Variables aléatoires discrètes Flashcards
Définition - Tribu
On appelle tribu sur l’ensemble Omega, toute partie A de P(Omega) telle que :
Omega appartient a A
A est stable par passage au complémentaire (dans Oméga) : pour tout B de A, Omega\B appartient a A
A est stable par union dénombrables : si (An)(ndeN) est une famille d’éléments de A, alors l’union U(ndeN)An appartient a A
Un couple (Oméga,A) ou A est une tribu est appelé espace probabilisable. Les elts de A sont des événements.
Remarque a propo de la def de Tribu
On dit parfois que les evenements sont les parties mesurables, ou observables de Omega. Si A est une tribu sur Omega, alors Ø appartient a A, et A est stable par union finie, par intersection au plus dénombrable et par différence ensembliste.
Indeed: inter(ideN)Ai=_(U_Ai)
Soit A et B, A\B = An_B
Exemple - Tribu
1/ {Ø,Oméga} est une tribu sur Omega. Appelée tribu grossiere, ou tribu triviale
2/ P(Oméga) est une tribu sur Oméga, appelée parfois tribu discrète, c’est souvent celle que l’on considère lorsque Omega est au plus dénombrable.
Notion de tribu engendrée
On pourrait définir la notion de tribu engendrée par des elts de A. Par ex : si A est une partie de Oméga, la tribu engendrée par A est {A,Ø,Oméga,Oméga\A}
Définition - Evènement élémentaire
On appelle événement élémentaire tout singleton appartenant a A
Définition - Evènement impossible, événement certain
Ø est appelé événement impossible, et Omega est appelé évènement certain.
Définition - événement contraire, conjonction et disjonction
Si A est un événement, son événement contraire est son complémentaire (dans Oméga)
On le note _A et on le nommera “non A”
Si A et B sont deux événements, on définit les événements “A et B” et “A ou B” correspondants respectivement a AnB et AuB
A et B sont dit incompatibles s’ils sont disjoints
AcB pourra sse lire : A implique B
Définition - Probabilité
Une probabilité sur un ensemble probabilisable (Oméga, A) est une application P définie sur A, à valeurs dans [0,1 ] telle que :
1) P(Oméga)=1
2) (sigma-additivité) Pour toute suite (An)ndeN d’événements deux a deux disjoints: P(U(0,8)An)=som(0,8)P(An)
Si P est une probabilité sur (Oméga,A), on dit que (Oméga,A,P) est un espace probabilisé
Définition - événement négligeables, événements presque sûrs
Un événement A est dit négligeable (resp. presque sûr) si P(A)=0 (resp(A)=1)
Proposition - Se donner une probabilité
Si Oméga est fini ou dénombrable et si A=P(Oméga), une probabilité P sur (Oméga, A) correspond à la donnée, via la formule P({w})=pw d’une famille (pw)wdeOméga de réels positifs sommable de somme 1
Proposition - Propriétés des probabilités
1) P(Ø)=0
2) (additivité finie) Pour tous événements A1,…,An incompatibles deux a deux P(U(1,n)Ai)=som(0,n)P(ai)
3) Pt evenement A, P(_A)=1-P(A)
4) Pt événements A et B, P(AuB)=P(A)+P(B)-P(AnB)
5) P est croissante (pour l’ordre d’inclusion)
Proposition - Continuité croissante
Si (An) nsup0 est une suite d’événements croissante pour l’inclusion, alors P(An) tend n(8) P(U(0,8)Ak)
Proposition - Continuité décroissante
Si (An) nsup0 est une suite décroissante d’événements (pour l’inclusion) , alors P(An) tend (n,8) P(n(0,8)Ak)
Proposition - Sous-additivité
Si (An)nsup0 est une suite d’événements, alors
P(U(0,8)An) inf som(0,8)P(An)
Corollaire - Réunion d’événements négligeables
Une réunion finie ou dénombrable d’événements négligeables est négligeable
