Integrale généralisé Flashcards
Soit f une application continue par morceaux sur [a,inf[, que veut dire que l’integrale de f sur [a,inf[ est convergente ?
Ca veut dire que la fonction F(x)=int(a,x,f(t)dt) admet une limite fini en l’infini
on appel cette limite l’integrale généralisé de f sur [a,inf[
Soit phi dans :[a,inf[–>R+ continue par morceau et positive que dire de O:[a,inf[–>R+ définie par O(x)=int(a,x,phi(t)dt)
O est croissante
L’integrale de phi cv ssi O est majorée ?
soient f M0([a,inf]) et c€[a,inf].
L’intégrale de [a,inf[ par rapport à l’int de f sur [c,inf[
L’intégrale de [a,inf[ est de même nature que l’int de f sur [c,inf[ et int(a,inf,f(t)dt)=int(c,inf,f(t)dt)
Que dire de la convergence de l’integrale d’une fonction à valeur complexe ?
l’int d’une fonction à valeur complexe cv ssi Re et Im cv , le Re de la limite c’est la limite du Re
Si les integrales de f et de g converge sur [a,inf[ que dire de l’integrale de af+bg
elle cv et la limite c’est la combinaison linéaire
Que dire sur les inégalités avec l’integrale généralisé ?
et avec la valeur absolue ?
elle les conserve
rien à priori
Quesque le reste d’ordre x d’une M0 et si C0 que dire?
pour tout x€[a,inf[, R(x)=int(a,inf,f)-int(a,x) , R(x)–>0
R est C1 et R’=-f
Que dire de intg(a,b,f) si f est M0 sur [a,b]
alors elle cv et int(a,b,f)=intg(a,b,f)
S’il existe c€]a,b[tel que l’int de f sur]a,c] et l’intégrale de f sur [c,b[ convergent alors ?
alors cette propriété est vraie pour tout d dans ]a,b[ et on a
int(a,c,f)+int(c,b,f)=int(a,d,f)+int(d,b,f)
Soit f M0 sur ]a,b[, que veut dire que l’integrale de f est convergente sur]a,b[
ssi il existe c€]a,b[tel que : l’intégrale sur]a,c] cv et l’intégrale sur [c,b[ cv
intg(a,b,f)=intg(a,c,f)+intg(c,b,f)
Changement de variable
(a,b) dans R(barre) avec a
Integration par partie
On considère (a,b) dans R(barre) a
Si u,v ]a,b[–> K sont de classe C1 sur]a,b[ et si le produit uv admet des limites en a et en b alors
les int(a,b,u’v) et int(a,b,uv’) sont de mêmes natures en cas de cv
int(a,b,u’v)=[uv]b,a-int(a,b,uv’)
Que veut dire qu’une l’integrale de f M0 est absolument cv
elle est absolument convergente ssi l’integrale |f| est cv
Que dire si f est absolument cv
alors f est cv et |int(a,b,f)|<=int(a,b,|f|)
