Réduction d'un endomorphisme

Question 1

Soit u un endomorphisme de E, que veut dire que F est stable par u ?

Qu’elle est l’autre formulation pour exprimer la même chose ?

Answer 1

Ca signifie que F est un sev de E et que pour tout x€F,u(x)€F

On dit également que u stabilise F

Question 2

Soit u un endomorphisme de E, quels sont les opérations et les ensembles qui respectent la stabilité ?

Answer 2

Une intersection de sous espace stable est stable

Une somme de sous espace stable est stable

Tout espace inclu dans keru est stable

Tout espace contenant Im(u) est stable par u

Question 3

Soit E un espace de dim finie à quelle condition u stabilise F (un sev de E) ?

Answer 3

ssi on prend B une base adaptée à F et que la matrice de u dans cette base est triangulaire par bloc

Question 4

Qu’est ce qu’un endomorphisme induit ?

Answer 4

Soient u€L(E) et u stabilise F,

On pose u_F:F–>F l’endomorphisme induit définit par u_F(x)=u(x)

Question 5

Qu’est ce que:

• Un vecteur propre
• une valeure propre
• le spectre

Answer 5

On dit que x€E et un vecteur propre de u ssi x est non nul et qu’il existe lambda€K / u(x)=lambda*x

On dit que lambda est valeur propre de u ssi il existe x€E non nul tel que u(x)=lambda*x

L’ensemble des valeurs propres est appelé spectre de u

Question 6

Caractérisation de lambda est valeur propre de u

et en dim finie ?

Answer 6

lambda est valeur propre de u ssi u-lambdaId n’est pas injective

et en dim finie c’est ssi u-lambdaId n’est pas bijective

Question 7

Si lambda€Sp(u), trouver une valeur propre de u**p

Answer 7

lambda**p

Question 8

SI u est un automorphisme de E alors quels sont ses valeurs propres ?

Answer 8

Il n’y a pas 0, et ce sont les inverses de celles de u

Question 9

Soit Lambda€Sp(u), qu’est-ce que le sous espace propre associé à la valeur propre lambda.

Quels sont ses éléments ?

Answer 9

C’est l’ensemble E_lambda=Ker(u-lambda*Id)={x€E,u(x)=lambda*x}

0 et les vecteurs propres associés à la valeur propre lamba

Question 10

Si v est un automorphisme de E qui commute avec u que dire des sous espaces propres de u ?

et de Im(u) et de Ker(u) ?

Answer 10

Ils sont stables par v

Question 11

Si lambda est une valeur propre que dire son espace propre associé ?

Que dire de son endomorphisme induit ?

Answer 11

Il est stable par u (car u commute avec u …)

c’est une homothétie de rapport lambda

Question 12

Que dire de la somme de p espaces propres en sommes directes dont leurs valeurs propres associées sont deux à deux distinctes ?

Answer 12

Elle est directe

Question 13

Que dire d’une familles de vecteurs propres de u dont leurs valeurs propres associées sont deux à deux distinctes ?

Answer 13

C’est une famille libre !

Question 14

Combien de vecteurs propres peut admettre au maximum un endomorphisme ?

Answer 14

En dim infinie pas de limite à priori,

mais en dim finie, au max dim(E)

Question 15

Quels sont les valeurs propres de u en dimension finie

Answer 15

ce sont les racines dans K du polynome caractéristique.

Question 16

En dimension finie que dire du sp(a-1*u*a) avec a un automorphisme ?

Answer 16

=sp(u)

Question 17

Que dire si E est un C espace vectoriel, sur l’existence valeurs propres d’un endomorphisme u ?

Answer 17

Il en existe au moins une en dim finie !

Mais attention en dim infinie on sait pas !

Question 18

Si F est un sous espace vectoriel de E stable par u et distinct de {0E} que dire sur les polynomes caractéristique induit et celui de u ?

