Réduction d'un endomorphisme Flashcards
Soit u un endomorphisme de E, que veut dire que F est stable par u ?
Qu’elle est l’autre formulation pour exprimer la même chose ?
Ca signifie que F est un sev de E et que pour tout x€F,u(x)€F
On dit également que u stabilise F
Soit u un endomorphisme de E, quels sont les opérations et les ensembles qui respectent la stabilité ?
Une intersection de sous espace stable est stable
Une somme de sous espace stable est stable
Tout espace inclu dans keru est stable
Tout espace contenant Im(u) est stable par u
Soit E un espace de dim finie à quelle condition u stabilise F (un sev de E) ?
ssi on prend B une base adaptée à F et que la matrice de u dans cette base est triangulaire par bloc
Qu’est ce qu’un endomorphisme induit ?
Soient u€L(E) et u stabilise F,
On pose uF:F–>F l’endomorphisme induit définit par uF(x)=u(x)
Qu’est ce que:
- Un vecteur propre
- une valeure propre
- le spectre
On dit que x€E et un vecteur propre de u ssi x est non nul et qu’il existe lambda€K / u(x)=lambda*x
On dit que lambda est valeur propre de u ssi il existe x€E non nul tel que u(x)=lambda*x
L’ensemble des valeurs propres est appelé spectre de u
Caractérisation de lambda est valeur propre de u
et en dim finie ?
lambda est valeur propre de u ssi u-lambdaId n’est pas injective
et en dim finie c’est ssi u-lambdaId n’est pas bijective
Si lambda€Sp(u), trouver une valeur propre de u**p
lambda**p
SI u est un automorphisme de E alors quels sont ses valeurs propres ?
Il n’y a pas 0, et ce sont les inverses de celles de u
Soit Lambda€Sp(u), qu’est-ce que le sous espace propre associé à la valeur propre lambda.
Quels sont ses éléments ?
C’est l’ensemble Elambda=Ker(u-lambda*Id)={x€E,u(x)=lambda*x}
0 et les vecteurs propres associés à la valeur propre lamba
Si v est un automorphisme de E qui commute avec u que dire des sous espaces propres de u ?
et de Im(u) et de Ker(u) ?
Ils sont stables par v
Si lambda est une valeur propre que dire son espace propre associé ?
Que dire de son endomorphisme induit ?
Il est stable par u (car u commute avec u …)
c’est une homothétie de rapport lambda
Que dire de la somme de p espaces propres en sommes directes dont leurs valeurs propres associées sont deux à deux distinctes ?
Elle est directe
Que dire d’une familles de vecteurs propres de u dont leurs valeurs propres associées sont deux à deux distinctes ?
C’est une famille libre !
Combien de vecteurs propres peut admettre au maximum un endomorphisme ?
En dim infinie pas de limite à priori,
mais en dim finie, au max dim(E)
Quels sont les valeurs propres de u en dimension finie
ce sont les racines dans K du polynome caractéristique.
En dimension finie que dire du sp(a-1*u*a) avec a un automorphisme ?
=sp(u)
Que dire si E est un C espace vectoriel, sur l’existence valeurs propres d’un endomorphisme u ?
Il en existe au moins une en dim finie !
Mais attention en dim infinie on sait pas !
Si F est un sous espace vectoriel de E stable par u et distinct de {0E} que dire sur les polynomes caractéristique induit et celui de u ?
On a le polynome caractéristique induit qui divise le polynome caractéristique de u
Que dire si la multiplicité de lambda dans le polynome caractéristique et supérieur ou égale à 1 ?
Alors lambda est valeur propre de u et 1<=Elambda<=m(lambda) avec m(lambda) la multiplicité.
Que veut dire que u est diagonalisable ?
Quesqu’une base de diagonalisation ?
Ca veut dire qu’il existe une base B dans laquelle la matrice de u est diagonale, on appel B base de diagonalisation
Soit u diagonalisable, que dire sur les vecteurs de la base B de diagonalisations ?
Donner le polynome caractéristique de u
Ce sont des vecteurs propres de u
et Xu=(X-lambda1)*(X-lambda2)….
Soit u diagonalisable, notons lambda1…lambdar les valeurs propres distinctes de l’endomorphisme u.
Que dire de la somme des sous espaces propres ?
Quel est son polynome caractéristique
la somme des sous espaces propres est directe est vaut E et on a Xu=(X-lambda1)**d1 * …(x-lambdar)**dr avec d1=dim(Elambda1(u))
3 caractérisation de u est diagonalisable
u diagonalisable
ssi la soumme de ses sous espaces propres est égale à E
ssi il existe une base de E constituée de vecteurs propres de u
ssi le polynome caractéristique de u est scindé sur K et dimElambda(u)=mXu(lambda) pour toute valeur propre de lambda de u.
Que dire des homothétie, des projecteurs et des symétries ?
Elles sont diagonalisables
Que dire de u si u admet n=dim(E) valeurs propres distinctes ?
alors u est diagonalisable et les sous espaces propres de E sont tous de dimension 1
Que signifie que u soit trigonalisable ? Comment s’appellent les bases où u est trigonalisable
u est trigonalisable ssi il existe une base dans laquelle u soit triangulaire supérieure
Base trigonalisation
Si u est diagonalisable citez les propriétés particulière de u pour :
- le spectre
- son polynome caractéristique
- sa trace
- son déterminant
- Le spectre de u est non vide
- Xu = produit(Lambda=el du spectre,(X-Lambda)**m(lambda))
- Tr(u)=Somme(Lambda=el du spectre,m(lambda)*lambda)
- det(u)=produit(Lambda=el du spectre,(Lambda)**m(lambda))
Caractérisation de u trigonalisable
u est trigonalisable ssi le polynome caractéristique de u est scindé sur K
Qu’est ce que l’indice de nilpotence ?
Que dire sur l’indice de nilpotence pour un endomorphisme nilpotent en dim finie et non nul ?
C’est le plus petit indice qui fait “nilpoter”
Il est inférieur ou égal à la dimension de l’espace
Si u est nilpotent d’indice p, construire un automorphisme et indiquer son inverse
IdE-u et (IdE-u) -1 =IdE+u+u2+u3+…u(p-1)
Caractérisations de u est nilpotent en dim finie
u est nilpotent
ssi il existe une base tel que la matrice de u soit triangulaire supérieure à diagonale nulle
ssi u est trigonalisable avec pour seule valeure propre 0
ssi Xu=xn
Que veut dire que F un sous espace vectoriel de Mn1(K) est stable par A ?
{AX,X€F}€F
Qu’est ce qu’un vecteur propre pour une matrice
et une valeure propre ?
On dit que X est un vecteur propre de A ssi X estun vecteur colonne non nul et s’il existe lambda€K tel que AX=lambdaX
lambda est une valeure propre
