Convergence Simple et Uniforme Flashcards
Quelles propriétés passent à la convergence simple ?
Convexité, concavité, croissance, décroissance, ne marche que pour des propriétés qui passe bien avec les inégalités …
Que veut dire qu une suite d’application converge uniformément sur A vers f ?
On dit que la suite dapplication (fn) converge simplement sur A vers f ssi :
Pour tout epsilon >0 , il existe N de N / pour tout n >= N, pour tout x appartenant à A, |fn(x)-f(x)|
Que peut on dire sur la convergence simple d’une fonction qui convergerait uniformément ?
Et l’inverse ?
La convergence uniforme implique la convergence simple mais la reciproque est fausse !
(Fn) converge uniformement vers f ssi …
||fn(x)-f(x)||(infini sur A) –>0 qd n –> + infini
Comment montrer quune suite (fn) tend uniformément vers f
Sil existe une suite an independante de x tel que |fn(x)-f(x)|
Comment montrer que (fn) cvpu ?
S’il existe une suite an tel que |fn(an)-f(an)| ne tende pas vers 0 alors (fn) cvpu vers f
Comment montrer qu’une serie d’applications converge simplement sur A ?
On montre que la serie numerique de terme general fn(x) cv pour tout x appartenant à A
Quesque la somme de la serie d’applications
Et son reste d’ordre n ?
Cest l’application qui va de A–>K definie par la somme de la serie numerique
De meme pour le reste
Si la série dapp (fn) cvs sur A alors que peut on dire sur (fn)
Et si cvu ?
(Fn) cvs vers lapplication nulle, et (fn) cvu vers l’application nulle
Que veut dire que la serie numerique de terme general fn converge absolument sur A ?
Et normalement ?
Ca veut dire pour tout x appartenant a A la serie numérique de terme g |fn(x)| est convergente
Ca veut dire pour tout x appartenant a A la serie numérique de terme g ||fn(x)||est convergente
L’absolue convergence implique …
La convergence normale implique …
Convergence simple
Convergence uniforme
Comment montrer que serie app cvu ?
Convergence normale
Montrer, si serie (fn) cvs, que la suite dapp (Rn) cvu sur A vers l’application nulle
Theoreme de Weierstrass
Si f:[a,b] –> K est continue sur son segment alors il existe une suite (Pn) de polynomes qui converge uniformément sur [a,b] vers f
Que veut dire qu’une suite d’applications (fn) de K**D converge simplement sur A vers f ? (A[D)
La suite d’applications (fn) converge simplement sur A ssi pour tout x appartenant a A, fn(x) –> f(x) quand n–>+infini
