Reduction Des Endomorphismes Flashcards
Automorphisme de conjugaison par P
A A de Mn(K) il renvoit P-1AP c’est un automorphisme de l’algebre Mn(K)
Matrice nilpotente diagonalisable
Elles sont nulles
L’objet du chapitre meut se resumer ainsi :
On de demande si une matrice est diagonalisable
- si oui, on rend effective la diagonalisation (on explicite une matrice P de cht de base)
- sinon, on se demande si elle est triagonalisable
- si oui, on rend effective cette triag
Importance du corps des des scalaires sur lequel on travail:
Pour endo, ce corps est implicite, mais une matrice a coeffs ds corps K peut tjrs etre vue comme a coefs ds un surcorps quelconque K’ de K. Par ex, une matrice reelle n’est pas tjrs trigonalisable ds R Mn(R) mais le devient si on la voit comme une matrice de Mn(C).
Relation de similitude matricielle
Definition-Matrice semblables
Rq quel type de relation
Rq ac matrice equivalente
Deux matrices carrées sont semblable si il existe P de Gln(K) tq B=P-1AP
C’est une relation d’equivalence appelé relation de similitude matricielle
Si A et B semblable, elle sont equivalente, recip fausse
A propos de la similitude
Pour que A et B soient semblable elles doivent verifier les invariants de similitudes : Trace, det, rang, spectre, ideal annulateur, polynome caracteristique, polynome minimale
Un IDS a une traduction en terme d’endomorphisme: on def cet invariant pour u comme l’invariant commun a tous ses representants matriciels(ds base donnée). On a pt k A^k=P-1B^kP et cette relation s’etend aux entiers negatifs si A (et donc B) inversibles
Similitude et polynomes
Si A et B sont semblables alors pt Q€K[X] Q(A)=P-1Q(B)P
Classe de similitude
La classe de similitude d’une matrice carré est d’autant plus “grosse” que son commutant est petit.
Ds le cas d’une matrice scalaire lambdaIn, qui est le centre de Mn(K) la classe de similitude est {LambdaIn}
Caracterisation des matrices semblables (interpretation geometrique)
Deux matrices carrées A et B de taille n sont semblables ssi il existe un endomorphisme u d’un espace vectoriel E de dimension n, et deux bases B et C de E telles que A=Mb(u) et B=Mc(u)
Endomorphisme canoniquement associé a une matrice carré
L’endomorphisme canoniquement associé a A est l’endomorphisme de K^n representé par A dans la base canonique. Il arrive frequemment que l’on identifie A et l’endomorphisme qui lui est associé, et donc que l’on parle de Ker(A) et Im(A) par ex.
Definition-Sous espace stable par un endomorphisme. Endomorphisme induit.
Soit F un sous espace vectoriel de E. On dit que F est stable par u ou que u stabilise F si u(F)CF. Dans un tel cas o peut def la restriction de u sur F appelé endomorphisme de F induit par u
Rq a propos de la stabilité d’un EV par un endomorphisme
Les sous espaces {OE} et E sont stables par tout endomorphisme de E, et ne présentent donc que peu d’interets pour cette notion.
La somme et l’intersection de deux sous sous espaces vectoriels stables par u le sont encore.
Si F est stable par u et v, alors il l’est par uov et par ttes CL de u et de v. On montre facilement que l’ens des endo de E stabilisant F est une sous algebre de L(E)
Si F est stable par u et si v designe l’endomorphisme induit par u alors
Pt n, F est stable par u^n et l’endomorphisme de F induit par u^n n’est rien d’autre que v^n.
Pt Q€K[X], F est stable par Q(u) et l’endo de F induit par Q(u) est Q(v).
Ker(v)=Ker(u)interF et Im(v)CIm(u)InterF mais l’inclusion rst souvent stricte
Si A de Mn(K) est semblable a une matrice diag D=(d1,d2,…,dn)
Les calculs sur A se resuisent a ceux effectué sur D : si A = P-1DP alors pt Q€K[X] on a Q(A)=P-1Q(D)P
Supposons E de dim n, soit F un ssev de E stable par u de dim m. Que dire de M la matrice de m
Dans une base adapté a F (et obtenue en completant ac vecteurs de E\F). M est triangulaire par blocs
De plus: si u est bijectif, l’endomorphisme qu’il induit sur F l’est aussi.
Definition-Valeur propre, sous espace propre, vecteur propre.
