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Maths > Espaces Vectoriels Normés > Flashcards

Espaces Vectoriels Normés Flashcards

1
Q

Axiome de séparation

A

Pt x de E, si ||x|| = 0 alors x=0E

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Q

Inégalité triangulaire

A

Pt x,y de E, ||x+y|| inférieur ou égale ||x|| + ||y||

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3
Q

Homogénéité

A

Pt (a,x) de RxE ||ax|| = |a| ||x||

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4
Q

Seconde inégalité triangulaire

A

Ou inf= ||x-y||

||x|| - ||y|| | inf= ||x+y||

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Q

Norme induite

A

Si (E,||.||) est un evn et si F est un ss ev de E alors la restriction de ||.|| a F est une norme sur F appelée norme induite sur F par la structure d’evn de E

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6
Q

Boule fermée

A

L’ensemble (x de E, d(x,a) inf= r) est boule fermée de centre a (positif) et de rayon r noté _B(a,r)

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7
Q

Boule ouverte

A

L’ensemble (x de E tq d(x,a) inf r) est la boule ouverte de centre a de rayon r note B(a,r)

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8
Q

Sphère

A

L’ensemble (x de A, tq d(x,a) est appelé sphère de centre a de rayon r note S(a,r)

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9
Q

Boule unité

A

Boule de centre 0E de rayon 1

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10
Q

_B(a,r) peut être vide ?

A

Non (a est dedans)

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11
Q

B(a,r) est non vide ssi

A

R supérieur à 0

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12
Q

S(a,r) est non vide ssi

A

R=0 ou si E différent de {0E}

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13
Q

Une partie A de E est bornée ssi

A

Elle est incluse dans une boule (fermée ou ouverte) centrée en 0E

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14
Q

Une partie A de E est bornée si

A

Il existe M de R+ tq pt a de E ||a|| inf égale M

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15
Q

Une suite ou une fonction à valeur dans E est dite bornée si

A

Son image l’est

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16
Q

Union d’un nombre fini de parties bornées

A

Est bornée

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17
Q

Une partie d’une partie bornée est

A

Bornée

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18
Q

Toute boule

A

Est bornée

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19
Q

Diamètre d’une partie non vide et bornée A de E

A

C’est le réel sup (d(x,y), (x,y) de A)

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20
Q

Soit a de E, soit A une partie de E

On dit que A est un voisinage de a, ou que a est intérieur a A si

A

Il existe E supérieur à 0, tq B(a,E) C A

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21
Q

a est intérieur a A ssi

A

Il existe E supérieur 0 tq B(a,E) C A

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22
Q

Toute partie de E contenant un voisinage de a :

A

Est un voisinage de a

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23
Q

L’intersection d’un nombre fini de voisinage de a est

A

Est un voisinage de a

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24
Q

Intersection d’un nombre infini de voisinage de a

A

N’en est pas toujours un

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25
Q

Étant donné deux points distincts a et b de E,

A

Il existe 2 voisinages Va et Vb tq Va inter Vb soit l’ensemble vide

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26
Q

Une partie A de E est dite ouverte si

A

Elle est un voisinage de chacun de ses points

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27
Q

Une union quelconque d’ouverts

A

Est un ouvert de E

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28
Q

Une intersection finie d’ouverts de E est

A

Un ouvert de E

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29
Q

Une intersection quelconque d’ouverts de E

A

n’est pas toujours un ouvert de E

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30
Q

Une boule ouverte est un ouvert ?

A

Oui connard

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31
Q

Définition (fermé d’un espace normé)

A

Une partie A de E est dite fermée si sin complémentaire est un ouvert de E

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32
Q

A propos des Fermé

A

Une intersection quelconque de fermés est un fermé
Une union finie de fermés de E est un fermé de E
Une union quelconque de fermé de E n’est pas toujours un fermé de E

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33
Q

Définition point adhérent

A

Un point a de E est adhérent à une partie A de E si A rencontre tout voisinage de a

