Espaces Vecoriels Normés Flashcards
Definition homéomorphisme
Soit A et B des parties respectives de E et F
f de A dans B est un homéomorphisme si c’est une bijection, continue et de bijection reciproque continue
Forme lineaire sur un EVN de dimension finie
Elles sont toutes continues
Soit F un ss ev de E un EVN de dimension finie
Que dire de F ?
F est fermé
Que dire des applications multilineaire def sur un produit d’EVN de dimensions finies
Elles sont continues
Que dire du produit matriciel ?
C’est une application continue
Definition produit de formes lineaires
Soit f et g des formes lineaires sur E. On def le produit de f et g et on note fXg l’application x-) f(x)g(x)
Definition application polynomiale
On appelle monome sur E tout produit de forme lineaire sur E
On appelle application polynomiale sur E toute combinaison lineaire de monome sur E
Structure de l’ensemble des applications polynomiales sur E
K algebre car engendré en tant qu’espace vectoriel par les monomes et en tant qu’algebre par les formes lineaires sur Eu
Les fonctions polynomiales usuelles de K dans K sont
Des polynomes (ce sont les polynomes de la forme lineaire id K)
Exemples d’applications polynomiales
Le determinant est une application polynomiale sur Mn(K). Pour A de Mn(K). Alpha ij : A -) aij est une forme linéaire sur Mn(K) donc pt permutation alpha(s(1),1)…alpha(s(n),n) est un monome
- phi de Kn[X] dans K qui a P associe produit (0,n) P(k)
Si on fixe une base B(e1,…,en) de E (dim finie) et une base de son dual (e1,…,en)
Une fonction de E dans K est polynomiale ssi
C’est un polynome en e1,…,en (ie e1,…,en engendre l’algebre des fonction polynomiales sur E)
Continuite du determinant
Le det vue comme application de L(E) dans K avec dimE = n est une application polynomiale donc est continue
Serie absolument convergente dans un EVN
La serie Sigma Un d’elements de E est dite absolument convergente si la serie numerique sigma ||Un|| est convergente
Theoreme serie absolument convergente dans un evn
Toute serie AC d’elements de E est convergente
Exemple serie matricielle
Pour toute matrice A de Mp(K) sigma A^n/n! est converge car absolument convergente pour une norme d’algebre et la somme s’appelle exponentielle de la matrice A
Soit A une partie de E. A est compact si
A verifie la propriété de BW , si toute suite d’elements de A possede une valeur d’adherence dans A
Caractere intrinseque de la compacité
La def de la compacité de A ne fait reference qu’a des propriétés de A, pas a des propriétés de A vue comme partie de E
Si A incluse dans un ss ev F de E alors elle est compact comme ss ev de F ssi
Elle est compact colme ss ev de E : on dit que la compacité est une pté intrinseque
Exemple de compact
Toute boule fermé dans K est compact
Les intervalles compacts non vides de R sont les segments
Pté sur les compactes et les unions
Toute union finis de compact est compact mais pas toujours quand il s’agit d’une union infini
Image d’une partie compact par une application continue
Soit f de E dans F continue.
A un compact de E alors f(A) un compact de F
Exemple : application continue sur un compact a valeur reelles
Si f de A dans K ac A compact est continue alors f est bornée et atteint ses bornes ( theoreme des bornes atteintes)
Par ex : lorsque A est compact, pn x de E il existe a de A tq d(x,A)=d(x,a) (car a-) d(x,a) est continue )
Theoreme de Heine
Toute fonction continue sur un compact y est uniformement continue
Caracterisation des compacts en dimension finie
Soit A partie de E un evn de dim finie
A est compact ssi A est fermée et bornée
Caracterisation de la convergence en dilension finie
Une suite bornée de E converge ssi elle a une unique valeur d’adherence
Definition Chemin
Soit a et a’ de A. On appelle chemin (continue) dans A joignant a et a’ tte fonction continue f de [0,1] dans A tq f(0) = a et f(1)=a’. L’image de f est l’arc associé a f. f(0) l’origine de l’arc et f(1) son extremité. Lorsqu’il existe un tel chemin on dit qu’on peut joindre a et a’ par un chemin continue dans A
Definition composantes connexes par arcs
La notion de chemin definie une relation d’equivalence sur A
Dans ce contexte, les classes d’equivalence sont appelées les composantes connexes par arc de A
Def partie connexe par arc
On dit que A est connexe par arc si A n’a qu’une composante connexe par arc
Exemple parties connexes par arc
Toute partie convexe de E est connexe par arc. Plus généralement, s’il existe a appartenant à A tel que pour tout b de A on ait [a,b] C A (on dit alors que A est une partie étoilée de E) alors A est connexe par arcs.
Connexe de la droite numérique
Les parties connexe par un arc de R sont les intervalles
Image continue d’une partie connexe par arc
Soit f de A dans F continue ou A est connexe par arc de E. L’image f(A) de f est une partie connexe par arc
Applications a valeurs réelles (f continue de A dans R avec A connexe par arc de E)
Nouvelle extension du TVI : l’image continue d’un connexe par arc est un intervalle
Continuité des appliçations lineaires en dimension finie
Si E est de dimension fini, toute application lineaire de E dans F est continue
Comment montrer que toutes les applications linéaires de E (dim finie) dans F sont continues ?
Toutes les normes dans E étant équivalentes on montre fixe une norme sur F et sur E puis on construit une norme sur E tq pt x ||f(x)||F inf 1 ||x||E2 et puisque c’est vrai pour cette norme c’est vrai pour ttes
Comment montrer que F ss ev de E de dim fini est un fermé
G le supplémentaire de F dans E donc E=F☮G
P projecteur (linéaire) sur G parallèlement a F, P continue car E de dim finie et F = P^-1 ({Oe}) fermé donc F fermé relatif de EDet A =
Sigma (sigma de Sn) E(sigma) a (sigma1,1)…a (sigma n,n)
Formule qui relie A de Mn(K) à la transposé de la comatrice etc
A t(ComA) = t(ComA) = det (A) In
Com A = la matrice dont les coefs sont les cofacteurs de A
coma)ij= (-1)^i+j det (mineur ij
Comment justifier la transitivité de la notion de chemins
Soit a, b, c de A
Phi [0,1] dans [a,b] Ksi [0,1] dans [b,c] on relie a et c par Suchi [0,1] dans [a,c] Phi(2t) si t de [0,1/2] Ksi(2t-1) si t de [1/2,1]
Que dire d’une partie fermé d’un compact ?
Une partie fermé d’un compact est compact
Une suite bornée de E (de dim finie) converge ssi
Elle admet une unique valeur d’adherence
Pour montrer qu’une application est une norme, il peut etre interessent d’utiliser les demi-normes, en effet :
Si N(f)= ||f||8 + |f(x)-f(y)|/(|x-y| (x diff y)
Il peut etre interessent de montrer que le second terme est une demie-norme ! Ainsi on peut ne pas montrer la separation. Cela repose sur le fait qu’une somme d’une norme et d’une demie norme est une norme
