Théorème spéctral

Question 1

Soit E un espace euclidien, u un endomorphisme de E, que veut dire que u est symétrique ?

Quel est l’ensemble des endomorphismes symétriques ?

Answer 1

ssi pour tout x,y dans E, (u(x)|y)=(x|u(y))

S(E)

Question 2

Soit E un espace euclidien, u un endomorphisme de E,

à quelle condition(s) sur la matrice de u dans la base B implique u symétrique

Answer 2

si la matrice de u dans la base B est symétrique et B une base orthogonale alors u est symétrique

Question 3

Soit E un espace euclidien, u un endomorphisme symétrique de E,

Que cela implique t’il sur Xu, sur les valeurs propres, et sur les vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes.

Si F est stable par u quel espace notable est également stable ?

Answer 3

Xu est scindé sur R donc le spéctre n’est pas vide et toutes les valeurs propres sont réelles. Les vecteurs propres associées à des valeurs propres distinctes sont égalements orthogonaux.

SI F est stable par u alors l’orthogonal de F est également stable par u.

Question 4

Citer le théorème spéctrale pour les endomorphismes

Answer 4

Soit E un espace euclidien, u un endomorphisme symétrique de E,

• alors il existe une base orthogonale de E constituée de vecteurs propres de E
• alors u est diagonalisable ey si λ1,…,λr sont les valeurs distinctes de u alors E=Eλ1(u)+…Eλr(u) (somme directe) et Eλ1(u),…,Eλr(u) sont deux à deux orthogonaux.

Question 5

Soit A une matrice carrée d’ordre n>=1 à coefficient dans R,

Que veut dire que A est symétrique ?

Comment est appelé l’ensemble des matrices symétriques ?

Answer 5

A est symétrique ssi ^tA=A

Sn(A)

Question 6

Soit A et B dans Mn(R), Que veut dire que A et B sont orthogonalement semblables ?

Answer 6

ssi il existe P€On(R) telle que P^-1 AP=B

Question 7

Citer théorème spéctrale pour les matrices

Qu’est t’il vraiment important de retenir ?

Answer 7

Soit E un espace euclidien, u un endomorphisme symétrique de E,

alors A est orthonalement semblable à une matrice diagonale

alors A est diagonalisable et si λ1,…,λr sont les valeurs distinctes de A alors E=Eλ1(A)+…Eλr(A) (somme directe) et Eλ1(A),…,Eλr(A) sont deux à deux orthogonaux.

La matrice A est symétrique ssi A est orthogonalement semblable à une matrice diagonale