Espaces Vecoriels Normés

Question 1

Definition homéomorphisme

Answer 1

Soit A et B des parties respectives de E et F

f de A dans B est un homéomorphisme si c’est une bijection, continue et de bijection reciproque continue

Question 2

Forme lineaire sur un EVN de dimension finie

Answer 2

Elles sont toutes continues

Question 3

Soit F un ss ev de E un EVN de dimension finie

Que dire de F ?

Answer 3

F est fermé

Question 4

Que dire des applications multilineaire def sur un produit d’EVN de dimensions finies

Answer 4

Elles sont continues

Question 5

Que dire du produit matriciel ?

Answer 5

C’est une application continue

Question 6

Definition produit de formes lineaires

Answer 6

Soit f et g des formes lineaires sur E. On def le produit de f et g et on note fXg l’application x-) f(x)g(x)

Question 7

Definition application polynomiale

Answer 7

On appelle monome sur E tout produit de forme lineaire sur E

On appelle application polynomiale sur E toute combinaison lineaire de monome sur E

Question 8

Structure de l’ensemble des applications polynomiales sur E

Answer 8

K algebre car engendré en tant qu’espace vectoriel par les monomes et en tant qu’algebre par les formes lineaires sur Eu

Question 9

Les fonctions polynomiales usuelles de K dans K sont

Answer 9

Des polynomes (ce sont les polynomes de la forme lineaire id K)

Question 10

Exemples d’applications polynomiales

Answer 10

Le determinant est une application polynomiale sur Mn(K). Pour A de Mn(K). Alpha ij : A -) aij est une forme linéaire sur Mn(K) donc pt permutation alpha(s(1),1)…alpha(s(n),n) est un monome
- phi de Kn[X] dans K qui a P associe produit (0,n) P(k)

Question 11

Si on fixe une base B(e1,…,en) de E (dim finie) et une base de son dual (e1,…,en)

Une fonction de E dans K est polynomiale ssi

Answer 11

C’est un polynome en e1,…,en (ie e1,…,en engendre l’algebre des fonction polynomiales sur E)

Question 12

Continuite du determinant

Answer 12

Le det vue comme application de L(E) dans K avec dimE = n est une application polynomiale donc est continue

Question 13

Serie absolument convergente dans un EVN

Answer 13

La serie Sigma Un d’elements de E est dite absolument convergente si la serie numerique sigma ||Un|| est convergente

Question 14

Theoreme serie absolument convergente dans un evn

Answer 14

Toute serie AC d’elements de E est convergente

Question 15

Exemple serie matricielle

Answer 15

Pour toute matrice A de Mp(K) sigma A^n/n! est converge car absolument convergente pour une norme d’algebre et la somme s’appelle exponentielle de la matrice A

Question 16

Soit A une partie de E. A est compact si

Answer 16

A verifie la propriété de BW , si toute suite d’elements de A possede une valeur d’adherence dans A

Question 17

Caractere intrinseque de la compacité

Answer 17

La def de la compacité de A ne fait reference qu’a des propriétés de A, pas a des propriétés de A vue comme partie de E

Question 18

Si A incluse dans un ss ev F de E alors elle est compact comme ss ev de F ssi

Answer 18

Elle est compact colme ss ev de E : on dit que la compacité est une pté intrinseque

Question 19

Exemple de compact

Answer 19

Toute boule fermé dans K est compact

Les intervalles compacts non vides de R sont les segments

Question 20

Pté sur les compactes et les unions

Answer 20

Toute union finis de compact est compact mais pas toujours quand il s’agit d’une union infini

Question 21

Image d’une partie compact par une application continue

Answer 21

Soit f de E dans F continue.

