Structure groupes/anneaux/corps

Question 1

Quesqu’une loi de composition interne sur ensemble E ?

Quesqu’un magma ?

Answer 1

Une loi de composition interne sur E est une application * de ExE dans E.

Un magma est un couple (E,*)

Question 2

Quesqu’un magma unifère ?

Answer 2

Un magma qui admet un neutre

(a*e=e*a=a)

Question 3

Que veut dire que a est inversible/symetrisable dans un magma ?

Answer 3

Ca veut dire qu’il existe b appartenant à E tel que a*b=b*a=e,

un tel b est unique

Question 4

Que veut dire qu’une partie A de E est stable pour la loi *?

Answer 4

Cela veut dire que pour tous a,b appartenant à A, a*b appartient à A

Question 5

Quesqu’un moinoïde ?

Answer 5

Un monoïde est un magma associatif et unifère

Question 6

Quesqu’un groupe ?

Answer 6

Un groupe est un monoïde dans lequel tous ses éléments sont inversibles.

Question 7

Quesqu’un groupe abélien ?

Answer 7

Un groupe abélien est un groupe commutatif.

Question 8

Quesqu’un anneau ?

Answer 8

Un anneau est un triplet (E,x,+) avec

(E,+) un groupe abélien

(E,x) un moinoïde

x est distributive par rapport à +

Question 9

Comment note t’on l’ensemble des éléments inversibles pour x dans un anneau (A,+,x) ?

Answer 9

U(A), A^x

Question 10

Caractérisation d’un sous groupe H

Answer 10

H !=0 et pour tout x,y appartenant à H,x*y^-1 appartient à H

Question 11

Quand peut on utiliser le binome de newton sur a,b dans un anneau ?

Answer 11

Si a et b commutent

Question 12

Quesqu’un anneau intègre (A,+,x) ?

Answer 12

C’est un anneau commutatif non nul sans diviseur de 0

(a*b=0 –> a=0 ou b=0)

Question 13

Quesqu’un corps ?

Answer 13

(K,+,x) est un anneau commutatif

si tous les élements de K sont inversibles pour x, sauf 0

Question 14

Quesqu’un espace vectoriel (E,+,*)?

Answer 14

+ est une lci, * est une lce à domaine d’opérateur dans K tels que :

• (E,+) est un groupe abélien
• pour tout z appartenant à K, pour tout x,y appartenant à E,

z*(x+y)=z*x+z*y

• pour tout z,e appartenant à K, pour tout x appartenant à E, (z+e)*x=z*x+e*x
• pour tout z,e appartenant à K, pour tout x appartenant à E, (ze)*x=z*(e*x)
• pour tout x appartenant à E, 1*x=x

Question 15

Quesque le support d’une famille de E indexée par I?

Quesqu’une famille presque nulle ?

Answer 15

C’est l’ensemble :

(i appartenant I / xi != 0_E)

Si le support est fini on dit que la famille est presque nulle. l’ensemble des famille presque nulle est E^(I)

Question 16

Quesqu’une algèbre (E,+,x,*) ?

Answer 16

(E,+,x) est un anneau

(E,+,*) est un K espace vectoriel

Pour tout f,g appartenant à E, pour tout a appartenant à K, a*(fxg)=(a*f)xg=fx(a*g)

Question 17

Quel est l’ensemble des automorphismes?

Answer 17

(GL(E),o) est un groupe, est c’est le groupe linéaire de E

Question 18

Quesqu’un morphisme de groupe f:G–>G’ ?

Answer 18

Soient (G,*) et (G’,*’) deux groupes, alors on dit que f est un morphisme de groupe ssi pour tout (x,y)€G**2, f(x*y)=f(x)*‘f(y)

Question 19

Quand dit on que f est un isomorphisme de groupe

Answer 19

Quand f est un morphisme de groupe bijectif

Question 20

Citez propriétés des morphismes de groupe

Answer 20

f(1G)=1G’

f(x^-1)=f(x)^-1

f(xⁿ)=f(x)ⁿ

Si H est un sous groupe de G alors f(H) est un sous de G’

Si H est un sous groupe de G’ alors f^-1 (G’) est un sous groupe de G

Question 21

Quesque le noyau et l’image d’un morphisme ?

Answer 21

Ker(f)={x€G/f(x)=1G’} et Im(f)={y€G’, Il existe x €G| y=f(x)}

Question 22

Que peut on dire de Ker(f) et de Im(f)

Answer 22

ce sont des sous groupes

Question 23

Critère pour f injective et f surjective

Answer 23

f injective ssi Ker(f)={1G} et f surjective ssi Im(f)=G’

Question 24

Quesque le produit carthésien ?

Answer 24

C’est une loi de composition interne de G1xG2,

(x1,x2)x(y1,y2)=(x1xy1,x2xy2)

Question 25

Quels sont les sous groupes de (Z,+) ?

Answer 25

Les nZ avec n=min(H^R\*+) si H!={0}

Question 26

A quoi est égale la classe de a€Z pour la relation congru modulo n et comment est elle notée ?

Answer 26

_a_=a+nZ

Question 27

Quelle est la forme de Z/nZ ?

Answer 27

Z/nZ={_a,_a€Z} ={_0,1,2,...,n-1}_

Question 28

Qu'es ce que un reppresentant de x€Z/nZ ? Qu'est il important de noter sur ce repprésentant ?

Answer 28

C'est un a€Z tel que x=_a_ Il n'est pas unique !

