Espaces Vectoriels Normés Flashcards
Axiome de séparation
Pt x de E, si ||x|| = 0 alors x=0E
Inégalité triangulaire
Pt x,y de E, ||x+y|| inférieur ou égale ||x|| + ||y||
Homogénéité
Pt (a,x) de RxE ||ax|| = |a| ||x||
Seconde inégalité triangulaire
Ou inf= ||x-y||
||x|| - ||y|| | inf= ||x+y||
Norme induite
Si (E,||.||) est un evn et si F est un ss ev de E alors la restriction de ||.|| a F est une norme sur F appelée norme induite sur F par la structure d’evn de E
Boule fermée
L’ensemble (x de E, d(x,a) inf= r) est boule fermée de centre a (positif) et de rayon r noté _B(a,r)
Boule ouverte
L’ensemble (x de E tq d(x,a) inf r) est la boule ouverte de centre a de rayon r note B(a,r)
Sphère
L’ensemble (x de A, tq d(x,a) est appelé sphère de centre a de rayon r note S(a,r)
Boule unité
Boule de centre 0E de rayon 1
_B(a,r) peut être vide ?
Non (a est dedans)
B(a,r) est non vide ssi
R supérieur à 0
S(a,r) est non vide ssi
R=0 ou si E différent de {0E}
Une partie A de E est bornée ssi
Elle est incluse dans une boule (fermée ou ouverte) centrée en 0E
Une partie A de E est bornée si
Il existe M de R+ tq pt a de E ||a|| inf égale M
Une suite ou une fonction à valeur dans E est dite bornée si
Son image l’est
Union d’un nombre fini de parties bornées
Est bornée
Une partie d’une partie bornée est
Bornée
Toute boule
Est bornée
Diamètre d’une partie non vide et bornée A de E
C’est le réel sup (d(x,y), (x,y) de A)
Soit a de E, soit A une partie de E
On dit que A est un voisinage de a, ou que a est intérieur a A si
Il existe E supérieur à 0, tq B(a,E) C A
a est intérieur a A ssi
Il existe E supérieur 0 tq B(a,E) C A
Toute partie de E contenant un voisinage de a :
Est un voisinage de a
L’intersection d’un nombre fini de voisinage de a est
Est un voisinage de a
Intersection d’un nombre infini de voisinage de a
N’en est pas toujours un
Étant donné deux points distincts a et b de E,
Il existe 2 voisinages Va et Vb tq Va inter Vb soit l’ensemble vide
Une partie A de E est dite ouverte si
Elle est un voisinage de chacun de ses points
Une union quelconque d’ouverts
Est un ouvert de E
Une intersection finie d’ouverts de E est
Un ouvert de E
Une intersection quelconque d’ouverts de E
n’est pas toujours un ouvert de E
Une boule ouverte est un ouvert ?
Oui connard
Définition (fermé d’un espace normé)
Une partie A de E est dite fermée si sin complémentaire est un ouvert de E
A propos des Fermé
Une intersection quelconque de fermés est un fermé
Une union finie de fermés de E est un fermé de E
Une union quelconque de fermé de E n’est pas toujours un fermé de E
Définition point adhérent
Un point a de E est adhérent à une partie A de E si A rencontre tout voisinage de a
a est adhérent à A ssi
Pt epsilon B(a,epsilon) inter A dif ø
ssi
D(a,A) = 0
Def intérieur de A
Et on note A° l’ensemble des points intérieurs a A
Def adhérence de A
L’adhérence de A est l’ensemble des points adhérents à A on note _A
Def frontière de A
L’ensemble des points adhérents à A dt a son complémentaire (on note parfois Fr(A)
Un point appartient à Fr(A) ssi
Il est a distance nulle de A et de E\A son complémentaire
Soit A une partie de E
L’intérieur de A est
L’adhérence de A est
Le plus grand ouvert de E contenue dans A
Le plus petit fermé de E contenant A
Lien entre A, A°, et _A
A° C A C _A
Pour tout r sup 0, pt a de E,
Adhérence, intérieur, frontière de _B(a,r) et B(a,r)
C’est la meme, _B(a,r) pour l’adhérence
B(a,r) pour l’intérieur
Meme frontière S(a,r)
Une Norme sur le K-ev E est une application ||.|| de E dans R+ vérifiant :
1) Axiome de séparation
2) inégalité triangulaire
3) homogénéité
La norme associé au produit scalaire vérifie l’identité du parallélogramme ie :
Pt x,y de E
||x+y||^2 + ||x-y||^2 = 2 (||x||^2 + ||y||^2)
Norme 1: || ||1
Pt x= (x1, …. , xn) de K^n
||x||1 = som (1,n) |xi|
Norme 2: || ||2
Pt x = (x1, … ,xn) de K^n
||x||2 = racine ( som (1,n) |xi|^2)
