Astuce 💎 Flashcards
Pour calculer A^n
On a un polynome annulateur P de degré 2, comment faire
On fait la division euclidienne de X^n par P avec le reste non pas aX+b, mais on ecrit
X^n=Q(X)P(X) + a(X-@1) + b(X-@2)
Avec @1 et @2 les racines de P
Deux matrices semblables dans Mn(C) le sont dans Mn(R)
Si il existe P inversible tq PA=BP on ecrit P=T+iS
Soit phi: t ds R qui a t associe det(T+tS)
Phi pas identiquement nulle car det(T+iS) diff de 0 donc il existe x dans R tq phi(x) diff de 0
Donc il existe Q=S+xT d’inversible d’ou QA=BQ
Determiner les couples tq 3d - 5c =1
Avec c et d dans Z
On a 3x2 -5x1 =1 Donc 3(d-2)=5(c-1)
Donc c=1+3k
d=2+5k
On a Lf(x)-(Lf)’(x)=A/x^1/2
on pose g(x)=e(-x)Lf(x)
Montrer que g(x)=pi/2- A integrale(0,x)e(-t)/t^1/2dt
Lf(x)=integrale(0,8) e(-t²x)/(1+t²) dt est dérivable
g est derivable et g’(x)=e(-x)[Lf(x)-(Lf)’(x)]=-Ae(-x)/x^1/2
x–) e-x/x^1/2 est continue sur R+ donc d’après le théorème fondamentale x–)intégrale(1,x)e(-t)/t^1/2dt en est une primitive sur R
deux intégrales d’une même fonction diffèrent d’une constante donc il existe c de R tq g(x)=c - A integrale (1,x)e(-t)/t^1/2 dt. Par ailleurs, g est continue en 0 (Lf l’est) et Lf(0)=pi/2 donc on peut passer a la limite ds l’expression d’où : c= pi/2 + A integrale (1,0)e(-t)/t^1/2dt donc finalement g(x) = pi/2 - A integrale (0,x) e(-t)/t^1/2
Montrer que f def par f(x)=(1+x+x^)^1/2 est développable en série entière au vois de 0 et déterminer le rayon de convergence
f(x)=[(1-x^3)/(1-x)]^1/2 = (1-x^3)^1/2(1-x)^-1/2 or x associe (1-x^3)^1/2 et x associe (1-x)^-1/2 admettent un DSE au vois de 0 sur ]-1;1[donc f également
Si f est dev en série entière de RC Rsup 1 alors f’ également puis f’² aussi or pt x de ]-R;R[, f’(x)=(2x+1)/[2(1+x+x²)]d’où (f’(x))²= (2x+1)²/(2(1+x+x²)) et le RC est 1 car “Une fonction rationnelle F n’admettant pas 0 pour pole est dev en série entière au vois de 0 et le RC de la série correspondante est égale au plus petit des modules des pôles de F)
Justifier que le changement de variable u=ln(t+(t^2+1)^1/2) lorsque t vat de 0 a 8 est licite
f’(t)=1/(t^2+1) sup stricte a 0. Et f admet pour limite 0 en 0 et +8 en +8 donc f realise un C1-diffeomorphisme de ]0;+8[ sur ]0,+8[
Comment montrer que inte(0,8) cos(t)^2dt diverge
On integre de 0 a npi avec n de N.
On a par linéarisation int(0,npi)=sin(2t)/4 + int(0,npi)dt/2 le crochet est nul et int(0,npi)dt/2 = npi/2 qui diverge
On a f de C1 et tq f(0)=0 et f’(0)=a
quelle est la limite en 0+ de g(t)=f(t)/t et de
h(t)=f(t)/t^1/2
On ecrit que f(t) = f(0) + f’(0)t + o(t) (ttendvers0)
ainsi
h(t) tend vers t^1/2 a ie vers 0
g(t) tend vers f(0)=a
Soit E l’ensemble des fonction f telles que f’² soit integrable sur R+*, montrer que c’est un ssev (d’un autre espace définit ds un devoir)
on veut mq si f'² et g'² sont integrable sur R+*, alors (af'+bg')² est integrable sur R+* on utilise |ab| inf (a²+b²)/2 0 inf (af'+2g')²= a²f'² + b²g'² + 2abf'g' inf a'²f'²+b²g'² + |ab|f'² + |ab|g'² qui est integrable donc idem cela implique que (af'+bg')² également
Comment montré qu’une suite périodique est bornée.
Soit p sa plus petite période, pt n de N, |un| inf Max {U0,…,Up-1}
L’espace des suites périodiques est-il bornée ?
Il n’est pas de dim finie car la famille (Eq) qdeP avec P l’ensemble infini des nombres premiers positifs tq Eq est q-periodique avec Eq(0)=1 et Eq(n)=0 pt n de [|1,q-1|] appartient a l’ens des suites périodiques et est libre. En effet, si som(qdeP) AqEq = 0 alors pt n som(qdeP)AqEq(n) = 0 en particulier pour n=q0, Aq0=0 donc c’est ensemble possède une infinité de vecteurs livre donc elle n’est pas de dimension finie.
Soit U une suite périodique complexe, que dire de la nature de la serie de TG U
Soit p la plus petite periode de U.
Soit r de [|0,p-1|], Unp+r=ur tend vers ur qd n tend vers 8 donc si il existe r de [|0,p-1|] tq ur diff 0, alors un ne tend pas vers 0et la serie diverge grossièrement.
En revanche, si pt r de [|0,p-1|], ur=0, alors par périodicité, un=0 pt n donc som un converge.
Som U converge ssi U=0
On a une matrice J de taille 3 et on veut calculer J^k.
On sait que J²=T(J) et J^3=I3
On fait la division euclidienne de k par 3 donc k=3q + r avec r={0,1,2}
donc J^k=J^r
lorsqu’on a J, de vp 1,j,j². On a V1 V2 et V3 de E1(J), Ej(J) et Ej²(J). Quel est la relation entre J, P et D
J = PDP-1 avec P=V1V2V3 et D=diag(1,j,j²)
a^3+b^3+c^3-3abc =
(a+b+c)(a+bj+cj²)(a+bj²+cj)