Soit @€K, on dit que @ est valeur propre de u si l’endomorphisme u-@IdE est injectif ie si Ker(U-@IdE) est non trivial (non reduit a 0E). Dans ce cas, Ker(u-@IdE) (qui est aussi {x€E,u(x)=@x}) est appelé sous espace propre de u associé a la valeur propre @, et noté E@(u). Tout vecteur non nul de E@(u) est appelé vecteur propre re u associé a la valeur propre @.
Rq a propos de la def de valeur propre, sous espace propre, vecteur propre.
On a def un vecteur propre comme etant non nul, ce qui permet:
Que tout scalaire soit valeur propre
Qu’a tt vecteur propre corresponde une unique valeur propre.
(En revanche a tte valeur propre on peut associé une infinité de vecteur propres (si on travail sur un corps infini)
On peut etendre la notation E@(u) au cas ou @ n’est pas valeur propre de u ainsi E@(u)={OE}
Equivalence a propos des valeurs propres
Di E est de dim finie non nul, @ est valeur propre de u ssi det(u-@Ide)=0
Definition - Spectre
On appelle spectre de l’endomorphisme u d’un espace de dimension finie non nulle, et on note Sp(u), l’ensemble de ses valeurs propres
A propos du spectre de u
Sp(u)={@&K tq det (u-@IdE)=0}
En particulier le spectre d’un endomorphisme d’un espace de dim finie n est fini de card au plus n, l’application qui a @ renvoit det(u-@IdE) est polynomiale de degré n) donc :
-si K=C u admet au moins une valeur propre d’apres th de D’Alembert Gauss
-Si K=R et n impair, alors u admet au moins une valeur propre (reelle) (cse du TVI)
La somme d’une famille finie de sous-espaces propres est direct
Soit @1,…@n des valeurs propres distinctes de u. La somme E@1(u)…E@n(u) est alors direct
(La proposition est presenté dans le cas ou les @ sont valeurs propres mais il y a quand meme une somme direct avec de simples scalaire quelconques (distinct)
Vecteur propre associées a des valeurs propres distinctes
Tte famille de vecteur propres pour u associés a des valeurs propres distinctes est libre
Lemme-Stabilité et commutant
On suppose que u et v commutent. Les sous espaces vectoriels Ker(u) et Im(u) de E sont alors stables par v
Sous espaces propres et endomorphismes qui commutent
On suppose que les endomorphismes u et v commutent. Tout sous espace propre de u est alors stable par v.
Notions de (valeurs, vecteur, sous-espace) propre et spectre d’une matrice carré A
Le spectre de A est donné par Sp(A)={@€K, det(A-@In)=0}
L’equation AX=@In d’inconnues @ et X€K^n(=Mn,1(R)) est appelée equation aux elements propres et sa resolution permet de trouver les elements propres de A. En pratique, on resout det(A-@In)=0 et on resout l’eq aux elts propres pour les valeurs propres trouvées. Cette relation peut se faire matriciellement : on calcule A-@In et on cherche des relations de liaisons sur les colonnes de cette matrice ce qui donnera des vecteurs propres pour la matrice
Matrice semblable et spectre
Deux matrices semblables ont le meme spectre (c’est un invariant de similitude) et la reciproque est fausse
Extension du corps des scalaires
Si K est un sous corps de K’ et si M€Mn(K), le spectre de M ds K est contenu dans le spectre de M ds K’
Qu’est ce que le potentiel de Flade
Sur le graphe i=f(E) par exemple, c’est le point ou i s’annule qui correspond a la surface du fer totalement recouvert par un film d’oxyde Fe2O3
Corrosion dufferentielle par hétérogénéité du support ou du milieu
Il y a corrosion differentielle lorsque l’attaque s’exerce de facon differente en deux zones de la surface du metal (ou a la jonction de deux metaux). Il y a necessairement circulation d’electrons au sein du metal pour relier ces deux zones. La corrosion differentielle est due a l’existence de micropiles dites de corrosion
Piles avec electrode differentes
Lorsque deux metaux constituent une pile de cororosion, c’est le plus electropositif (plus petit E°) qui se corrode.