Question 29

Pour tout a€Z, à quoi est égal _a ?_

Answer 29

r=_a_ avec r le reste dans la division euclidienne de a par n

Question 30

Quel est le cardinal de Z/nZ ?

Answer 30

n

Question 31

Que dire de la structure de Z/nZ ?

Answer 31

C'est un groupe abélien de neutre _0_ de cardinal fini.

Question 32

A quoi faut il faire attention quand on parle d'application avec n/nZ ?

Answer 32

A bien montrer que c'est bien une application, c'est à dire qu'elle associe un unique élément

Question 33

Quel est l'opposé de _a_ dans Z/nZ ?

Answer 33

-_a=-a_

Question 34

Que dire de l'application de pi(n) de Z--\>Z/nZ définie par pi(n)(a)=_a ?_

Answer 34

Elle est surjective !

Question 35

Quel ensemble est isomorphe à Z/nZ ?

Answer 35

Les racines nème de l'unité

Question 36

Soit une partie de G un groupe, Qu'es ce que le sous groupe engendré par A et comment est il noté ?

Answer 36

est l'intersection de tous les sous groupes de G qui contiennent A. C'est donc le plus petit au sens de l'inclusion.

Question 37

si a € G, quelle est la forme de ?

Answer 37

{a\*\*k,k€Z}

Question 38

Citer les parties qui engendrent ces groupes nZ= Un= Z/nZ= A3={sigma€S3/E(sigma)=1}=

Answer 38

\<_1_\> \<(1,2,3)\>

Question 39

Quesque l'ordre d'un élément a € G, comment est il noté ? Qu'est il important de noté sur l'ordre ?

Answer 39

C'est le cardinal de , noté w(a) il est toujours supérieur à 1

Question 40

Que dire si a est d'ordre infini ?

Answer 40

les éléments de sont deux à deux distincts et le groupe (,x) est isomorphe à (Z,+)

Question 41

Que dire de si a est d'ordre fini ?

Answer 41

est fini, et contient {1,a,..a^w(a)-1 } distincts, a^w(a) = 1 et le groupe est isomorphe à Z/w(a)Z et Uw(a)

Question 42

Caractérisation de a est d'ordre fini

Answer 42

a est d'ordre fini ssi il existe k€Z\* tel a^z =1

Question 43

Si a est d'ordre fini que dire de k, si a^k=1

Answer 43

w(a)|k

Question 44

Dans le groupe (Z,+) quels sont les elements d'ordre fini ? Dans le groupe (C\*,x) quels sont les elements d'ordre fini ?

Answer 44

0 les racines de l'unité

Question 45

Si (G,x) est un groupe fini de cardinal n quesque cela implique ?

Answer 45

Pour tout a € G, aⁿ =1

Question 46

Si (G,x) est un groupe fini que dire de l'application phi(a) de G dans G définie par phi(a)(x)=ax ?

Answer 46

Elle est bijective

Question 47

Quest-ce qu'un générateur de (G,x) ?

Answer 47

a est un genérateur de G ssi G=

Question 48

Que veut dire qu'un groupe est monogène ?

Answer 48

un groupe est monogène ssi il admet au moins un générateur

Question 49

Que veut dire qu'un groupe est cyclique ?

Answer 49

Un groupe est cyclique ssi il est monogène et fini

Question 50

Quel est la particularité des groupes monogènes ?

Answer 50

ils sont abéliens

Question 51

(HP) Si (G,x) est un groupe fini que dire de ses sous groupes ?

Answer 51

Ils sont finis et |H| | |G|

Question 52

Caractérisation d'un sous anneau

Answer 52

ssi stable par différence ssi stable par produit ssi 1a€B

Question 53

Quesqu'un morphisme d'anneaux ?

Answer 53

SI pour tout (x,y) € A, f(x+y)=f(x)+f(y) f(xy)=f(x)f(y) f(1a)=1a'

Question 54

Quesqu'un idéal I d'un anneau commutatif (A,+,x) ?

Answer 54

(I,+) est un sous groupe de (A,+) Pour tout a € A, Pour tout x € I,ax€I

Question 55

Caractérisation d'un idéal I de (A,+,x)

Answer 55

I est un idéal ssi I=vide et pour tout (i,j)€I,pour tout (a,b)€A, ai+bj€I

Question 56

Quesqu'une intersection d'idéaux ?

Answer 56

un idéal

Question 57

Quel est le plus petit idéal qui contient a€A ?

Answer 57

aA={ax,x€A}

Question 58

Que dire de l'idéal I s'il contient 1a ?

Answer 58

I=A

Question 59

Que dire de I s'il possède un élément de A^x

Answer 59

I=A

Question 60

Quand peut-on parler d'idéal dans un anneau ?

Answer 60

Si l'anneau est commutatif

Question 61

Si (A,+,x) et (B,+,x) deux anneaux commutatifs. Que peut on déduire du noyau du morphisme d'anneaux A--\>B

Answer 61

C'est un idéal de (A,+,x)

Question 62

Quels sont les idéaux de (Z,+,x)

Answer 62

Les nZ, n€N

Question 63

Quand dit on qu'un polynome est normalisé ?

Answer 63

Soit il est unitaire soit il est nul

Question 64

Quels sont les idéaux de l'anneau (K[X],+,x) ?

Answer 64

Ce sont les PK[K], P€K[X]

Question 65

Quels sont les idéaux d'un corps K ?

Answer 65

{0} ou K