Espace préhilbertien

Question 1

Quesque le groupe spécial linéaire d’ordre n ?

Answer 1

C’est l’ensemble SLn={A€Mn(K)|det(A)=1}

Question 2

Quesqu’une matrice orthogonale ?

Comment est noté le groupe des matrices orthogonales ?

Answer 2

Une matrice A est dite orthogonale ssi ^tAA=In

On(R)

Question 3

Que dire du déterminant d’une matrice orthogonale ?

Answer 3

Il vaut 1 ou -1

Question 4

Quesque l’ensemble des matrices orthogonales de determinant =1 ?

Answer 4

C’est un groupe, il est nomé le groupe spécial orthogonal d’ordre n

Question 5

Que veut dire que f une app conserve le produit scalaire ?

Answer 5

(f(x)|f(y))=(x|y)

Question 6

Que veut dire que f une app conserve la norme

Answer 6

||f(x)||=||x||

Question 7

Qu’es ce qu’une isométrie vectorielle ?

Answer 7

C’est un endomorphisme qui conserve la norme

Question 8

Quesqu’un automorphisme orthogonal ?

Answer 8

c’est un automorphisme qui conserve le produit scalaire

Question 9

Quesqu’une rotation ?

Answer 9

C’est un endomorphisme orthogonal de determinant 1

Question 10

Soit u–>E une application (pas necessairement linéaire),

donner la caractérisation des automorphismes orthogonaux et des isométries

Answer 10

L’application u est une isométrie vectorielle

ssi

L’application u est un automorphisme orthogonal

ssi

L’application u conserve le produit scalaire

ssi

u est linéaire et l’image par u d’une base orthonormale de E est une base orthonormale