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Math > Structure groupes/anneaux/corps > Flashcards

Structure groupes/anneaux/corps Flashcards

1
Q

Quesqu’une loi de composition interne sur ensemble E ?

Quesqu’un magma ?

A

Une loi de composition interne sur E est une application * de ExE dans E.

Un magma est un couple (E,*)

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Q

Quesqu’un magma unifère ?

A

Un magma qui admet un neutre

(a*e=e*a=a)

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3
Q

Que veut dire que a est inversible/symetrisable dans un magma ?

A

Ca veut dire qu’il existe b appartenant à E tel que a*b=b*a=e,

un tel b est unique

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4
Q

Que veut dire qu’une partie A de E est stable pour la loi *?

A

Cela veut dire que pour tous a,b appartenant à A, a*b appartient à A

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5
Q

Quesqu’un moinoïde ?

A

Un monoïde est un magma associatif et unifère

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6
Q

Quesqu’un groupe ?

A

Un groupe est un monoïde dans lequel tous ses éléments sont inversibles.

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7
Q

Quesqu’un groupe abélien ?

A

Un groupe abélien est un groupe commutatif.

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8
Q

Quesqu’un anneau ?

A

Un anneau est un triplet (E,x,+) avec

(E,+) un groupe abélien

(E,x) un moinoïde

x est distributive par rapport à +

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9
Q

Comment note t’on l’ensemble des éléments inversibles pour x dans un anneau (A,+,x) ?

A

U(A), Ax

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10
Q

Caractérisation d’un sous groupe H

A

H !=0 et pour tout x,y appartenant à H,x*y-1 appartient à H

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11
Q

Quand peut on utiliser le binome de newton sur a,b dans un anneau ?

A

Si a et b commutent

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12
Q

Quesqu’un anneau intègre (A,+,x) ?

A

C’est un anneau commutatif non nul sans diviseur de 0

(a*b=0 –> a=0 ou b=0)

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13
Q

Quesqu’un corps ?

A

(K,+,x) est un anneau commutatif

si tous les élements de K sont inversibles pour x, sauf 0

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14
Q

Quesqu’un espace vectoriel (E,+,*)?

A

+ est une lci, * est une lce à domaine d’opérateur dans K tels que :

  • (E,+) est un groupe abélien
  • pour tout z appartenant à K, pour tout x,y appartenant à E,

z*(x+y)=z*x+z*y

  • pour tout z,e appartenant à K, pour tout x appartenant à E, (z+e)*x=z*x+e*x
  • pour tout z,e appartenant à K, pour tout x appartenant à E, (ze)*x=z*(e*x)
  • pour tout x appartenant à E, 1*x=x
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15
Q

Quesque le support d’une famille de E indexée par I?

Quesqu’une famille presque nulle ?

A

C’est l’ensemble :

(i appartenant I / xi != 0E)

Si le support est fini on dit que la famille est presque nulle. l’ensemble des famille presque nulle est E(I)

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16
Q

Quesqu’une algèbre (E,+,x,*) ?

A

(E,+,x) est un anneau

(E,+,*) est un K espace vectoriel

Pour tout f,g appartenant à E, pour tout a appartenant à K, a*(fxg)=(a*f)xg=fx(a*g)

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17
Q

Quel est l’ensemble des automorphismes?

A

(GL(E),o) est un groupe, est c’est le groupe linéaire de E

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18
Q

Quesqu’un morphisme de groupe f:G–>G’ ?

A

Soient (G,*) et (G’,*’) deux groupes, alors on dit que f est un morphisme de groupe ssi pour tout (x,y)€G**2, f(x*y)=f(x)*‘f(y)

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19
Q

Quand dit on que f est un isomorphisme de groupe

A

Quand f est un morphisme de groupe bijectif

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20
Q

Citez propriétés des morphismes de groupe

A

f(1G)=1G’

f(x-1)=f(x)-1

f(xn)=f(x)n

Si H est un sous groupe de G alors f(H) est un sous de G’

Si H est un sous groupe de G’ alors f-1 (G’) est un sous groupe de G

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21
Q

Quesque le noyau et l’image d’un morphisme ?

A

Ker(f)={x€G/f(x)=1G’} et Im(f)={y€G’, Il existe x €G| y=f(x)}

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22
Q

Que peut on dire de Ker(f) et de Im(f)

A

ce sont des sous groupes

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23
Q

Critère pour f injective et f surjective

A

f injective ssi Ker(f)={1G} et f surjective ssi Im(f)=G’

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24
Q

Quesque le produit carthésien ?

A

C’est une loi de composition interne de G1xG2,

(x1,x2)x(y1,y2)=(x1xy1,x2xy2)

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25
Q

Quels sont les sous groupes de (Z,+) ?

A

Les nZ avec n=min(H^R*+) si H!={0}

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26
Q

A quoi est égale la classe de a€Z pour la relation congru modulo n et comment est elle notée ?

A

a=a+nZ

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27
Q

Quelle est la forme de Z/nZ ?

A

Z/nZ={_a,_a€Z}

={0,1,2,…,n-1}

28
Q

Qu’es ce que un reppresentant de x€Z/nZ ?

