Espaces Vectoriels (partie Convexe) Flashcards
Que veut dire que A est étoilé
Il existe a appartenant a A tel que pour tout x appartenant à A, [a,x] [ A
Que veut dire que A est convexe ?
Pour tout (x,y) € A**2, [x,y] [ A
Un sous espace affine est il convexe ?
Ouiiii !
Si x,y sont des elements de E que dire de [x,y]
Cest une partie convexe
Quels sont les partie convexes de R ?
Ce sont les intervalles
Soient A1 … Ap des points de E et alpha 1 … Alpha p des réels. On pose sigma la somme des alphas.
Quesque le barycentre du système (A1,apha1) … ? (Si sigma != 0)
Que dire si sigma = 0
Si sigma != 0, alors G = 1/sigma * sum(1,p,alphai*Ai) est le barycentre, et il est unique et verifie sum(1,p,aplhai(Ai-G))=0
Si sigma=0, pour tout (M,N)€E2, sum(1,p,Alphai(Ai-M))=sum(1,p,Alphai(Ai-N))
Quesque l’isobarycentre ?
Cest quand les coefficient alpha sont tous egaux et non nuls
Lien entre convexite et barycentre
Une partie A de E est convexe ssi elle contient les barycentres a coeff positifs de ses points
Quesque l’epigraphe de f : I –> R?
Que reppresente t’il ?
{(x,y)€R2 / x€I et f(x)
Quelle est la relation entre epigraphe et fonction convexe ?
F est convexe ssi son epigraphe est une partie convexe de R2
Soient F et G deux sous espaces vectoriels de E,
FUG est un sous espace vectoriel ssi …
Si F!=E et G!=E alors …
F[G ou G[F
FUG!=E
(HP) Quesque l’enveloppe convexe de A, comment la note t’on ? Quelle est sa forme
Lenveloppe convexe est l’intersection de toutes les parties convexes de E qui contiennent A.
On la note Conv(A)
Cest la plus petite au sens de l’inclusion,
Conv(A) est egal à l’ensemble des barycentres à coefficients des points de A
Quappel t’on segment d’extrémité x, y dans E, un K-ev
[x,y]={z appartenant à E, il existe lambda appartenant à [0,1] / z=(1-lambda)x + lambday }
Comment caracteriser une sous algebre B
Pour tout a,b appartenant a K2, pour tout (x,y)appartenant à B2, ax+by € B
Pour tout (x,y)€B2, xy€B2
1A€B
Quest un morphisme de K algebre de A dans A’
Une application lineaire
Pour tout x,y €A**2, u(xy)=u(x)u(y)
U(1A)=1 A’