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34
Q

a est adhérent à A ssi

A

Pt epsilon B(a,epsilon) inter A dif ø

ssi

D(a,A) = 0

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35
Q

Def intérieur de A

A

Et on note A° l’ensemble des points intérieurs a A

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36
Q

Def adhérence de A

A

L’adhérence de A est l’ensemble des points adhérents à A on note _A

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37
Q

Def frontière de A

A

L’ensemble des points adhérents à A dt a son complémentaire (on note parfois Fr(A)

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38
Q

Un point appartient à Fr(A) ssi

A

Il est a distance nulle de A et de E\A son complémentaire

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39
Q

Soit A une partie de E

L’intérieur de A est

L’adhérence de A est

A

Le plus grand ouvert de E contenue dans A

Le plus petit fermé de E contenant A

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40
Q

Lien entre A, A°, et _A

A

A° C A C _A

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41
Q

Pour tout r sup 0, pt a de E,

Adhérence, intérieur, frontière de _B(a,r) et B(a,r)

A

C’est la meme, _B(a,r) pour l’adhérence
B(a,r) pour l’intérieur
Meme frontière S(a,r)

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42
Q

Une Norme sur le K-ev E est une application ||.|| de E dans R+ vérifiant :

A

1) Axiome de séparation
2) inégalité triangulaire
3) homogénéité

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43
Q

La norme associé au produit scalaire vérifie l’identité du parallélogramme ie :

A

Pt x,y de E

||x+y||^2 + ||x-y||^2 = 2 (||x||^2 + ||y||^2)

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44
Q

Norme 1: || ||1

A

Pt x= (x1, …. , xn) de K^n

||x||1 = som (1,n) |xi|

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45
Q

Norme 2: || ||2

A

Pt x = (x1, … ,xn) de K^n

||x||2 = racine ( som (1,n) |xi|^2)

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46
Q

La norme infinie : || ||8

A

Pt x= (x1,…,xn) de K^n

||x||8 = sup ( |xi| )

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47
Q

Un vecteur d’un evn E est unitaire si

A

Il est de norme 1

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48
Q

Définition distance associé à une norme

A

Étant donné une norme ||.|| sur E, l’application

D: E^2 dans R+
(x,y) associe ||x-y||

C’est la distance associé à la norme ||.||

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49
Q

Espace métrique

A

Ensemble muni d’une distance

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50
Q

Définition : distance d’un point a une partie non vide

A

Soit x de E, et A une partie non vide de E. On appelle distance de x a A le réel d(x,A) = inf ( d(x,a) à de A)

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51
Q

Équivalence des normes en dimension finie

A

Sur un K-ev de dimension finie, toutes les normes sont équivalente

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52
Q

Comment montrer qu’un K-ev n’est pas de dimension finie

A

On exhibe 2 normes qui ne sont pas équivalente

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53
Q

Une fonction numérique de C1 dont la dérivé est bornée sur I

A

Est k lipschitzienne

54
Q

La composée d’une application k-lipschitzienne et d’une application k’-lipschitzienne est

A

kk’-lipschitzienne

55
Q

L’espace vectoriel normé (B(E,N), || ||8) est noté

A

l8(E)

56
Q

L’ensemble des suites convergentes de (E,|| ||) est un ss-ev de

A

l8(E) et l’application qui a tte suite convergente associe sa limite est linéaire est 1-lipschitzienne

57
Q

Soit un une suite d’éléments de E. On dit que un converge vers le vecteur b de E pour la norme || || lorsque

A

La suite réelle || Un - l || converge vers 0

58
Q

Toute suite convergente est

A

Bornée

59
Q

Soit Un et Vn qui convergent respectivement vers b et c pour la norme N alors :

A

La suite (Un + Vn) converge vers b+c pour la norme N

Pour lambda de R, la suite lambdaUn converge vers lambda b pour la norme N

60
Q

Convergence des suites d’un espace vectoriel normé produit

E = E1 x … x Ek muni de || ||8

A

Soit xn = (xn1, … Xnk) une suite d’elts de E. Soit b = (b1, … , bk) de E. Alors xn converge vers b si pt i de 1 à k, xni converge vers bi

61
Q

Def valeur d’adhérence

A

Soit Un une suite d’elts de E, on dit que x de E est une valeur d’adhérence de Un lorsque x est la limite d’une suite extraite de Un