A un compact de E alors f(A) un compact de F

Question 22

Exemple : application continue sur un compact a valeur reelles

Answer 22

Si f de A dans K ac A compact est continue alors f est bornée et atteint ses bornes ( theoreme des bornes atteintes)
Par ex : lorsque A est compact, pn x de E il existe a de A tq d(x,A)=d(x,a) (car a-) d(x,a) est continue )

Question 23

Theoreme de Heine

Answer 23

Toute fonction continue sur un compact y est uniformement continue

Question 24

Caracterisation des compacts en dimension finie

Answer 24

Soit A partie de E un evn de dim finie

A est compact ssi A est fermée et bornée

Question 25

Caracterisation de la convergence en dilension finie

Answer 25

Une suite bornée de E converge ssi elle a une unique valeur d’adherence

Question 26

Definition Chemin

Answer 26

Soit a et a’ de A. On appelle chemin (continue) dans A joignant a et a’ tte fonction continue f de [0,1] dans A tq f(0) = a et f(1)=a’. L’image de f est l’arc associé a f. f(0) l’origine de l’arc et f(1) son extremité. Lorsqu’il existe un tel chemin on dit qu’on peut joindre a et a’ par un chemin continue dans A

Question 27

Definition composantes connexes par arcs

Answer 27

La notion de chemin definie une relation d’equivalence sur A

Dans ce contexte, les classes d’equivalence sont appelées les composantes connexes par arc de A

Question 28

Def partie connexe par arc

Answer 28

On dit que A est connexe par arc si A n’a qu’une composante connexe par arc

Question 29

Exemple parties connexes par arc

Answer 29

Toute partie convexe de E est connexe par arc. Plus généralement, s’il existe a appartenant à A tel que pour tout b de A on ait [a,b] C A (on dit alors que A est une partie étoilée de E) alors A est connexe par arcs.

Question 30

Connexe de la droite numérique

Answer 30

Les parties connexe par un arc de R sont les intervalles

Question 31

Image continue d’une partie connexe par arc

Answer 31

Soit f de A dans F continue ou A est connexe par arc de E. L’image f(A) de f est une partie connexe par arc

Question 32

Applications a valeurs réelles (f continue de A dans R avec A connexe par arc de E)

Answer 32

Nouvelle extension du TVI : l’image continue d’un connexe par arc est un intervalle

Question 33

Continuité des appliçations lineaires en dimension finie

Answer 33

Si E est de dimension fini, toute application lineaire de E dans F est continue

Question 34

Comment montrer que toutes les applications linéaires de E (dim finie) dans F sont continues ?

Answer 34

Toutes les normes dans E étant équivalentes on montre fixe une norme sur F et sur E puis on construit une norme sur E tq pt x ||f(x)||F inf 1 ||x||E2 et puisque c’est vrai pour cette norme c’est vrai pour ttes

Question 35

Comment montrer que F ss ev de E de dim fini est un fermé

Answer 35

G le supplémentaire de F dans E donc E=F☮G 
P projecteur (linéaire) sur G parallèlement a F, P continue car E de dim finie et F = P^-1 ({Oe}) fermé donc F fermé relatif de E

Question 36

Det A =

Answer 36

Sigma (sigma de Sn) E(sigma) a (sigma1,1)…a (sigma n,n)

Question 37

Formule qui relie A de Mn(K) à la transposé de la comatrice etc

Answer 37

A t(ComA) = t(ComA) = det (A) In

Com A = la matrice dont les coefs sont les cofacteurs de A
coma)ij= (-1)^i+j det (mineur ij

Question 38

Comment justifier la transitivité de la notion de chemins

Answer 38

Soit a, b, c de A

Phi [0,1] dans [a,b]
Ksi [0,1] dans [b,c] on relie a et c par 
Suchi [0,1] dans [a,c] 
Phi(2t) si t de [0,1/2]
Ksi(2t-1) si t de [1/2,1]

Question 39

Que dire d’une partie fermé d’un compact ?

Answer 39

Une partie fermé d’un compact est compact

Question 40

Une suite bornée de E (de dim finie) converge ssi

Answer 40

Elle admet une unique valeur d’adherence

Question 41

Pour montrer qu’une application est une norme, il peut etre interessent d’utiliser les demi-normes, en effet :

Answer 41

Si N(f)= ||f||8 + |f(x)-f(y)|/(|x-y| (x diff y)

Il peut etre interessent de montrer que le second terme est une demie-norme ! Ainsi on peut ne pas montrer la separation. Cela repose sur le fait qu’une somme d’une norme et d’une demie norme est une norme