Pile ac des electrodes identiques mais des concentrations differente
On ecrit la demie equation redox, on ecrit la formule de nernst et grace a la diff de concentration on a E1 sup E2 de là on obtient qui est le + (cathode, reduction, formation de Fe) qui est le - (anode, oxydation, formation de Fe2+) donc oxydation du coté le plus dilué
Pile d’Evans
On a une pile avec 2 meme conducteurs Fe et l’un des compartiments est aéré. On a Na,Cl danz les deux compartiments. On constate la formation de Fe2+ dans le coté aéré : On ecrit les 2 eq redox (Fe2+/Fe) et (O2/H2O) et on a sur i=f(E) un Em
Pile : conclusion lorsqu’il sagit de deux meme conducteurs
Lorsqu’un metal plonge dans solution presentant des diffs de concentration d’elemets electroactifs, il y a corrosion :
- dans le compartiment le pls diluée
- dans le compartiment le moins aéré
Protection contre corrosion
Protection par revetement
Non metallique :
L’idee est de separer O2 et l’eau du metal: peinture, laque, film plastique
Metallique:
1) depot metal plus electropositif (zinc) par electrolyse, par immersion ds metal fondu (galvanisation ds le cas du zinc)
2)depot metal moins electropositif (etain, chrome) par electrolyse, le fer s’oxyde mais depot reste intact
Protection contre la corrosion
Cas 1 du depot de metal plus electropositif
Comportement de ce depot metallique:
Vis a vis d’une rayure, ou d’une rupture, il s’agit du depot d’un metal M plus reducteur que le fer: depot s’oxyde et le fer reste intact
Autres protections anti corrosion : passivation
Protection anodique du metal par passivation : mettre metal ds zone passivation en faisant subir traitement oxydant pour former oxyde isolant autour(protection fragile)
Protectio cathodique :
Il faut que le fer soit siege d’une reduction
a) protect electrochimique par courant imposé
On relie le fer au pole - d’une source de tension ext. Le pole + etabt relié a une anode inerte. On amene le fer ds sa zone d’immunité en imposant a la cathode potentiel fortement negatif
b) anode sacrificielle
On associe le fer a un metal plus reducteur que lui.
L’anode se dissout progressivement alors que Fe protegé. L’interet de la tech reside ds sa permanence. On peut proteger ainsi coque acier gros navire en y fixant bloc zinc que l’on remplace
Definition - polynome caracteristique
Maintenant on est en dimension n finie
Soit M€Mn(K). On appelle polynome caracteristique de M et on note xM le polynome xM=def=det (XI-M)
xM=(-1)^ndet(M-XI)
Lemme-Polynome caracteristique
Le polynome caracteristique est un invariant de similitude ie deux matrices semblables on le meme polynome caracteristique
Definition - Polynome caracteristique (endomorphisme)
On appelle polynome caracteristique d’un endomorphisme u d’un espace vectoriel de dimension finie non nulle et on note xU le polynome caracteristique de n’importe quel matrice le representant dans une base
Rq: les racines du polynome caracteristiqe sont les valeurs propres
Coefficients du polynome caracteristique
1) le polynome caracteristique xU est unitaire
2) le coefficient de degré 0 de xU est xU(0)=(-1)^ndetU
3) le coef de degré n-1 de xU est -tr(u)
Definition - multiplicité d’une valeur propre
Soit @ € Sp(u). On appelle multiplicité de la valeur propre @ de u son ordre de multiplicité comme racine de xU
Dimension d’un sous espace propre et multiplicité de la valeur propre associée
Soit @ € Sp(u). La dimension de E@(u) est inferieur ou egale a l’ordre de multiplicité de la valeur propre @ de u
Multiplicité
Certains appellent la multiplicité precedemment definie la multiplicité algebrique de la valeur propre @, et appellent multipliité geometrique la dimension de E@(u). On a donc la multiplicité geometrique est inferieur ou egale a la multiplicité algebrique
Exemple : polynome caracteristique, multiplicité d’une valeur propre
1- le polynome caracteristique d’une matrice triangulaire de coefs diagonaux @1,…,@n est prod(1,n)(X-@i)
2- Le polynome caracteristique d’un endomorphisme induit par u divise xU
3- si A est triangulaire par bloc, xA est le produit des polynomes caracteristiques des blocs diagonaux (et ces derniers divisent donc en particulier xA)
Que dire de 🔺: K[X] dans L(E) qui a P renvoit P(u)
C’est un morphisme de K-Algebre. En particulier un morphisme d’anneau donc son noyau est un ideal appelé ideal annulateur de u. Son image est K-algebre commutative K[u] de L(E) des polynomes en u.
