Ensembles Finis, ensembles DenombrableS. Familles Sommables

Question 1

Definition - equipotence

Answer 1

On dit que A est equipotent a B ou que A est en bijection avec B si il existe une bijection de A sur B

Question 2

L’equipotence, precisions

Answer 2

Elle def une relation d’equivalence (sur un ensemble dont les elts sont eux memes des ensembles)
Un ensemble A est dit fini si il est equipotent a [|1,n|], ds ce cas n=card A. On note aussi #A ou |A|

Question 3

Introduction

Answer 3

La notion de famille sommable est introduite en vu de l’etude de proba. Nous avons deja donné un sens a une somme d’une infinité de nombres reels, et meme d’une infinité de vecteurs.
Cpdt, cette somme est assujetti a un ordre des termes ds la sommation: ces sommes etaient indéxés par N ou N*.
L’ordre n’est pas anodin, en reordonnant les termes de certaines sommes, on peut changer la nature de la serie.
Ns aimerions ds certains cadres que la valeur d’une somme infinie ne depende pas de la facon dont ns avons numeroté les termes. (En proba)
On est donc conduit aux familles sommables.
I designera un un ensemble denombrable (ie en bijection avec N)

Question 4

Si A et B sont de card respectif p et q alors

Answer 4

1) tte sous partie de A est de card fini compris entre 1 et p.
2) AuB et AnB sont fini et card (AuB)=Card A +card B - card(AnB)
Si A et B disjoints card (AnB)=0
3)AxB de card pq
4) B^A de card q^p
5) l’ens des parties de A est de card 2^p
6) pt k entre 0 et p l’ens des partie de A ayant k elements est de card (k parmi p)

Question 5

Propriétés coefs binomiaux

Answer 5

2^p = som(0,p)(i parmi p)
(k parmi p)=(p-k parmi p)
(k parmi p) + (k+1 parmi p) =(k+1 parmi p+1)
p(p parmi n) = n(p-1 parmi n-1)

Question 6

Theoreme de Cantor

Answer 6

Pour tt ensemble X, X et P(X) ne sont pas equipotents

Question 7

Les cardinaux comme classe d’equivalence

Answer 7

La notion de cardinal (eventuellement infini) revient a celle de classe d’equivalence pour la relation d’equipotence, ds un ens ♎️ fixé. Etant donné A et B dans ♎️. On note Card(A) inf card (B) s’il existe une injection de A dans B. On def ainsi une relation d’ordre sur l’ens des classes d’equivalence de ♎️ pour l’equipotence.
Meme si ns sommes tentés d’ecrire Card(A)= infini si A est infini.Ns allons voir
que les ensembles infini n’appartiennent pas tous a la meme classe d’equivalence
(i.e. ne sont pas necessairement equipotents), et donc qu’il y a plusieurs cardinaux infinis. Cantor mq si A est un element de Omega , et si P(A) appartient aussi a Omega ,alors Card(A)

Question 8

Definition - Ensemble denombrable

Answer 8

Un ensemble est dit denombrable s’il est en bijection avec N.
Un ensemble est dit au plus denombrable s’il est fini ou denombrable.
La denombrabilite correspond au plus petit cardinal infni, parce que N s’injecte dans tout ensemble infini.

Question 9

Definition - Famille finie, famille denombrable

Answer 9

Soit (ui)ideI une famille d’elements d’un ensemble X. Le cardinal de cette famille est le cardinal de son ensemble d’indexation I. On dit que cette famille est finie (resp denombrable) si elle est de cardinal fini (resp denombrable). Si (Xi)ideI est une famille finie (resp. denombrable) d’ensembles, alors la reunion
des Xi est dite finie (resp. denombrable).
Une union d’une famille (Xi)ideI est dite disjointe si pour tous i et j distincts dans I, Xi et Xj sont disjoints.
Il y a ambiguité sur l’union finie: on dit qu’une union est finie lorsque l’ensemble d’indexation est fini mais l’ensemble union peut etre infini

Question 10

Caractérisation des ensembles au plus dénombrables

Answer 10

Un ensemble est fini ou denombrable si et seulement s’il est en bijection avec une
partie de N.
Plus generalement, un ensemble X est fini ou denombrable s’il est en bijection avec une partie d’un ensemble denombrable fixé Omega
, i.e. il existe une injection de X dans Omega
.

