Suites et series à valeur dans un espace vectoriel normé

Question 1

Soit xn une suite d’éléments de E et a un vecteur, que veut dire que xn tend vers a dans (E,|| ||) ?

Answer 1

xn tend vers a dans (E,|| ||) ssi ||xn - a|| –> 0 dans R

Question 2

Soit a,b deux vecteurs de E que dire si xn€E^N tend vers a et tend vers b dans E,|| ||

Answer 2

on a a=b

Question 3

Que veut dire que la suite (xn) est convergente et divergente dans E || ||

Answer 3

ca veut dire qu’il existe un vecteur vers lequel la suite (xn) tend, et (xn) est dite divergente ssi elle n’est pas convergente

Question 4

Que veut dire que (xn) une suite d’éléments de E est bornée ?

Answer 4

Ca veut dire que la suite de réel positif (||xn||) est majorée

Question 5

Citer 3 propriétés pour des normes concernant la convergence/ le fait d’être borné, pour des normes équivalente N1 et N2

Answer 5

(xn) est bornée dans N1 ssi (xn) est bornée dans N2
(xn) tend vers a dans N1 ssi (xn) tend vers a dans N2
(xn) est convergente dans N1 ssi (xn) est convergente dans N2

Question 6

Que dire sur (xn) si (xn) est convergente ?

Answer 6

Elle est bornée

Question 7

Que dire de lim||xn|| si xn–>a

Answer 7

=a

Question 8

Si xn tend vers a que dire des suites extraites xn ?

Answer 8

Elle convergent toutes vers a

Question 9

Caractérisation de (xn) –> a avec des suites extraites

Answer 9

(xn) –> a ssi lim x_2N=a et lim x_2N+1=a

Question 10

Si (xn), (yn) €E^N et (an)(bn)€K^N alors que dire de (an xn +bn yn) si toutes les suites sont convergente ?

Answer 10

(an xn +bn yn) est convergente et

lim(an xn +bn yn)=liman limxn +limbn limyn

Question 11

soit ((xn,yn)) une suite d’éléments de ExF et si (a,b)€ExF alors que dire la limite de la suite ?

Answer 11

lim((xn,yn))=(a,b) ssi lim xn = a et lim yn = b

Question 12

En dimension finie, caractériser xn –> a

Answer 12

xn –>a ssi (on prend une base B,Pour tout j€[1,p],

lim ej*(xn) = lim ej*(a)

Question 13

Quesqu’une valeur d’adhérence a ?

Answer 13

On dit que a est une valeur d’adhérence ssi il existe une sous suite qui cv vers a

Question 14

Que dire de d’une valeur d’adhérence de (xn) dans N1 dans N2 ?

Et si elles sont équivalentes ?

Answer 14

Rien !

Alors dans N2 admet égament cette valeur d’adhérence

Question 15

Citer “Bolzano Werastrass” dans E ?

Quand est-il valable ?

Answer 15

DimE<+inf alors toute suite bornée d’éléments de E on peut extraire une sous suite qui converge

Question 16

Caractérisation de la convergence avec valeurs d’adhérence pour E fini.

Answer 16

Une sous suite bornée d’éléments de E est convergente ssi elle admet une unique valeur d’adhérence

Question 17

Supposons E de dim finie et B une base caractérisation de la serie de terme ge un cv

Answer 17

serie de terme ge un cv ssi la serie numérique sum(ej*(un)) pour tout j

On a l’égalité : sum(n=0,inf,un)=sum(n=0,inf,e1*(un))e1+…

Question 18

Quesqu’une série absolument convergente ?

Answer 18

une serie est absolument convergente ssi sum(n=0,||un||) est convergente

Question 19

||sum(n=0,inf,un)||<= …

Answer 19

<=sum(n=0,inf,||un||)

Question 20

Quesque l’exponentiel d’une matrice ?

Answer 20

sum(n=0,inf,A^k /k!)

e^A

Question 21

Que dire de l’exponentiel de A+B ?

Answer 21

Rien à priori,

mais si AB=BA alors Exp(A+B)=ExpA*ExpB

Question 22

Que dire de la matrice Exp(A) ?

Answer 22

Elle est inversible et Exp(A^)-1=Exp(-A)

Question 23

Que dire de l’exponentiel d’un endomorphisme ?

Answer 23

C’est tout pareil que l’exponentiel d’une matrice

Question 24

soit a€L(E), Si B est une base de E alors M_B(Exp(a))=

Answer 24

Exp(M_B(a))