène ssi il admet au moins un générateur
Que veut dire qu’un groupe est cyclique ?
Un groupe est cyclique ssi il est monogène et fini
Quel est la particularité des groupes monogènes ?
ils sont abéliens
(HP) Si (G,x) est un groupe fini que dire de ses sous groupes ?
Ils sont finis et |H| | |G|
Caractérisation d’un sous anneau
ssi stable par différence
ssi stable par produit
ssi 1a€B
Quesqu’un morphisme d’anneaux ?
SI pour tout (x,y) € A, f(x+y)=f(x)+f(y)
f(xy)=f(x)f(y)
f(1a)=1a’
Quesqu’un idéal I d’un anneau commutatif (A,+,x) ?
(I,+) est un sous groupe de (A,+)
Pour tout a € A, Pour tout x € I,ax€I
Caractérisation d’un idéal I de (A,+,x)
I est un idéal ssi I=vide et pour tout (i,j)€I,pour tout (a,b)€A, ai+bj€I
Quesqu’une intersection d’idéaux ?
un idéal
Quel est le plus petit idéal qui contient a€A ?
aA={ax,x€A}
Que dire de l’idéal I s’il contient 1a ?
I=A
Que dire de I s’il possède un élément de Ax
I=A
Quand peut-on parler d’idéal dans un anneau ?
Si l’anneau est commutatif
Si (A,+,x) et (B,+,x) deux anneaux commutatifs.
Que peut on déduire du noyau du morphisme d’anneaux A–>B
C’est un idéal de (A,+,x)
Quels sont les idéaux de (Z,+,x)
Les nZ, n€N
Quand dit on qu’un polynome est normalisé ?
Soit il est unitaire soit il est nul
Quels sont les idéaux de l’anneau (K[X],+,x) ?
Ce sont les PK[K], P€K[X]
Quels sont les idéaux d’un corps K ?
{0} ou K
