Theoreme De Convergence Dominée Et Les Integrales A Parametre Flashcards
Remarque sur la demonstration du TCD
Bien que la demo soit admise, il serait facile d’etablir l’integrabilité de f: l’essence meme du theoreme est la legitimité de l’interversion entre la limite et l’integrale :
Lim integrale fn(t)dt = integrale lim fn(t)dt
Hypothese de continuité par morceaux
On suppose f CPMX car on ne connait l’integrale que de fonctions cpmx mais l’hypothese peut etre ommise
Theoreme de convergence dominée
Soit (fn) une suite de fonction continues par morceaux de I dans K. On suppose :
1) (fn) CVS sur I vers une fonction f
2) f est continue par morceaux
3)il existe une fonction phi de I dans K positive et integrable tq pt n, |fn| inf phi
Resultat : la fonction f est alors integrable sur I et Integrale (I) fn tend vers integrale (I) f
Limite de Un=integrale(0,pi/2) sin(t)^ndt
0 theoreme de la CD
Limite de Vn=integrale(0,1)sh(t^n)dt
0 TCD
Montrer que la suite de TG integrale (0,pi) cos(t)^n/racine(t) dt
On utilise le TCD: fn: t associe cos(t)/t^1/2 CVS vers 0 sur ]0,pi[
f et les fn sont continues par morceaux sur ]0,pi[ et |fn(t)| inf 1/t^1/2 or elle est integrable et positive donc I cv vers 0
Theoreme de la convergence dominée et changement d’intervalle d’integration
Ds l’enoncé du TCD ttes les fonctions sont intégrées sur le meme intervalle I, si In depend de n, on peut ttefois utiliser le theoreme sur la reunion I des In (ou un intervalle contenant la reunion) quitte a etendre les fonctions intégrées a cet intervalle en leur donnant la valeur 0 sur I\In (en verifiant continuité mar mx)
Corollaire (theoreme de convergence dominér, cas d’un parametre reel)
Soit J un intervalle de R. On considère la famille (f@) @ dans J de fonctions continues par morceaux de I dans K. Soir a un point de J ou une extrémité (eventuellement infinie) de J. On suppose qu’il existe une fonction f, cpm tq : Pt x de I, lim (@,a) f@(x) = f(x)
Et qu’il existe phi: I dans K positive et integrable tq |f@| inf phi pour @ au voisinage (relatif a J) de a (hypothese de domination locale en a). La fonction f est alors integrable sur I et lim(@,a)integrale(I) f@=integrale (I) f
Theoreme d’integration terme a terme
Si (un) est une suite de fonctions continues par morceaux et integrables sur I telle que :
1) la serie sigma(un) converge simplement vers une fonction S continue par morceaux sur I
2) la serie sigma integrale (I) |un(t)|dt converge
Alors S est integrable sur I et integrale(I)S(t)dt=som(0,8)integrale(I)un(t)dt
Theoreme d’integration terme a terme
Rq
Autrement dit sous les hypotheses du theoreme :
Integrale(I)som(0,8)un(t)dt=som(0,8)integrale(I)un(t)dt
(Comme precedemment l’hyp de continuité par mx de la somme, imposé par les limitations du programme, n’a pas l’importance de l’hyp de convergence de somintegrale(I)|un| (hypothese de sommation)
Theoreme : continuité d’une intégrale a paramètre
Soit A une partie d’un EVN de dimension finie, I un intervalle de R, f une fonction definie sur AxI a valeurs dans K. On suppose :
1) que f est continue par rapport a la premiere variable
2) f est contine par morceaux par rapport a la 2 eme variable
3) il existe une fonction phi positive integrable sur I telle que pt x de A: |f(x,.)| inf alpha ie pt x,t de AxI, |f(x,t)|inf phi(t)
Alors
g : x associe integrale (I)f(x,t)dt est definie et continue sur A
Remarques a propos des hypotheses du theoreme de continuité d’une integrale a parametre
1) la premiere est naturelle, on veut montrer que g est continue par rapport a sa variable x, il n’est pas surprenant de demander que f le soit aussi.
2) la deuxieme est imposée par les limitations du programme, et permet surtout de s’assurer de la bonne definition de g (associé a l’hypothese de domination)
3) la derniere hypothese est naturelle si on a le theoreme de convergence dominé (et son extension) en tete.
Rq 2 a propos des hypotheses du th de continuité d’une integrale a parametre : celle de la domination
La continuité etant locale : on peut remplacer la domination par le fait que pt a de A, il existe Va de a dans A et phia positive integrable sur I tq pt x de Va, tout t de I:
|f(x,t)|inf phia(t)
Par ex: ds le cas ou A est un intervalle de R, il suffit pour conclure a la continuité de g que l’hyp de domination soit satisfaite sur tout seg de A. (Puisque tout point de A admet un vois relatif de ce type ds A)
Justifier l’existence de l’integrale
I=integrale(0,8) arctan(t)/[exp(pit)-1] dt
On def f:t associe arctan(t)/[exp(pit)-1]
f est continue sur R+*
Etude en 0:
e(pit)-1 =pit +o(t) ~ pit
f~t/pit=1/pi donc integrale(0,1)f(t)dt est faussement impropre donc converge.
Etude en +8:
f~pi/2e(pit) or t associe pi/2epit est un petit taux de 1/t^2 au vois de 8 donc est integrable donc I est bien def
Verifier que I=integrale(0,8) arctan(t)/[exp(pit)-1] dt = som(0,8)integrale(0,8) e(-kpit)arctan(t)dt = som(1,8)1/kpi integrale(0,8) e(-kpit)/(1+t^2) dt
Pt t sup 0 : 1/(epit -1) = 1/epit(1-e(-pit) or e(-pit) inf 1 donc = 1/e(pit) som(0,8)e(-kpit) = som(0,8)(e(-pit)^k+1 =som(1,8)(e(-pit)^k)
Donc I=integrale(0,8)som(1,8)e(-pit)^k+1 arctan(t)dt =integrale(0,8)f(t)dt
Or f est limite simple d’une serie de fonction continue par mx et est cpmx et est integrable donc on peut intervertir somme et integrale donc I=som(1,8)integrale(0,8)e(-kpit arctan(t)dt puis on integre d’ou
Int(0,8)e(-kpit)arctant(t)dt = -1/kpie(-kpit arctant t + int(0,8) 1/kpi e(-kpit)/1+t^2 dt car j: u associe -1/kpi e(-kpiu )arctan u et v: t associe arctant sont de C1 sur R+, l’int(0,8)e(-kpit)arctan(t)dt converge et le crochet est bien def et vaut 0 d’ou la seconde egalité