Il en est de meme pour 🔺de K[X] dans Mn(K)
L’ideal annulateur est un invariant de similitude
Lemme sur l’ideal annulateur
Si E est de dimension finie, l’ideal annulateur de u n’est pas reduit a 0 (rappel: dim(L(E))=n^2)
En dim finie, il se peut que l’ideal annulateur soit reduit a zero
Les valeurs propres sont des racines de tout polynome annulateur
Soit P€K[X] et soit x€E, et @ €K tels que u(x)=@x.
On a alors P(u)(x)=P(@)x
Par consequent, si P annule u, toute valeur propre de u est racine de P
Dem: p(X)=somakX^k
Theoreme - Lemme de decomposition des noyaux
Si P1,…Pr sont des elements de K[X] deux a deux premiers entre eux de produit egale a P alors :
Ker(P(u))=🔘(1,r) Ker(Pi(u))
Definition - Polynome minimal
Le polynome minimal d’un endomorphisme u d’un espace de dimension finie (resp d’une matrice carré A) est l’unique generateur unitaire de son ideal annulateur. On le note muU (resp muA)
Si I est l’ideal annulateur de u (ou de A) et mu son polynome minimal, alors I=muK[X] = {muP, P€K[X]}
Le polynome minimal d’une matrice carré est un invariant de similitude
Exemple polynome minimal
- Le polynome minimal de u (resp A) est de degré 1 ssi u est une homotethie (resp une matrice scalaire)
- supposons que u sois un projecteur, donc u²=u donc X²-X annule u. Les polynomes minimaux possible pour u sont X (si u=0), X-1 (si u=idE) et X²-X si Ker(u) et Im(u) ne sont pas triviaux)
Le polynome minimal de
( 2 0 0)
(0 2 0)
(0 0 3)
C’est (X-2)(X-3) car on voit que ce polynome annule A en faisant le calcul donc (X-2) ou (X-3) auraient pu etre minimal ! Pq ca n’est pas le cas ? -) car A n’est pas scalaire
Base de la sous algebre engendrée par un endomorphisme
Si d est le degré du polynome minimal de u, alors la famille (u^k) k de 0 a n-1 est une base de K[u]
Theoreme de Cayley-Hamilton
Xu annule u
Definition - endomorphisme diagonalisable
Un endomorphisme d’un espace vectoriel E est dit diagonalisable s’il existe une base de E dans laquelle sa matrice est diagonale. Une telle base constituée de vecteurs propres, est appelé base de diagonalisation.
Pour qu’un endomorphisme soit diagonalisable
Il faut et il suffit que la somme de ses sous-espaces propres soient egale a E
Exemple - Diagonalisabilité
- les projecteurs et les symetries sont diagonalisables
- tt polynome en un polynome diagonalisable est diagonalisable
- l’ensemble des endo diagonalisables de E est stable par multiplication par un scalaire mais ni par somme ni par compo
- le seul endo de E a la fois diago et nilpotent est OL(E)
Definition-Matrice carrée diagonalisable
Une matrice carrée A€Mn(K) est dite diagonalisable si l’endomorphisme de K^n canoniquement associé est diagonalisable
Pour qu’une matrice carré soit diag,
Il faut et il suffit qu’elle soit semblable a une matrice diagonale
Cela revient a dire que sa similitude possede une matrice diagonale
Si une matrice carrée est diagonalisable, (transposée)
Alors elle est semblable a sa transposé, qui est aussi diagonalisable
Que dire de S et de K dans le cadre de la reduction d’endomorphisme
S=som(@€sp(u)) E@(u) or cette somme est direct donc
DimS=som(@€Sp(u))dim(E@(u))
soit m@ la multiplicité algebrique de @ et K=som(@€Sp(u)) m@
K mesure le nombre de racine de Xu dans K compté ac leurs ordre de miltiplicité. K mesure a quel point Xu est scindé sur K.