La norme infinie : || ||8
Pt x= (x1,…,xn) de K^n
||x||8 = sup ( |xi| )
Un vecteur d’un evn E est unitaire si
Il est de norme 1
Définition distance associé à une norme
Étant donné une norme ||.|| sur E, l’application
D: E^2 dans R+
(x,y) associe ||x-y||
C’est la distance associé à la norme ||.||
Espace métrique
Ensemble muni d’une distance
Définition : distance d’un point a une partie non vide
Soit x de E, et A une partie non vide de E. On appelle distance de x a A le réel d(x,A) = inf ( d(x,a) à de A)
Équivalence des normes en dimension finie
Sur un K-ev de dimension finie, toutes les normes sont équivalente
Comment montrer qu’un K-ev n’est pas de dimension finie
On exhibe 2 normes qui ne sont pas équivalente
Une fonction numérique de C1 dont la dérivé est bornée sur I
Est k lipschitzienne
La composée d’une application k-lipschitzienne et d’une application k’-lipschitzienne est
kk’-lipschitzienne
L’espace vectoriel normé (B(E,N), || ||8) est noté
l8(E)
L’ensemble des suites convergentes de (E,|| ||) est un ss-ev de
l8(E) et l’application qui a tte suite convergente associe sa limite est linéaire est 1-lipschitzienne
Soit un une suite d’éléments de E. On dit que un converge vers le vecteur b de E pour la norme || || lorsque
La suite réelle || Un - l || converge vers 0
Toute suite convergente est
Bornée
Soit Un et Vn qui convergent respectivement vers b et c pour la norme N alors :
La suite (Un + Vn) converge vers b+c pour la norme N
Pour lambda de R, la suite lambdaUn converge vers lambda b pour la norme N
Convergence des suites d’un espace vectoriel normé produit
E = E1 x … x Ek muni de || ||8
Soit xn = (xn1, … Xnk) une suite d’elts de E. Soit b = (b1, … , bk) de E. Alors xn converge vers b si pt i de 1 à k, xni converge vers bi
Def valeur d’adhérence
Soit Un une suite d’elts de E, on dit que x de E est une valeur d’adhérence de Un lorsque x est la limite d’une suite extraite de Un
Si Un est convergente, alors
Un possède une unique valeur d’adhérence : sa limite
Si une suite à deux valeurs d’adhérence
Alors elle diverge
Exemple de suite réelle ayant deux valeurs d’adhérence et divergent
(-1)^n
Exemple de suite ayant une valeur d’adhérence mais divergent
n(1+ (-1)^n)
Une suite Un à valeurs dans E est convergente ssi
Suite extraites pairs et impairs
Ses suites extraites paire et impaire convergent vers la meme limite
Une partie est fermé ssi
Elle contient son adhérence
Caractérisation séquentielle de l’adhérence
Soit x de E, A une partie de E, x est adhérent à A ssi x est limité d’une suite d’éléments de A
Partie fermé, suite convergente :
Une partie A de E est fermée ssi toute suite convergente a valeurs dans A converge vers un elts de A
On dit qu’une partie D est dense sans E si
Son adhérence est égale a E
Soit A une partie de E, les ptés suivantes sont équivalentes :
A est dense dans E
Toute partie ouverte non vide ♎️ de E vérifie ♎️inter A différent de ø
Pt élément x de E, il existe (An) d’éléments de A qui converge vers x
Une partie A de E est un compact de E lorsque
Toute suite d’éléments de A admet une suite extraite qui converge vers un élément de A
Exemple de partie compact
Toute partie finie de E est un compact de E
Toute partie compacte d’un evn E est
Fermé et bornée
Toute partie fermée contenue dans une partie compacte de E est
Une partie compacte de E
Une suite d’éléments d’une partie compacte de E converge ssi
Elle admet une unique valeur d’adhérence
Produit de compacts
Si A est une partie compacte de E et B est une partie compacte de F alors A x B est une partie compacte de E x F
Theoreme de Bolzano - Weierstrass
De tte suite bornée de R de C de C^n et R^n on peut extraire une suite convergente
Theoreme de Borel-Lebesgue
Les parties compactes de K^n sont les paries bornées et fermées de K^n
A est dense dans E ssi
Tout point de E est limité d’une suite de points de A
Q et R\Q sont ils dense dans R ? Et d’intérieur vide ?