Qu’est il important de noter sur ce repprésentant ?

A

C’est un a€Z tel que x=a

Il n’est pas unique !

29
Q

Pour tout a€Z, à quoi est égal a ?

A

r=a avec r le reste dans la division euclidienne de a par n

30
Q

Quel est le cardinal de Z/nZ ?

A

n

31
Q

Que dire de la structure de Z/nZ ?

A

C’est un groupe abélien de neutre 0 de cardinal fini.

32
Q

A quoi faut il faire attention quand on parle d’application avec n/nZ ?

A

A bien montrer que c’est bien une application, c’est à dire qu’elle associe un unique élément

33
Q

Quel est l’opposé de a dans Z/nZ ?

A

-a=-a

34
Q

Que dire de l’application de pi(n) de Z–>Z/nZ définie par pi(n)(a)=a ?

A

Elle est surjective !

35
Q

Quel ensemble est isomorphe à Z/nZ ?

A

Les racines nème de l’unité

36
Q

Soit une partie de G un groupe,

Qu’es ce que le sous groupe engendré par A et comment est il noté ?

A

est l’intersection de tous les sous groupes de G qui contiennent A. C’est donc le plus petit au sens de l’inclusion.

37
Q

si a € G, quelle est la forme de ?

A

{a**k,k€Z}

38
Q

Citer les parties qui engendrent ces groupes

nZ=

Un=

Z/nZ=

A3={sigma€S3/E(sigma)=1}=

A

<n></n>

<wn></wn>

<1>

<(1,2,3)>

39
Q

Quesque l’ordre d’un élément a € G, comment est il noté ?

Qu’est il important de noté sur l’ordre ?

A

C’est le cardinal de , noté w(a)

il est toujours supérieur à 1

40
Q

Que dire si a est d’ordre infini ?

A

les éléments de sont deux à deux distincts et le groupe (,x) est isomorphe à (Z,+)

41
Q

Que dire de si a est d’ordre fini ?

A

est fini, et contient {1,a,..aw(a)-1 } distincts, aw(a) = 1 et le groupe est isomorphe à Z/w(a)Z et Uw(a)

42
Q

Caractérisation de a est d’ordre fini

A

a est d’ordre fini ssi il existe k€Z* tel az =1

43
Q

Si a est d’ordre fini que dire de k, si ak=1

A

w(a)|k

44
Q

Dans le groupe (Z,+) quels sont les elements d’ordre fini ?

Dans le groupe (C*,x) quels sont les elements d’ordre fini ?

A

0

les racines de l’unité

45
Q

Si (G,x) est un groupe fini de cardinal n quesque cela implique ?

A

Pour tout a € G, an =1

46
Q

Si (G,x) est un groupe fini que dire de l’application phi(a) de G dans G définie par phi(a)(x)=ax ?

A

Elle est bijective

47
Q

Quest-ce qu’un générateur de (G,x) ?

A

a est un genérateur de G ssi G=

48
Q

Que veut dire qu’un groupe est monogène ?

A

un groupe est monogène ssi il admet au moins un générateur

49
Q

Que veut dire qu’un groupe est cyclique ?

A

Un groupe est cyclique ssi il est monogène et fini

50
Q

Quel est la particularité des groupes monogènes ?

A

ils sont abéliens

51
Q

(HP) Si (G,x) est un groupe fini que dire de ses sous groupes ?

A

Ils sont finis et |H| | |G|

52
Q

Caractérisation d’un sous anneau

A

ssi stable par différence

ssi stable par produit

ssi 1a€B

53
Q

Quesqu’un morphisme d’anneaux ?

A

SI pour tout (x,y) € A, f(x+y)=f(x)+f(y)

f(xy)=f(x)f(y)

f(1a)=1a’

54
Q

Quesqu’un idéal I d’un anneau commutatif (A,+,x) ?

A

(I,+) est un sous groupe de (A,+)

Pour tout a € A, Pour tout x € I,ax€I

55
Q

Caractérisation d’un idéal I de (A,+,x)

A

I est un idéal ssi I=vide et pour tout (i,j)€I,pour tout (a,b)€A, ai+bj€I

56
Q

Quesqu’une intersection d’idéaux ?

A

un idéal

57
Q

Quel est le plus petit idéal qui contient a€A ?

A

aA={ax,x€A}

58
Q

Que dire de l’idéal I s’il contient 1a ?

A

I=A

59
Q

Que dire de I s’il possède un élément de Ax

A

I=A

60
Q

Quand peut-on parler d’idéal dans un anneau ?

A

Si l’anneau est commutatif

61
Q

Si (A,+,x) et (B,+,x) deux anneaux commutatifs.

Que peut on déduire du noyau du morphisme d’anneaux A–>B

A

C’est un idéal de (A,+,x)

62
Q

Quels sont les idéaux de (Z,+,x)

A

Les nZ, n€N

63
Q

Quand dit on qu’un polynome est normalisé ?

A

Soit il est unitaire soit il est nul

64
Q

Quels sont les idéaux de l’anneau (K[X],+,x) ?

A

Ce sont les PK[K], P€K[X]

65
Q

Quels sont les idéaux d’un corps K ?

A

{0} ou K

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