U est diagonalisable ssi dim(S)=n
Lemme : premiere obstruction de diagonalisabilité
On a DimS inf K
l’egalité ayant lieu ssi dim(E@(u))=m@ pour tout @€Sp(u) ie pour tte valeur propre de u, les multiplicités alge et geo sont egales
Lemme : seconde obstruction de diagonalisabilité
On a K inf egale a n
Egalité ssi Xu est scindé sur K
Caracterisation de la diagonalisabilité par le polynome caracteristique
Pour qu’un endo u soit diagonalisable, il faut et il suffit sue Xu soit scindé et que pour ttes valeurs propre de u, la dimension de l’espace propre associé soir egale a sa multiplicité
Matriciellement : A diagonalisable ssi xA est scindé et pour ttes valeur propre de A, la dim de l’espace propre associé est egale a sa multiplicité
Caracterisation de la diagonalisabilité par le polynome caracteristique:
Remarque
Ainsi, u est diagonalisable ssi Xu est scindé et pour ttes valeur propre de u, les multiplicités geo et algé sont egales
Caracterisation de la diagonalisabilité par un polynome annulateur
Les assertions suivantes sont equivalentes :
- u est diagonalisable
- Le polynome minimal de u est scindé a racine simple
- Il existe un polynome scindé a racine simple annulant u
Que dire des matrices de Rang1
Si M est de rang 1, M²=tr(M)M
M diago ssi tr(M)diff de 0
Endomorphisme de K^n canoniquement associé a une matrice
Soit A de Mn(K). On def phi: K^n dans K^n qui a X associe AX c’est l’endo de K^n canoniquement associé a A
Equivalence a propos des matrices de rang 1 et la diagonalisation
Soit M de rang 1, M est diagonalisable ssi det(M) diff de 0
M^2=tr(M)M
Diagonalisabilité d’un endomorphisme induit
Si F(non reduit a 0E) est stable par u, et si u est diagonalisable, alors l’endomorphisme de F induit par u est diagonalisable
Plus finement, que le polynome minimale d’un endomorphisme v induit par u divise le polynome minimale de u
Codiagonalisation de u et v
On suppose u et v diagonalisable et commutant.
Alors u et v sont codiagonalisable ie ils admettent une base commune de diagonalisation) (hp)
Definition - Endomorphisme trigonalisable
Un endomorphisme d’un espace vectoriel E de dimension finie est dit trigonalisable s’il existe une base dans laquelle sa matrice est triangulaire supérieure. Une telle base est appelé base de trigonalisation.
Interprétation géométrique de la trigonalisabilité.
U est trigonalisable ssi il existe une suite emboitée (F0,…,Fn) de sous espaces vectoriels de E tq pour tout k de [|0,n|] dim(Fk)=k (une telle suite est appelé drapeau totale) constituée de sous espaces stable par u.
Definition - Matrice carré trigonalisable
Une matrice carré est dite trigonalisable si elle est semblable a une matrice triangulaire superieur.
Pour qu’une matrice carré soit trigonalisable, il faut et il suffit que l’e do canoniquement associé le soit.
Tte matrice triangulaire inférieur est trigonalisable
Theoreme- Caracterisation de trigonalisabilité
Un endomorphisme (ou une matrice carré) est trigonalisable ssi son polynome caracteristique est scindé
Remarque a propos d’un endomorphisme trigonalisable (Xu, det(u), tr(u))
Sinunest trigonalisable et si (@1,r1),…..(@p,rp) sont ses différentes valeurs propres données avec leurs multiplicité (algébrique) alors son polynome caractéristique est :
Xu=prod(1,p) (X-@i)^ri et on a tr(u)=som(1,p)@i ri et det(u)=prod(1,p)@i^ri
Trigonalisation des matrices complexes
Toute matrice carré complexe est trigonalisable
Caractérisation de la nilpotence
Un endomorphisme est nilpotent ssi il est trigonalisable avec pour seule valeur propre 0
L’indice de nilpotence est majoré
On suppose u nilpotent d’indice m. E de dim n. On a alors m inf n
Décomposition d’un endomorphisme admettant un polynôme annulateur scindé
On suppose qu’il existe un polynome scindé annulant u. On peut alors décomposer E en somme direct de sous-espace stable par u sur chacun desquels u induit la somme d’une homothétie et d’un endomorphisme nilpotent
Traduction matricielle de “décomposition d’un endomorphisme admettant un polynôme annulateur scindé”
Sinla matrice A admet un polynôme annulateur scindé, (tjrs le cas si K=C) alors elle est semblable a une matrice diago par bloc, donc chaque bloc diago est une matrice triangulaire supérieur a coefs diagonaux égaux.
On peut d’ailleurs remarquer que si A s’écrit comme somme d’une matrice diago D et d’une triangulaire supérieur stricte N (nilpotente) et que D et N commutent, on peut appliquer binome de Newton pour calculer les puissances de A. Il s’agit d’une trigo affinée
Homothétie : qu’en dire
Si u laisse stable tous ss-ev de E, alors u est une homothétie
Demo: si E=0 c’est ok
Si E diff de 0 on prend x diff 0. U laisse stable Kx ie il existe lambda tq u(x)=lambdax
. On montre que pt y de E, u(y)=lambday en dissociant les deux cas y et x colineaires et non colineaires
Soit phi: qmn(K) dans Mn(K) qui a M associe AM
Montrer que A est diago ssi phi l’est
Phi est bien lineaire car le prod mat est bilineaire. On observe que pt k€N phi^k(M)=A^kM donc par linearité pt P€ K[X] P(phi)(M)=P(A)M donc A et Phi ont le meme ideal annulateur donc le meme polynome minimal d’ou me resultat
Existe t-il une matrice de M3(R) de polynome minimale X^2+X+1 ? Dans M2(R) ?
