Equation différentielles linéaires Flashcards
Contexte
Ce chapitre offre l’occasion de mesurer le chemin parcouru.
On fixe un EVN de dim finie p^de N* sur K, B une base de E et un intervalle I d’intérieur non vide. En pratique E=K^p et B la base canonique. (le plus souvent k=R et p=1 ou 2)
Le chapitre se scinde en 2 parties :
Une partie de résultats très puissants mas théoriques sur la résolution d’EDL. centré autour du théorème de Cauchy linéaire.
Une partie sur la résolution concrète d’EDL
Définition - Equation différentielle linéaire vectorielle
On appelle EDLV d’ordre 1 tte équation de la forme Epsilon : x’=a(t)(x) + b(t) d’inconnue x de I dans E. a une application continue de I dans L(E) et b une application continue de I dans E.
Une fonction f de I dans E est dite solution de Epsilon si elle est dérivable sur I et si pour tout tdeI, f’(t)=a(t)(f(t))+b(t)
La fonction b est appelée second membre de Epsilon. et Epsilon est dite homogène si b est la fonction nulle.
H: x’=a(t)(x)
RQ - Définition - Equation différentielle linéaire vectorielle
forme matricielle
Ne pas oublier que par définition, une solution doit être dérivable. Une solution de Epsilon est nécessairement de C1.
L’equation Epsilon admet une forme matricielle: pour tout t de I, on note B(t) et A(t) les matrices respectives dans B (la base) de b(t) et de a(t) (A(t) matrice carré de taille p, B(t) matrice colonne). EN notant X la colonne des fonctions composantes de x de B(base). Epsilon équivaut a X’(t) = A(t)X + B(t) que l’on appelle système différentiel linéaire (d’ordre 1)
Définition - Problème de Cauchy pour une EDL vectorielle d’ordre 1
Soit (to,xo) de IxE. Le système :
C: x’= a(t)(x) + b(t) et x(to)=xo est appelé problème de Cauchy associé à l’équation différentielle Epsilon d’ordre 1 et à la condition initiale x(to)=xo
Mise sous forme intégrale d’un problème de Cauchy
On fixe le problème de Cauchy
C: x’= a(t)(x) + b(t) et x(to)=xo
La fonction x est solution du problème de Cauchy C ssi x est de C1 et pour tout t de I :
x(t)=xo + integrale(xo,t)(a(u)x(u)+b(u))du cela revient a dire que x est un point fixe de l’application ksi : x associe [tassocie xo+ int(to,t)(a(s)(x(s))+b(s))ds] de C1(I,E) dans lui même
Définition - Equation différentielle linéaire scalaire d’ordre n
On appelle équation différentielle linéaire scalaire d’ordre n tte equation de la forme :
Epsilonn : an(t)y^(n) + … +ao(t)y = b(t) ou ao,…,an,b sont des fonctions continues de I dans K et ou an n’est pas identiquement nulle. On dit que cette équation est résolue si an=1
Une fonction f de I dans K est dite solution de Epsilonn si elle est n fois dérivable sur I et si pour tout t de I, an(t)f^(n)(t)+…+ao(t)f(t)=b(t) . La fonction b est appelée second membre de Epsilonn, et Epsilonn est dite homogène si b est nulle. (on a Hn)
Remarque -Définition - Equation différentielle linéaire scalaire d’ordre n
Ne pas oublier que par def, une solution de Epsilonn doit etre n fois dérivable. Si an ne s’annule pas, une solution de Epsilonn est meme de Cn et l’equadiff Epsilonn a les memes solutions que l’équation résolue ou on a divisé tout par an.
Hypothèse simplificatrice : suf mention contraire, on se place ds le cas ou Epsilonn est une equa diff résolue.
Mise sous forme matricielle de l’equation différentielle linéaire scalaire d’ordre n
Soit y de I dans K une fonction n fois dérivable. En posant Y=def= ( y, y’, …., y^(n-1)) (vecteur colonne) et A=def=(C0…Cn-1) avec C0(0,,,-ao) C1(1,0,,,-a1),…,Cn-1(0,…,1,-an-1) et B=def=(0,…,b) (vect colonne) la résolution de Epsilon revient a celle du système différentielle linéaire d’ordre 1 Y’=A(t)Y+B(t)
Ainsi ns pourrons appliquer les résultats relatifs aux EDL vectorielles d’ordres 1 au cas des EDL scalaires résolues d’ordres n.
