Réduction d'un endomorphisme Flashcards
Soit u un endomorphisme de E, que veut dire que F est stable par u ?
Qu’elle est l’autre formulation pour exprimer la même chose ?
Ca signifie que F est un sev de E et que pour tout x€F,u(x)€F
On dit également que u stabilise F
Soit u un endomorphisme de E, quels sont les opérations et les ensembles qui respectent la stabilité ?
Une intersection de sous espace stable est stable
Une somme de sous espace stable est stable
Tout espace inclu dans keru est stable
Tout espace contenant Im(u) est stable par u
Soit E un espace de dim finie à quelle condition u stabilise F (un sev de E) ?
ssi on prend B une base adaptée à F et que la matrice de u dans cette base est triangulaire par bloc
Qu’est ce qu’un endomorphisme induit ?
Soient u€L(E) et u stabilise F,
On pose uF:F–>F l’endomorphisme induit définit par uF(x)=u(x)
Qu’est ce que:
- Un vecteur propre
- une valeure propre
- le spectre
On dit que x€E et un vecteur propre de u ssi x est non nul et qu’il existe lambda€K / u(x)=lambda*x
On dit que lambda est valeur propre de u ssi il existe x€E non nul tel que u(x)=lambda*x
L’ensemble des valeurs propres est appelé spectre de u
Caractérisation de lambda est valeur propre de u
et en dim finie ?
lambda est valeur propre de u ssi u-lambdaId n’est pas injective
et en dim finie c’est ssi u-lambdaId n’est pas bijective
Si lambda€Sp(u), trouver une valeur propre de u**p
lambda**p
SI u est un automorphisme de E alors quels sont ses valeurs propres ?
Il n’y a pas 0, et ce sont les inverses de celles de u
Soit Lambda€Sp(u), qu’est-ce que le sous espace propre associé à la valeur propre lambda.
Quels sont ses éléments ?
C’est l’ensemble Elambda=Ker(u-lambda*Id)={x€E,u(x)=lambda*x}
0 et les vecteurs propres associés à la valeur propre lamba
Si v est un automorphisme de E qui commute avec u que dire des sous espaces propres de u ?
et de Im(u) et de Ker(u) ?
Ils sont stables par v
Si lambda est une valeur propre que dire son espace propre associé ?
Que dire de son endomorphisme induit ?
Il est stable par u (car u commute avec u …)
c’est une homothétie de rapport lambda
Que dire de la somme de p espaces propres en sommes directes dont leurs valeurs propres associées sont deux à deux distinctes ?
Elle est directe
Que dire d’une familles de vecteurs propres de u dont leurs valeurs propres associées sont deux à deux distinctes ?
C’est une famille libre !
Combien de vecteurs propres peut admettre au maximum un endomorphisme ?
En dim infinie pas de limite à priori,
mais en dim finie, au max dim(E)
Quels sont les valeurs propres de u en dimension finie
ce sont les racines dans K du polynome caractéristique.
En dimension finie que dire du sp(a-1*u*a) avec a un automorphisme ?
=sp(u)
Que dire si E est un C espace vectoriel, sur l’existence valeurs propres d’un endomorphisme u ?
Il en existe au moins une en dim finie !
Mais attention en dim infinie on sait pas !
Si F est un sous espace vectoriel de E stable par u et distinct de {0E} que dire sur les polynomes caractéristique induit et celui de u ?
On a le polynome caractéristique induit qui divise le polynome caractéristique de u
Que dire si la multiplicité de lambda dans le polynome caractéristique et supérieur ou égale à 1 ?
Alors lambda est valeur propre de u et 1<=Elambda<=m(lambda) avec m(lambda) la multiplicité.
Que veut dire que u est diagonalisable ?
Quesqu’une base de diagonalisation ?
Ca veut dire qu’il existe une base B dans laquelle la matrice de u est diagonale, on appel B base de diagonalisation
Soit u diagonalisable, que dire sur les vecteurs de la base B de diagonalisations ?
Donner le polynome caractéristique de u
Ce sont des vecteurs propres de u
et Xu=(X-lambda1)*(X-lambda2)….
Soit u diagonalisable, notons lambda1…lambdar les valeurs propres distinctes de l’endomorphisme u.
Que dire de la somme des sous espaces propres ?
Quel est son polynome caractéristique
la somme des sous espaces propres est directe est vaut E et on a Xu=(X-lambda1)**d1 * …(x-lambdar)**dr avec d1=dim(Elambda1(u))
3 caractérisation de u est diagonalisable
u diagonalisable
ssi la soumme de ses sous espaces propres est égale à E
ssi il existe une base de E constituée de vecteurs propres de u
ssi le polynome caractéristique de u est scindé sur K et dimElambda(u)=mXu(lambda) pour toute valeur propre de lambda de u.
Que dire des homothétie, des projecteurs et des symétries ?
Elles sont diagonalisables