Double oui connard
Q^n est il dense dans R^n ?
Trivial
Formulation pour dire que Un converge vers l avec des boules
Pour tout epsilon supérieur à 0 il existe N de N tel que pour tout n supérieur à N, Un est inclu dans une boule de centre l et de rayon epsilon :)
Comment montrer que toute suite d’élément de E n’admet qu’une limite ?
Pour tout n de N, || l - l’ || inf ou égale || l-un || + || un-l || ce qui tend vers 0
( l- l’ = l - un + un - l’ )
Définition Ouvert relatif
Soit A de E, on appel ouvert relatif de A toute intersection d’un ouvert de E avec A
Définition fermé relatif
Soit A de E, on appel fermé relatif de A toute intersection d’un fermé de E avec A
Voisinage relatif définition
Soit a de A, on appel voisinage relatif de a dans A toute intersection d’un voisinage de a dans E avec A
Tout fermé, ouvert, voisinage relatif de A est
Une partie de A
B est un ouvert relatif de A ssi
Complémentaire
Son complémentaire dans A est un fermé relatif de A
Une union quelconque et une intersection fine d’ouverts relatifs de A
En est encore un
Une intersection quelconque et une union finie de fermés relatifs de A
En est encore un
Soit B une partie de A.
B est un fermé relatif de A ssi
Pour toute suite xn de points de B, convergeant dans A, la limite de (xn) est dans B
1 ère et deuxième reformulations de la limite d’une fonction dans un EVN
f de A dans F
1 f admet l pour limite en a
2 pt boule B de rayon non nul centrée en l, il existe une boule de rayon non nul B’ centrée en a tel que f(AinterB’) C B
3 et 4 eme reformulation de la limite d’une fonction dans un EVN
f de A dans F
Pour tout voisinage V de l dans F, il existe un voisinage relatif V’ de a dans A tel que f(V’)CV
Pour tout voisinage V de l dans F, f-1(V) est un voisinage relatif de a dans A
Caractérisation séquentielle de la limite d’une fonction
f admet l pour limite en a ssi pour toute suite Un de point de A qui tend vers a, limite quand n tend vers l’infini de f(Un) tend vers l
Limite d’une fonction dans un EVN produit
Soit F un EVN produit F1x…xFp et l=(l1,…,lp) et f=(f1,…,fp)
La fonction f tend vers l en a ssi pour tout k la fonction fk tend vers lk en a
f est dite continue en a si
f admet une limite en a
Caractérisation séquentielle de la continuité en un point
f est continué en a ssi pour toutes suites Un de points de A de limite a, f(Un) converge vers f(a)
Opération algébrique sur les applications continues
Si f et g de A dans F sont continue en a, alors leurs combinaisons linéaires le soir aussi.
Si F est une K algèbre normée, le produit fg l’est
Prolongement par continuité
Si f admet une limite finie l en un point b adhérent à son domaine, alors on définie le prolongement par continuité de f en b comme la fonction f~ def sur AU{b}
Continuité globale
La fonction f de A dans F est dite continue sur A si elle est continué en chaque point de A. On note C°(A,F) ou C(A,F) l’ensemble des fº continues
C(A,F) structure
Kev et meme
K-algebre lorsque F est une K-algebre normee
Caractère locale de la continuité
Soit f de A dans F, f continue sur A ssi pour tout a de A, il existe un voisinage relatif V de a (dans A) tel que f|v soit continue sur V
Caractérisation des applications continues
Les assertions suivantes sont équivalentes
f est fontine sur A ssi
Pour tout ouvert X de F, f-1(X) est un ouvert relatif de A ssi
Pour tout fermé X de F, f-1(X) est un fermé relatif de A
Prolongation d’une égalité par densité
Deux applications continues qui coïncident sur une partie dense sont égales
Toutes fonction lipschitzienne sur un domaine bornée est
Bornée
Toute application lipschitzienne est
Uniformément continue
Lorsque F est une K algèbre normee, le produit de fonction lipschitzienne
n’est pas tjrs lipschitzien, une condition suffisante pour qu’il le soit est que f et g soient en outre bornée
L’application norme de E dans R est
1 lipschitzienne
Caractérisation de continuité des applications linéaires
Pour que u linéaire de E dans F sor continue, il faut et il suffit qu’il existe C supérieur à 0 tq pt x de E, ||u(c)|| inf C||x||