Définition - Problème de Cauchy pour une équation linéaire scalaire d’ordre n
Le système Cn:
{ an(t)f^(n)(t)+…+ao(t)f(t)=b(t) et pt k de [|0,n-1|] y^(k)(to)=yk }est appelé problème de Cauchy associé a l’équation différentielle Epsilonn d’ordre n et aux conditions initiales pt k de [|0,n-1|] y^(k)(to)=yk
On fixe ds la suite un tel pb de Cauchy
Le fait de def ainsi un pb de Cauchy pour l’ordre n s’explique bien par le lien établi entre les EDL scalaires résolues d’ordre n et les EDL vectorielles d’ordre 1 (les conds initiales pour y correspondent a la donnée d’une cond initiale pour la colonne Y)
On a fixé un problème de Cauchy Epsilonn
Première conséquence de la linéarité
1
Pour toute EDL G, nous noterons Sg l’ensemble de ses solutions
Les applications x associe (t associe x’(t)-a(t)x(t)) et y associe (any^(n)+…+aoy sont linéaires de D1(I,E) vers F(I,E) pour la première et de Dn(I,K) dans F(I,K) pour la seconde car la dérivation, la multiplication par une fonction donnée le sont, et car pt t, a(t) est linéaire.
C’est pq on parle d’équa diff linéaire.
Notons D l’une de ces applications, Resoudre Epsilon comme Epsilonn revient a déterminer D-1({b}) ie les fonctions f tq D(f)=b Resoudre H comme Hn revient a déterminer le noyau de D
On a fixé un problème de Cauchy Epsilonn
Première conséquence de la linéarité
2
En particulier, l’ensemble Sh des solutions de H est un Kespace vectoriel, et celui de Epsilon, s’il n’est pas vide, est un sous espace affine de F(I,E), de direction Sh
Autrement dit, si on dispose d’une solution particulière fo de Epsilon, alors Sepsilon = fo + ker(D) = {fo + h, hdeSh}
La linéarité des ED étudiées justifient donc l’approche suivante pour la résolution de Epsilon :
1) Resoudre H
2) Trouver une solution particulière de Epsilon
3) Conclure en exprimant la somme des 2.
Proposition - Principe de superposition
Soit b1 et b2 des fonctions continues de I dans E. On suppose que f1 et f2 sont des solutions respectives de x’=a(t)x +b1(t) et x’=a(t)x+b2(t)
Pour tous scalaires @1 et @2 la fonction @1f1+@2f2 est solution de x’=a(t)(x)+@1b1(t)+@2b2(t)
Théorème de Cauchy linéaire, cas vectoriel
Le problème de Cauchy C:
{ x’ = a(t)(x)+b(t) et x(to)=xo } admet une unique solution sur I.
Remarque a propos du Théorème de Cauchy linéaire, cas vectoriel
Ce résultat est très important pour comprendre la structure de l’ensemble des solutions de Epsilon. Il permet par exemple de montrer qu’une solution non identiquement nulle d’une EDL vectorielle homogène d’ordre 1 ne s’annule jamais. Les résultats de ce genre, donnant des renseignements sur le comportement des solutions d’une ED, sans pour autant explicité lesdites solutions, sont dit qualitatifs. Cependant, bien que la demo soit en partie effective (on construit une solution pour l’existence), il est rare qu’elle permette d’expliciter une solution. Il existe des cas simples ou on peut calculer la suite de fonctions (fn) puis sa limite simple f, unique solution de C, mais c’est des cas marginaux.
Corolaire - Cas des EDL scalaires résolues d’ordre n
Le problème de Cauchy Cn: { f^(n)(t)+ an-1(t)f^(n-1)(t)+…+ao(t)f(t)=b(t) et pt kde[|0,n-1|], y^(k)(to)=yk }admet une unique solution sur I
Ns verrons que ce résultat peut tomber en défaut si l’EDL scalaire n’est pas résolue
Corolaire - Cas des équations homogènes vectorielles d’ordre 1
Pour to dans I, l’application Øto de Sh dans E qui a x associe x(to) est un isomorphisme de cet espace sur E.
EN particulier Sh est un sous espace vectoriel de F(I,E) de dim p.
Corolaire - Cas des équations scalaires résolues homogènes d’ordres n
Shn est un sous espace vectoriel de F(I,K) de dim n. Pour to dans I, l’application Øto de Shn dans K^n qui a y associe (y(to),..,,y^(n-1)(to)) est un isomorphisme de cet espace sur K^n