62
Q

Si Un est convergente, alors

A

Un possède une unique valeur d’adhérence : sa limite

63
Q

Si une suite à deux valeurs d’adhérence

A

Alors elle diverge

64
Q

Exemple de suite réelle ayant deux valeurs d’adhérence et divergent

A

(-1)^n

65
Q

Exemple de suite ayant une valeur d’adhérence mais divergent

A

n(1+ (-1)^n)

66
Q

Une suite Un à valeurs dans E est convergente ssi

Suite extraites pairs et impairs

A

Ses suites extraites paire et impaire convergent vers la meme limite

67
Q

Une partie est fermé ssi

A

Elle contient son adhérence

68
Q

Caractérisation séquentielle de l’adhérence

A

Soit x de E, A une partie de E, x est adhérent à A ssi x est limité d’une suite d’éléments de A

69
Q

Partie fermé, suite convergente :

A

Une partie A de E est fermée ssi toute suite convergente a valeurs dans A converge vers un elts de A

70
Q

On dit qu’une partie D est dense sans E si

A

Son adhérence est égale a E

71
Q

Soit A une partie de E, les ptés suivantes sont équivalentes :

A

A est dense dans E
Toute partie ouverte non vide ♎️ de E vérifie ♎️inter A différent de ø
Pt élément x de E, il existe (An) d’éléments de A qui converge vers x

72
Q

Une partie A de E est un compact de E lorsque

A

Toute suite d’éléments de A admet une suite extraite qui converge vers un élément de A

73
Q

Exemple de partie compact

A

Toute partie finie de E est un compact de E

74
Q

Toute partie compacte d’un evn E est

A

Fermé et bornée

75
Q

Toute partie fermée contenue dans une partie compacte de E est

A

Une partie compacte de E

76
Q

Une suite d’éléments d’une partie compacte de E converge ssi

A

Elle admet une unique valeur d’adhérence

77
Q

Produit de compacts

A

Si A est une partie compacte de E et B est une partie compacte de F alors A x B est une partie compacte de E x F

78
Q

Theoreme de Bolzano - Weierstrass

A

De tte suite bornée de R de C de C^n et R^n on peut extraire une suite convergente

79
Q

Theoreme de Borel-Lebesgue

A

Les parties compactes de K^n sont les paries bornées et fermées de K^n

80
Q

A est dense dans E ssi

A

Tout point de E est limité d’une suite de points de A

81
Q

Q et R\Q sont ils dense dans R ? Et d’intérieur vide ?

A

Double oui connard

82
Q

Q^n est il dense dans R^n ?

A

Trivial

83
Q

Formulation pour dire que Un converge vers l avec des boules

A

Pour tout epsilon supérieur à 0 il existe N de N tel que pour tout n supérieur à N, Un est inclu dans une boule de centre l et de rayon epsilon :)

84
Q

Comment montrer que toute suite d’élément de E n’admet qu’une limite ?

A

Pour tout n de N, || l - l’ || inf ou égale || l-un || + || un-l || ce qui tend vers 0

( l- l’ = l - un + un - l’ )

85
Q

Définition Ouvert relatif

A

Soit A de E, on appel ouvert relatif de A toute intersection d’un ouvert de E avec A

86
Q

Définition fermé relatif

A

Soit A de E, on appel fermé relatif de A toute intersection d’un fermé de E avec A

87
Q

Voisinage relatif définition

A

Soit a de A, on appel voisinage relatif de a dans A toute intersection d’un voisinage de a dans E avec A

88
Q

Tout fermé, ouvert, voisinage relatif de A est

A

Une partie de A

89
Q

B est un ouvert relatif de A ssi

Complémentaire

A

Son complémentaire dans A est un fermé relatif de A

90
Q

Une union quelconque et une intersection fine d’ouverts relatifs de A

A

En est encore un

91
Q

Une intersection quelconque et une union finie de fermés relatifs de A

A

En est encore un

92
Q

Soit B une partie de A.

