Ensembles Finis, ensembles DenombrableS. Familles Sommables Flashcards
Definition - equipotence
On dit que A est equipotent a B ou que A est en bijection avec B si il existe une bijection de A sur B
L’equipotence, precisions
Elle def une relation d’equivalence (sur un ensemble dont les elts sont eux memes des ensembles)
Un ensemble A est dit fini si il est equipotent a [|1,n|], ds ce cas n=card A. On note aussi #A ou |A|
Introduction
La notion de famille sommable est introduite en vu de l’etude de proba. Nous avons deja donné un sens a une somme d’une infinité de nombres reels, et meme d’une infinité de vecteurs.
Cpdt, cette somme est assujetti a un ordre des termes ds la sommation: ces sommes etaient indéxés par N ou N*.
L’ordre n’est pas anodin, en reordonnant les termes de certaines sommes, on peut changer la nature de la serie.
Ns aimerions ds certains cadres que la valeur d’une somme infinie ne depende pas de la facon dont ns avons numeroté les termes. (En proba)
On est donc conduit aux familles sommables.
I designera un un ensemble denombrable (ie en bijection avec N)
Si A et B sont de card respectif p et q alors
1) tte sous partie de A est de card fini compris entre 1 et p.
2) AuB et AnB sont fini et card (AuB)=Card A +card B - card(AnB)
Si A et B disjoints card (AnB)=0
3)AxB de card pq
4) B^A de card q^p
5) l’ens des parties de A est de card 2^p
6) pt k entre 0 et p l’ens des partie de A ayant k elements est de card (k parmi p)
Propriétés coefs binomiaux
2^p = som(0,p)(i parmi p)
(k parmi p)=(p-k parmi p)
(k parmi p) + (k+1 parmi p) =(k+1 parmi p+1)
p(p parmi n) = n(p-1 parmi n-1)
Theoreme de Cantor
Pour tt ensemble X, X et P(X) ne sont pas equipotents
Les cardinaux comme classe d’equivalence
La notion de cardinal (eventuellement infini) revient a celle de classe d’equivalence pour la relation d’equipotence, ds un ens ♎️ fixé. Etant donné A et B dans ♎️. On note Card(A) inf card (B) s’il existe une injection de A dans B. On def ainsi une relation d’ordre sur l’ens des classes d’equivalence de ♎️ pour l’equipotence.
Meme si ns sommes tentés d’ecrire Card(A)= infini si A est infini.Ns allons voir
que les ensembles infini n’appartiennent pas tous a la meme classe d’equivalence
(i.e. ne sont pas necessairement equipotents), et donc qu’il y a plusieurs cardinaux infinis. Cantor mq si A est un element de Omega , et si P(A) appartient aussi a Omega ,alors Card(A)
Definition - Ensemble denombrable
Un ensemble est dit denombrable s’il est en bijection avec N.
Un ensemble est dit au plus denombrable s’il est fini ou denombrable.
La denombrabilite correspond au plus petit cardinal infni, parce que N s’injecte dans tout ensemble infini.
Definition - Famille finie, famille denombrable
Soit (ui)ideI une famille d’elements d’un ensemble X. Le cardinal de cette famille est le cardinal de son ensemble d’indexation I. On dit que cette famille est finie (resp denombrable) si elle est de cardinal fini (resp denombrable). Si (Xi)ideI est une famille finie (resp. denombrable) d’ensembles, alors la reunion
des Xi est dite finie (resp. denombrable).
Une union d’une famille (Xi)ideI est dite disjointe si pour tous i et j distincts dans I, Xi et Xj sont disjoints.
Il y a ambiguité sur l’union finie: on dit qu’une union est finie lorsque l’ensemble d’indexation est fini mais l’ensemble union peut etre infini
Caractérisation des ensembles au plus dénombrables
Un ensemble est fini ou denombrable si et seulement s’il est en bijection avec une
partie de N.
Plus generalement, un ensemble X est fini ou denombrable s’il est en bijection avec une partie d’un ensemble denombrable fixé Omega
, i.e. il existe une injection de X dans Omega
.
Exemple d’ensemble dénombrables
Z, N, N*, N², Q sont dénombrables mais pas {0,1}^N qui s’identifie a P(N)
Ensemble infini d’entiers naturels et extractrices
Les parties infinies de N sont denombrables. Ainsi, se donner une extractrice revient
a se donner une partie infnie de N (correspondant a l’image de l’extractrice).
