Anneau Z/nZ

Question 1

Que dire de (Z/nZ,+,x)?

Answer 1

C’est un anneau commutatif

Question 2

Soit x€Z/nZ et k € Z tel que n|k, que dire de kx ?

En particulier pour nx ?

Answer 2

kx = 0

nx=0

Question 3

a est inversible dans (Z/nZ,+,x) ssi

Answer 3

a^n=1

Question 4

(Z/nZ,+,x) est integre ssi

Answer 4

ssi n est premier

Question 5

Quel est la particularité des anneaux intègres finis ?

Answer 5

Ce sont des corps

Question 6

Quand Z/nZ est il un corps ?

Answer 6

ssi n est premier

Question 7

Quesque l’indicatrice d’Euler ?

Answer 7

C’est une application de N*–> N , définie par

Phi(n)=|{k€[|0,n-1|]/k^n=1}|

C’est donc le nombre d’entiers naturels compris entre 0 et n-1 premiers avec n

Question 8

A quoi correspond l’indicatrice d’Euler pour Z/nZ

Answer 8

le nombre de ses éléments inversibles

Question 9

Si m^n=1 à quoi est isomorphe Z/mnZ

Answer 9

Z/mZ X Z/nZ

Question 10

Si m^n=1 alors Phi(mn)=

Answer 10

=Phi(m)Phi(n)

Question 11

Si p premier alors Phi(p ^alpha )=

Answer 11

p^alpha - p ^alpha-1

Question 12

Supposons que n soit décomposé dans sa décomposition en facteurs premiers alors que vaut phi(n)

Answer 12

Phi(n)=n(1-1/p1)(1-1/p2)…(1-1/pr)

Question 13

Soit x€(Z/nZ)^x, que dire de x ^phi(n)

Answer 13

=1

Question 14

Soit p premier, et x€(Z/pZ) ^x , que dire de x ^p-1 et x ^p

Answer 14

=1 et =x

Question 15

(Euler) Soit a^n=1 alors que dire a ^phi(n)

Answer 15

c’est congru à 1 modulo n

Question 16

Théorème de Fermat

Answer 16

p premier

si p ne divise pas a alors a^p-1 est congru à 1[p]

et a^p = a [p]