B est un fermé relatif de A ssi

A

Pour toute suite xn de points de B, convergeant dans A, la limite de (xn) est dans B

93
Q

1 ère et deuxième reformulations de la limite d’une fonction dans un EVN

f de A dans F

A

1 f admet l pour limite en a

2 pt boule B de rayon non nul centrée en l, il existe une boule de rayon non nul B’ centrée en a tel que f(AinterB’) C B

94
Q

3 et 4 eme reformulation de la limite d’une fonction dans un EVN

f de A dans F

A

Pour tout voisinage V de l dans F, il existe un voisinage relatif V’ de a dans A tel que f(V’)CV
Pour tout voisinage V de l dans F, f-1(V) est un voisinage relatif de a dans A

95
Q

Caractérisation séquentielle de la limite d’une fonction

A

f admet l pour limite en a ssi pour toute suite Un de point de A qui tend vers a, limite quand n tend vers l’infini de f(Un) tend vers l

96
Q

Limite d’une fonction dans un EVN produit

A

Soit F un EVN produit F1x…xFp et l=(l1,…,lp) et f=(f1,…,fp)
La fonction f tend vers l en a ssi pour tout k la fonction fk tend vers lk en a

97
Q

f est dite continue en a si

A

f admet une limite en a

98
Q

Caractérisation séquentielle de la continuité en un point

A

f est continué en a ssi pour toutes suites Un de points de A de limite a, f(Un) converge vers f(a)

99
Q

Opération algébrique sur les applications continues

A

Si f et g de A dans F sont continue en a, alors leurs combinaisons linéaires le soir aussi.

Si F est une K algèbre normée, le produit fg l’est

100
Q

Prolongement par continuité

A

Si f admet une limite finie l en un point b adhérent à son domaine, alors on définie le prolongement par continuité de f en b comme la fonction f~ def sur AU{b}

101
Q

Continuité globale

A

La fonction f de A dans F est dite continue sur A si elle est continué en chaque point de A. On note C°(A,F) ou C(A,F) l’ensemble des fº continues

102
Q

C(A,F) structure

A

Kev et meme

K-algebre lorsque F est une K-algebre normee

103
Q

Caractère locale de la continuité

A

Soit f de A dans F, f continue sur A ssi pour tout a de A, il existe un voisinage relatif V de a (dans A) tel que f|v soit continue sur V

104
Q

Caractérisation des applications continues

Les assertions suivantes sont équivalentes

A

f est fontine sur A ssi
Pour tout ouvert X de F, f-1(X) est un ouvert relatif de A ssi
Pour tout fermé X de F, f-1(X) est un fermé relatif de A

105
Q

Prolongation d’une égalité par densité

A

Deux applications continues qui coïncident sur une partie dense sont égales

106
Q

Toutes fonction lipschitzienne sur un domaine bornée est

A

Bornée

107
Q

Toute application lipschitzienne est

A

Uniformément continue

108
Q

Lorsque F est une K algèbre normee, le produit de fonction lipschitzienne

A

n’est pas tjrs lipschitzien, une condition suffisante pour qu’il le soit est que f et g soient en outre bornée

109
Q

L’application norme de E dans R est

A

1 lipschitzienne

110
Q

Caractérisation de continuité des applications linéaires

A

Pour que u linéaire de E dans F sor continue, il faut et il suffit qu’il existe C supérieur à 0 tq pt x de E, ||u(c)|| inf C||x||

111
Q

Une application linéaire est continue ssi

A

Elle est lipschitzienne ssi
Elle est UC ssi
Elle est continué en 0E

112
Q

Caractérisation de continuité des applications bilinéaires

Soit E,F,G 3 EVN, et B: ExF dans G une application bilinéaire les assertions suivantes sont équivalentes

A

B est continué sur ExF (pour la structure d’evn produit
Il existe C de R+ tel que pt x,y de ExF
||B(x,y)|| inf C||x|| ||y||

113
Q

Définition normes équivalentes

A

Soir N1 et N2 des normes sur le meme Kev, on dit qu’elles sont équivalentes s’il existe b et c strictement positif tq pt x de E, aN1(x) inf N2(x) inf bN1(x)