Opération sur les ensembles dénombrables
(1) Un produit cartesien fini d’ensembles denombrables est denombrable.
(2) Une reunion finie ou dénombrable d’ensembles finis ou denombrables est finie ou denombrable
En particulier, si Oméga est denombrable, alors, pour tout k de N, Oméga^k est denombrable
Non dénombrabilité du corps des réels
R n’est pas dénombrable
Un intervalle de R est
Un intervalle de R est soit vide, soit un singleton, soit equipotent a R.
Définition - Famille sommable de réels positifs
Une famille (ui)ideI de reels positifs est X dite sommable si l’ensemble des sommes som(ideF) ui , ou F decrit l’ensemble des partiesfinies de I, est majore. Dans ce cas, la somme de la famille (ui)ideI est la borne superieure de l’ensemble precedent. Si la
famille (ui)ideI n’est pas sommable, sa somme est +8. Dans tous les cas, la somme est notée som(ideI) ui
Pour harmoniser les notions, on conviendra qu’une famille (ui)ideI de reels positifs indexée par un ensemble
fini I est sommable, et que sa somme vaut som(ideI) ui (nulle dans le cas ou I est vide).
Famille sommable de réels positifs
Soit (ui)ideI une famille sommable de reels positifs et (vi)ideI une famille de reels positifs
(1) Si vi inf ui pour tout i de I, alors (vi)ideI est sommable, et som(ideI) vi inf som(ideI) ui
(2) Pour tout a de R+, (aui) ideI est sommable et som(ideI) aui = asom(ideI)ui
(3) si (vi)ideI est également sommable, alors (vi+ui)ideI est sommable et som(ideI) (ui + vi) = som(ideI) ui + som(ideI)vi
Théorème de sommation par paquet
Si (In)ndeN est une partition a de I et (ui)ideI une famille de reels positifs, alors la famille (ui)ideI est sommable si et seulement si les deux conditions suivantes sont
satisfaites :
(1) Pour tout entier n la famille (ui)ideIn est sommable.
(2) La série som( som(ideIn) ui) converge
dans ce cas : som(ideI) ui = som(o,8) ( som(ideIn) ui)
Introduction famille sommable de nombre complexes
On rappelle, etant donne un reel alpha, que sa partie positive alpha+ vaut max(alpha; 0), et que sa partie negative alpha- vaut max(-alpha; 0) (et que cette partie negative est donc positive), de sorte que
alpha- = max(-alpha; 0) = -min(alpha; 0);
alpha = alpha+ - alpha- et |alpha|=alpha+ alpha-
Famille sommable de nombre réels
La famille (ui)ideI de nombres réels est sommable si la famille (|ui|)ideI l’est. Dans ce cas la somme de (ui)ideI est noté som(ideI))ui et vaut : som(ideI)ui=som(ideI)ui+ + som(ideI)ui-
Définition - Famille sommable de nombres complexes
La famille (ui)ideI de nombres complexes est sommable si la famille (|ui|) ideI l'est. Ds ce cas, la somme de (ui)ideI est notée som(ideI) et vaut : som(ideI)ui = som(idei)Re(ui) + som(ideI)Im(ui)
Lien entre la sommabilité et la convergence absolue
Lorsque I=N, la famille (ui)ideI est sommable ssi la série som ui est absolument convergente. En cas de sommabilité, on a de plus, som(ideI)ui=som(o,8)ui
Permutation de l’ensemble des indice dans une famille sommable
SOit (ui)ideI une famille de nombres complexes et sigma: I dans I une permutation de I. La famille (ui)ideI est sommable ssi la famille (usigma(i))ideI est sommable et les sommes sont égales le cas échéant.
Linéarité de la somme pour les familles sommables
Notons Oméga l’ensemble des familles sommables de nombres complexes indéxées par I. Oméga est un C-ev et
S: Oméga dans C qui a (ui)ideI associe som(ideI)ui est une forme linéaire.