Dim M3(R) est impaire sonc il existe au moins une valeur propre reel (continuité du determinant car pomynomiale et des limites infinies differentes aux deux infinis) or X-@ ne divise pas X^2+X+1 donc une tel matrice n'existe pas. Dans M2(R) on a Xa=X^2-tr(A)X+detA donc il suffit de trouver une matrice de det 1 et de trace -1
Soit u un endomorphisme de E, que dire de u si 0 n’est pas valeur propre ?
On peut tjrs trigonaliser u dans C et alors tous les termes diagonaux sont non nul donc par caracterisation la matrice est inversible
Caracterisation de la nilpotence par la trace des puissances
Soit A de Mn(K). A est nilpotente ssi pt i de [|1;n|] tr(A^i)=0
Sens direct ac la trigonalisation.
Sens indirect : on passe la matrice dans C, on trigonalise. On a mes @i mi fois sur la diagonale de la matrice diag.
Pt i de [|1;p|] on a m1@1^i + …. + mp@p^i donc on a une matrice de Vandermonde avec des 1 sur la premiere ligne puis @1^p-1 … @p^p-1 sur la derniere ligne fois le vecteur colonne (m1@1 …. mp@p) qui vaut 0 or la matrice de vandermonde est inversible donc le vecteur colonne est nul puis tous les @i donc matrice trigo stricte : nilpotente
On a A et B de Mn(C), AB =BA, B nilpotente, comment montrer que A inversible implique A+B inversible
La reciproque ?
Det (A+B)=Det(A)det(In+A^-1B) on montre que det (In+A^-1B) en montrant que A^-1B nilpotent car B et A^-1 commutent et B nilpotent donc semblable a une triangulaire stricte, donc In+A^-1B triangulaire ac des 1 sur la diag donc det non nul donc A+B inversible car det nn nul
On a AB=BA, -B nilpotent, A+B inversible, d’apres ce qui precede on a A+B-B inversible donc A inversible
Soir f de L(R^3) tq f^4=f^2 et {-1;1}CSp(f). Montrer que f est diagonalisable
On a P=X^2(X-1)(X+1) annulateur de f donc muf divise P car -1 et 1 vp de muf (les vp sont racines de muf) donc muf =A(X-1)(X+1) avec A=1 ou X ou X^2
Or mu de deg inferieur a 3 car L(R^3) donc A=1 ou A=X mais dans les 2 cas muf est scindé a racines simples d’ou me resultat
Restriction d’une droite de E a un endomorphisme, quelle est l’equivalence
Une droite de E est stable par un endomorphisme si et seulement si la restriction de cet endomorphisme a cette droite est une homothetie
Si E est de dimension finie, que dire si l’on parle de polynome minimale
Si E est de dim finie, tout endomorphisme de E admet un polynome minimal
Demo: l’application phi qui va de K[X] dans L(E) n’est pas injective (dim L(E)=n^2 donc ker phi n’est pas trivial
Comment trouver a l’aide d’une methode matricielle les suites numeriques (un) verifiant une relation de recurrence lineaire a deux pas
On veut trouver ttes les suites numeriques tq un+2 + aun+1+ bun=k
O a phi qui a vn associe un+2 +aun+1+b un
On resout plu(u)=~0 EH
Si un est solution, pt n la matrice de M21(R) = (un+1; un+2) =(0,-b; 1,-a)(un;un+1)
Si on pose A=(0,-b;1,-a) et Un=(Un, un+1) on a juste a calculer A^n car Un+1=AUn et Un+1=A^nU0
Ensuite on cherce EC: phi(un)k, on essais suites constance, puis suite de la forme Cn puis de la forme P(n) ac P de petit degré
Les suites cherché sont celles de la forme la somme des deux
Que dire des suites Im(u^p) et Ker(u^p) ?
Im(u^p) est decroissante pour l’inclusion et Ker(u^p) est croissante pour l’inclusion