Une application linéaire est continue ssi
Elle est lipschitzienne ssi
Elle est UC ssi
Elle est continué en 0E
Caractérisation de continuité des applications bilinéaires
Soit E,F,G 3 EVN, et B: ExF dans G une application bilinéaire les assertions suivantes sont équivalentes
B est continué sur ExF (pour la structure d’evn produit
Il existe C de R+ tel que pt x,y de ExF
||B(x,y)|| inf C||x|| ||y||
Définition normes équivalentes
Soir N1 et N2 des normes sur le meme Kev, on dit qu’elles sont équivalentes s’il existe b et c strictement positif tq pt x de E, aN1(x) inf N2(x) inf bN1(x)
Pte normes équivalente
Cela définit une relation d’équivalence sur l’ensemble des normes de E
Pour montrer que deux normes ne sont pas équivalentes
On trouve une suite Un d’éléments tous non nuls de E tq N1(Un)/N2(Un) tende vers 0 ou l’infinie
Boules et normes équivalentes
Dire que deux normes sont équivalente, c’est dire que la boule unité de chacune contient une boule de rayon non nul pour l’autre centrée en 0E
Équivalences sur les boules et normes équivalentes
Pt x de E N2(x)inf bN1(x)
B1(0,1) inclu dans B2(0,b)
Pour tout a de E, pt r de R+, B1(a,r)incluB2(a,br)
Caractérisation de l’équivalence de deux normes
N1 et N2 sont équivalentes ssi
La boule unité pour chacune de ces normes est un voisinage de 0E pot l’autre ssi
Ces normes définissent les mêmes parties bornées, voisinages, ouverts, fermées
L’existence de b supérieur stricte a 0 tq N1(x) inf bN2(x) signifie que
Tout voisinage d’un point pour N1 est un voisinage de ce point pour N2
(E possède plus de voisinage pour N2 que pour N1) on dit que N2 est plus fine
Une fonction de R dans R est continue sur R ssi
Sa restrictions à tout segment est continue
Quelle propriete vérifie la norme d’algebre ?
Pour tout u,v de E
||uv|| inferieur ou egale a ||u|| ||v||
Definition de la distance dans R
Pour tous x,y de r d(x,y)=|arctan(y) -arctan(x)|
Un intervalle I de R est d’interieur vide ssi
I est vide ou est un singleton ssi
I est fini
Combinaison linéaire de normes sur l’espace vectoriel normée E
Si N1,…,Nn sont des normes sur E? alors pour tous @1,…,@n de R+, non tous nuls, som(1,n)@kNk est une norme sur E.
Que dire de la composée d’une norme et d’une application linéaire phi, dont on sait que |phi| est une semi norme.
Nophi est une norme ssi phi est injective
Quels sont les ensembles de E a la fois fermé et ouvert ?
{OE} et E tout entier
Caractérisation des ouverts relatifs
Soit B une partie de A, B est un ouvert relatif de A ssi pour tout b de B, B est un voisinage relatif de b dans A.
Continuité des applications bilinéaires en dimension infinie
Nous avons caractérisé la continuité des applications linéaires en dimension quelconque.
En fait, il existe une caractérisation analogue pour les applications bilinéaires ne figurant pas au programme : soit E; F;G trois EVN, et B de ExF dans G
une application bilinéaire. Les assertions suivantes sont équivalentes :
(1) B est continue sur ExF (pour la structure d’evn produit).
(2) Il existe C de R+ tel que pt (x,y) de ExF, ||B(x,y)|| inf C||x||||y||
Comment montrer la continuité du produit scalaire en dimension infnie
Pour la continuite de phi qui a (x,y) de E préhilbertien associe (x|y) , le plus simple est d’utiliser encore la caractérisation séquentielle, et d’imiter la preuve de convergence du produit de deux suites convergentes :
|(xn|yn) - (a|b)| = |(xn|yn) - (xn|b) + (xn|b) - (a|b)|
= |(xn|yn - b) + (xn - a| b)|
inff |(xn|yn - b)| + |(xn - a|b)|
inff ||xn|| ||yn - b|| + ||xn - a|| ||b||
Que dire de la boule unité fermé d’un EVN E de dimension infinie
Elle n’est jamais compact, d’après le théorème de Riesz, hors programme
GLn(C) est il connexe par arc ? GLn(R) ?
Oui et non.
Pour le premier, on le montre en considérant une application phi qui a @associe @A + (1-@)In et le det.. ( On montre que detophi n’est pas identiquement nulle. Puis que les racines de phi est un ensemble fini et on utilise la connexité par arc de C\Z.