114
Q

Pte normes équivalente

A

Cela définit une relation d’équivalence sur l’ensemble des normes de E

115
Q

Pour montrer que deux normes ne sont pas équivalentes

A

On trouve une suite Un d’éléments tous non nuls de E tq N1(Un)/N2(Un) tende vers 0 ou l’infinie

116
Q

Boules et normes équivalentes

A

Dire que deux normes sont équivalente, c’est dire que la boule unité de chacune contient une boule de rayon non nul pour l’autre centrée en 0E

117
Q

Équivalences sur les boules et normes équivalentes

A

Pt x de E N2(x)inf bN1(x)
B1(0,1) inclu dans B2(0,b)
Pour tout a de E, pt r de R+, B1(a,r)incluB2(a,br)

118
Q

Caractérisation de l’équivalence de deux normes

N1 et N2 sont équivalentes ssi

A

La boule unité pour chacune de ces normes est un voisinage de 0E pot l’autre ssi
Ces normes définissent les mêmes parties bornées, voisinages, ouverts, fermées

119
Q

L’existence de b supérieur stricte a 0 tq N1(x) inf bN2(x) signifie que

A

Tout voisinage d’un point pour N1 est un voisinage de ce point pour N2
(E possède plus de voisinage pour N2 que pour N1) on dit que N2 est plus fine

120
Q

Une fonction de R dans R est continue sur R ssi

A

Sa restrictions à tout segment est continue

121
Q

Quelle propriete vérifie la norme d’algebre ?

A

Pour tout u,v de E

||uv|| inferieur ou egale a ||u|| ||v||

122
Q

Definition de la distance dans R

A

Pour tous x,y de r d(x,y)=|arctan(y) -arctan(x)|

123
Q

Un intervalle I de R est d’interieur vide ssi

A

I est vide ou est un singleton ssi

I est fini

124
Q

Combinaison linéaire de normes sur l’espace vectoriel normée E

A

Si N1,…,Nn sont des normes sur E? alors pour tous @1,…,@n de R+, non tous nuls, som(1,n)@kNk est une norme sur E.

125
Q

Que dire de la composée d’une norme et d’une application linéaire phi, dont on sait que |phi| est une semi norme.

A

Nophi est une norme ssi phi est injective

126
Q

Quels sont les ensembles de E a la fois fermé et ouvert ?

A

{OE} et E tout entier

127
Q

Caractérisation des ouverts relatifs

A

Soit B une partie de A, B est un ouvert relatif de A ssi pour tout b de B, B est un voisinage relatif de b dans A.

128
Q

Continuité des applications bilinéaires en dimension infinie

A

Nous avons caractérisé la continuité des applications linéaires en dimension quelconque.
En fait, il existe une caractérisation analogue pour les applications bilinéaires ne figurant pas au programme : soit E; F;G trois EVN, et B de ExF dans G
une application bilinéaire. Les assertions suivantes sont équivalentes :
(1) B est continue sur ExF (pour la structure d’evn produit).
(2) Il existe C de R+ tel que pt (x,y) de ExF, ||B(x,y)|| inf C||x||||y||

129
Q

Comment montrer la continuité du produit scalaire en dimension infnie

A

Pour la continuite de phi qui a (x,y) de E préhilbertien associe (x|y) , le plus simple est d’utiliser encore la caractérisation séquentielle, et d’imiter la preuve de convergence du produit de deux suites convergentes :
|(xn|yn) - (a|b)| = |(xn|yn) - (xn|b) + (xn|b) - (a|b)|
= |(xn|yn - b) + (xn - a| b)|
inff |(xn|yn - b)| + |(xn - a|b)|
inff ||xn|| ||yn - b|| + ||xn - a|| ||b||

130
Q

Que dire de la boule unité fermé d’un EVN E de dimension infinie

A

Elle n’est jamais compact, d’après le théorème de Riesz, hors programme

131
Q

GLn(C) est il connexe par arc ? GLn(R) ?

A

Oui et non.
Pour le premier, on le montre en considérant une application phi qui a @associe @A + (1-@)In et le det.. ( On montre que detophi n’est pas identiquement nulle. Puis que les racines de phi est un ensemble fini et on utilise la connexité par arc de C\Z.

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