Question 11

Exemple d’ensemble dénombrables

Answer 11

Z, N, N*, N², Q sont dénombrables mais pas {0,1}^N qui s’identifie a P(N)

Question 12

Ensemble infini d’entiers naturels et extractrices

Answer 12

Les parties infinies de N sont denombrables. Ainsi, se donner une extractrice revient
a se donner une partie infnie de N (correspondant a l’image de l’extractrice).

Question 13

Opération sur les ensembles dénombrables

Answer 13

(1) Un produit cartesien fini d’ensembles denombrables est denombrable.
(2) Une reunion finie ou dénombrable d’ensembles finis ou denombrables est finie ou denombrable
En particulier, si Oméga est denombrable, alors, pour tout k de N, Oméga^k est denombrable

Question 14

Non dénombrabilité du corps des réels

Answer 14

R n’est pas dénombrable

Question 15

Un intervalle de R est

Answer 15

Un intervalle de R est soit vide, soit un singleton, soit equipotent a R.

Question 16

Définition - Famille sommable de réels positifs

Answer 16

Une famille (ui)ideI de reels positifs est X dite sommable si l’ensemble des sommes som(ideF) ui , ou F decrit l’ensemble des partiesfinies de I, est majore. Dans ce cas, la somme de la famille (ui)ideI est la borne superieure de l’ensemble precedent. Si la
famille (ui)ideI n’est pas sommable, sa somme est +8. Dans tous les cas, la somme est notée som(ideI) ui
Pour harmoniser les notions, on conviendra qu’une famille (ui)ideI de reels positifs indexée par un ensemble
fini I est sommable, et que sa somme vaut som(ideI) ui (nulle dans le cas ou I est vide).

Question 17

Famille sommable de réels positifs

Answer 17

Soit (ui)ideI une famille sommable de reels positifs et (vi)ideI une famille de reels positifs

(1) Si vi inf ui pour tout i de I, alors (vi)ideI est sommable, et som(ideI) vi inf som(ideI) ui
(2) Pour tout a de R+, (aui) ideI est sommable et som(ideI) aui = asom(ideI)ui
(3) si (vi)ideI est également sommable, alors (vi+ui)ideI est sommable et som(ideI) (ui + vi) = som(ideI) ui + som(ideI)vi

Question 18

Théorème de sommation par paquet

Answer 18

Si (In)ndeN est une partition a de I et (ui)ideI une famille de reels positifs, alors la famille (ui)ideI est sommable si et seulement si les deux conditions suivantes sont
satisfaites :
(1) Pour tout entier n la famille (ui)ideIn est sommable.
(2) La série som( som(ideIn) ui) converge
dans ce cas : som(ideI) ui = som(o,8) ( som(ideIn) ui)

Question 19

Introduction famille sommable de nombre complexes

Answer 19

On rappelle, etant donne un reel alpha, que sa partie positive alpha+ vaut max(alpha; 0), et que sa partie negative alpha- vaut max(-alpha; 0) (et que cette partie negative est donc positive), de sorte que
alpha- = max(-alpha; 0) = -min(alpha; 0);
alpha = alpha+ - alpha- et |alpha|=alpha+ alpha-

Question 20

Famille sommable de nombre réels

Answer 20

La famille (ui)ideI de nombres réels est sommable si la famille (|ui|)ideI l’est. Dans ce cas la somme de (ui)ideI est noté som(ideI))ui et vaut : som(ideI)ui=som(ideI)ui+ + som(ideI)ui-