Théoreme de sommation par paquets, cas complexe
Si(In)IdeI est une partition de I, et (ui)ideI une famille de nombres complexes, alors la famille (ui)ideI est sommable ssi les deux conditions suivantes sont satisfaites:
(1) pt entier n la famille (ui) ideIn est sommable
(2) La serie som( som(ideIn)|ui| ) converge
Ds ce cas : som(ideI)ui=som(0,8)(som(ideIn)ui)
Remarque a propos du th de sommation par paquets, cas complexe
Il faut faire attention a la caracterisation de sommabilité par paquets, il se peut que ptn, la famille (ui)ideIn soit sommable, et que la serie som(som(ideIn)ui) converge absolument sans que la famille (ui)ideI soit sommable ! L’importance que (In)ndeN soit une partition de I est nécéssaire
Sommabilité d’une série double de réels positifs
La famille (am,n)(m,n)deN² de réels positifs est sommable ssi pour tout n, la serie som(am,n) converge et la serie som(som(m0,8)am,n)) converge. Si tel est le cas som(n0,8)som(m0,8)am,n=som(m0,8)som(n0,8)am,n
Sommabilité d’une série double de nombre complexes
La famille (am,n)deN² de nombres complexes est sommable ssi pour tout n, la serie som(m) am,n converge absolument et a serie som(n)(som(m0,8)|am,n|) converge. Si tel est le cas alors som(n,08)som(m0,8)am,n=som(m,0,8)som(n0,8)am,n En pratique on verifie l'hypothese de sommabilité en appliquant l'énoncé précédent a la famille (|am,n|)(m,n)deN²
Définition - Produit de Cauchy
Soit soman et sombn deux series d’elements d’une K-algebre normée de dim finie. On appelle produit de Cauchy de ces série la serie somcn donc le tg est def par cn=som(0,n)ak bn-k pt n de N
(cn=som(0,n)an-kbk ou cn=som(i+j=n)aibj)
Théoreme - Produit de Cauchy de séries absolument convergente
Si soman et sombn sont deux series absolument convergentes, alors leut produit de Cauchy somcn est absolument convergent et som(0,8)cn=som(0,8)an som(0,8)bn
en fait, les notion d’absolue convergence et de prod de Cauchy ont un sens ds le cadre general des K-algèbres normées de dim finie.
On montre que pour des matrices A et B commutant, exp(A+B)=exp(A)exp(B)
Quel bijection entre N et N²
entre N et Z
entre Q et un ensemble dénombrable
de N² a N : phi qui a (p,q) associe (2p+1)2^q
De n a Z : phi qui a n associe (n-2 si n est pair, -(n+1)/2 si n impair
De Q dans ZxN* : qui a r associe (p,q) ou (p,q) est le representant canonique de r
Pourquoi {0,1}^N n’est pas denombrable ?
car phi de P(N) dans {0,1}^N qui a A associe f de N dans {0,1} qui a x associe 1 si x est ds A, 0 sinon
est bijective
Théorème - Produit de Cauchy et séries absolument convergentes, démonstration dans le cadre des K-algèbres normées de dim finie
Soit E une K-algèbre normée, soman et sombn des series absolument convergente d’elts de E.
pt n de N, on pose cn=som(0,n)akbn-k. On va mq som(0,8)cn=som(0,8)ansom(0,8)bn
pt n, on pose alphan=||an|| et betan=||bn||et gamman=som(0,n)alphakbetan-k
On sait déjà que somgamman converge d’pres le cas scalaire.
Posons pt n: Cn=[|0,n|] et Tn={(i+j)de N tq i+j=n}
TnCCn et ||som(0,n)aisom(0,n)bj - som(i,j,deTn)aibj|| = ||som(i,jdeCn)aibj-som(i,jdeTn)aibj||=||som(i,jdeCn\Tn)aibj|| car TnCCn et inf som(i,jdeCn\Tn)||ai||||bj||= som(i,j)deCn||ai||||bj|| - som(i,jdeTn)||ai||||b|| = som(0,n)alphaisom(0,n)betaj - som(0,n)alphai ce qui tend vers 0 d’apres le cas scalaire
Combien y-a t’il de mots de 6 lettres avec exactement 2 A et 3 B? On note Omega cet ensemble
Notons A={Alphabet}
Omega la reunion disjointe des Omégax ou x décrit A{A,B} et Omégax={Mots de 6 lettres, avec 2A, 3B, 1x}
Tous les Omégax ont le meme cardinal donc card Oméga = Card A{A,B} Card Omégac = 27 CardOmégac
Omégac est la réunion disjointe des Oméga i ou idécrit 1,6 et Omégai = [Mots de 6 lettres, 2A, 3B, 1c en position i}. TOus les Omégai ont le meme cardinal et card Omégac = 6 card Oméga1
Oméga 1 est équipotent a l’ensemble des mots de 5 lettres avec 2A et 3B donc card Oméga1 = (2parmi5)
d’où card Oméga = 6 * (2 parmi 5) * 24
