Application Lineaires

Question 1

Que peux ton dire sur keru et Im(u) ?

Answer 1

Ce sont des sous espaces vectoriels

Question 2

Qu’es ce que lespace dual et comment est il noté ?

Answer 2

Cest l’ensemble des formes lineaire, il est note E*

Question 3

Que dire de L(E,F) ?

Answer 3

Cest un K espqce vectoriel pour (+,o)

Question 4

Soient (ei) une base de E et (fi) une famille de vecteur de F.
Que peut on dire sur les endomorphismes liant ces deux espaces ?

Answer 4

Alors il existe une unique application linéaire u de E dans F, qui vérifie u(ei)=fi et pour tout x € E, u(x)=sum(I, ei*(x)fi)

Question 5

Quels sont les propriétés des projecteurs ? F+G=E

Answer 5

Pf,g=Pf,goPf,g
Im(Pf,g)=F
Ker(Pf,g)=G
Donc Im et ker sont en somme directe

Pf,g+Pg,f = Id
Im(p)=Ker(p-IdE)

Question 6

Propriétés des symétries ?

Answer 6

sF,G =2pF,G - IdE
sF,GosF,G=IdE
Ker(sF,G-Id)=F et Ker(sF,G+Id)=G

Question 7

Hp Si pour tout x appartenant a E, il existe Lx appartenant a K / u(x)=Lx * x alors …

Answer 7

U est une homothétie

Question 8

Hp Ker u = Ker u**2 ssi …

Answer 8

Im(u) ^ Ker(u) = {0}

Question 9

Hp Im(u)=Im(u**2) ssi

Answer 9

Im(u) + Ker(u) = E

Question 10

(HP) Encadrement en dim finie de rg(uov)

Answer 10

Rg(u)+rg(v) - dim(E)

Question 11

(HP) Encadrement de rg(u+v)

Answer 11

|rg(u)-rg(v)|

Question 12

(HP) Rg(u+v)=rg u + rg v ssi …

Answer 12

Im u ^ Ker v = {0} et E =Ker u + Ker v

Question 13

(HP) en dimension finie egale à n, que peut on etablir sur u et ses puissances

Answer 13

Il existe p appartenant à 0, n tel que Ker(up)=Ker(u(p+1)) et Im(u(p+1))=Im(up)

Question 14

Qu’est une homothetie de rapport alpha ?

Answer 14

Cest un endomorphisme de la forme h=alpha*Id avec alpha un scalaire

Question 15

En dim finie, dim(ExF)=

Answer 15

dim(E) + dim(F)

Question 16

En dim finie, dim(L(E,F))=

Answer 16

Dim(E)Dim(F)