Answer 18

On a le polynome caractéristique induit qui divise le polynome caractéristique de u

Question 19

Que dire si la multiplicité de lambda dans le polynome caractéristique et supérieur ou égale à 1 ?

Answer 19

Alors lambda est valeur propre de u et 1<=E_lambda<=m(lambda) avec m(lambda) la multiplicité.

Question 20

Que veut dire que u est diagonalisable ?

Quesqu’une base de diagonalisation ?

Answer 20

Ca veut dire qu’il existe une base B dans laquelle la matrice de u est diagonale, on appel B base de diagonalisation

Question 21

Soit u diagonalisable, que dire sur les vecteurs de la base B de diagonalisations ?

Donner le polynome caractéristique de u

Answer 21

Ce sont des vecteurs propres de u

et Xu=(X-lambda1)*(X-lambda2)….

Question 22

Soit u diagonalisable, notons lambda1…lambdar les valeurs propres distinctes de l’endomorphisme u.

Que dire de la somme des sous espaces propres ?

Quel est son polynome caractéristique

Answer 22

la somme des sous espaces propres est directe est vaut E et on a Xu=(X-lambda1)**d1 * …(x-lambdar)**dr avec d1=dim(E_lambda1(u))

Question 23

3 caractérisation de u est diagonalisable

Answer 23

u diagonalisable

ssi la soumme de ses sous espaces propres est égale à E

ssi il existe une base de E constituée de vecteurs propres de u

ssi le polynome caractéristique de u est scindé sur K et dimElambda(u)=mXu(lambda) pour toute valeur propre de lambda de u.

Question 24

Que dire des homothétie, des projecteurs et des symétries ?

Answer 24

Elles sont diagonalisables

Question 25

Que dire de u si u admet n=dim(E) valeurs propres distinctes ?

Answer 25

alors u est diagonalisable et les sous espaces propres de E sont tous de dimension 1

Question 26

Que signifie que u soit trigonalisable ? Comment s’appellent les bases où u est trigonalisable

Answer 26

u est trigonalisable ssi il existe une base dans laquelle u soit triangulaire supérieure

Base trigonalisation

Question 27

Si u est diagonalisable citez les propriétés particulière de u pour :

• le spectre
• son polynome caractéristique
• sa trace
• son déterminant

Answer 27

• Le spectre de u est non vide
• Xu = produit(Lambda=el du spectre,(X-Lambda)**m(lambda))
• Tr(u)=Somme(Lambda=el du spectre,m(lambda)*lambda)
• det(u)=produit(Lambda=el du spectre,(Lambda)**m(lambda))

Question 28

Caractérisation de u trigonalisable

Answer 28

u est trigonalisable ssi le polynome caractéristique de u est scindé sur K

Question 29

Qu’est ce que l’indice de nilpotence ?

Que dire sur l’indice de nilpotence pour un endomorphisme nilpotent en dim finie et non nul ?

Answer 29

C’est le plus petit indice qui fait “nilpoter”

Il est inférieur ou égal à la dimension de l’espace

Question 30

Si u est nilpotent d’indice p, construire un automorphisme et indiquer son inverse

Answer 30

IdE-u et (IdE-u) ^-1 =IdE+u+u²+u³+…u^(p-1)

Question 31

Caractérisations de u est nilpotent en dim finie

Answer 31

u est nilpotent

ssi il existe une base tel que la matrice de u soit triangulaire supérieure à diagonale nulle

ssi u est trigonalisable avec pour seule valeure propre 0

ssi X_u=xⁿ

Question 32

Que veut dire que F un sous espace vectoriel de Mn1(K) est stable par A ?

Answer 32

{AX,X€F}€F

Question 33

Qu’est ce qu’un vecteur propre pour une matrice

et une valeure propre ?

Answer 33

On dit que X est un vecteur propre de A ssi X estun vecteur colonne non nul et s’il existe lambda€K tel que AX=lambdaX

lambda est une valeure propre