Question 21

Définition - Famille sommable de nombres complexes

Answer 21

La famille (ui)ideI de nombres complexes est sommable si la famille (|ui|) ideI l'est. Ds ce cas, la somme de (ui)ideI est notée som(ideI) et vaut :
som(ideI)ui = som(idei)Re(ui) + som(ideI)Im(ui)

Question 22

Lien entre la sommabilité et la convergence absolue

Answer 22

Lorsque I=N, la famille (ui)ideI est sommable ssi la série som ui est absolument convergente. En cas de sommabilité, on a de plus, som(ideI)ui=som(o,8)ui

Question 23

Permutation de l’ensemble des indice dans une famille sommable

Answer 23

SOit (ui)ideI une famille de nombres complexes et sigma: I dans I une permutation de I. La famille (ui)ideI est sommable ssi la famille (usigma(i))ideI est sommable et les sommes sont égales le cas échéant.

Question 24

Linéarité de la somme pour les familles sommables

Answer 24

Notons Oméga l’ensemble des familles sommables de nombres complexes indéxées par I. Oméga est un C-ev et
S: Oméga dans C qui a (ui)ideI associe som(ideI)ui est une forme linéaire.

Question 25

Théoreme de sommation par paquets, cas complexe

Answer 25

Si(In)IdeI est une partition de I, et (ui)ideI une famille de nombres complexes, alors la famille (ui)ideI est sommable ssi les deux conditions suivantes sont satisfaites:
(1) pt entier n la famille (ui) ideIn est sommable
(2) La serie som( som(ideIn)|ui| ) converge
Ds ce cas : som(ideI)ui=som(0,8)(som(ideIn)ui)

Question 26

Remarque a propos du th de sommation par paquets, cas complexe

Answer 26

Il faut faire attention a la caracterisation de sommabilité par paquets, il se peut que ptn, la famille (ui)ideIn soit sommable, et que la serie som(som(ideIn)ui) converge absolument sans que la famille (ui)ideI soit sommable ! L’importance que (In)ndeN soit une partition de I est nécéssaire

Question 27

Sommabilité d’une série double de réels positifs

Answer 27

La famille (am,n)(m,n)deN² de réels positifs est sommable ssi pour tout n, la serie som(am,n) converge et la serie som(som(m0,8)am,n)) converge. Si tel est le cas som(n0,8)som(m0,8)am,n=som(m0,8)som(n0,8)am,n

Question 28

Sommabilité d’une série double de nombre complexes

Answer 28

La famille (am,n)deN² de nombres complexes est sommable ssi pour tout n, la serie som(m) am,n converge absolument et a serie som(n)(som(m0,8)|am,n|) converge. 
Si tel est le cas alors som(n,08)som(m0,8)am,n=som(m,0,8)som(n0,8)am,n 
En pratique on verifie l'hypothese de sommabilité en appliquant l'énoncé précédent a la famille (|am,n|)(m,n)deN²

Question 29

Définition - Produit de Cauchy

Answer 29

Soit soman et sombn deux series d’elements d’une K-algebre normée de dim finie. On appelle produit de Cauchy de ces série la serie somcn donc le tg est def par cn=som(0,n)ak bn-k pt n de N
(cn=som(0,n)an-kbk ou cn=som(i+j=n)aibj)

Question 30

Théoreme - Produit de Cauchy de séries absolument convergente

Answer 30

Si soman et sombn sont deux series absolument convergentes, alors leut produit de Cauchy somcn est absolument convergent et som(0,8)cn=som(0,8)an som(0,8)bn

en fait, les notion d’absolue convergence et de prod de Cauchy ont un sens ds le cadre general des K-algèbres normées de dim finie.
On montre que pour des matrices A et B commutant, exp(A+B)=exp(A)exp(B)

Question 31

Quel bijection entre N et N²

entre N et Z

entre Q et un ensemble dénombrable

Answer 31

de N² a N : phi qui a (p,q) associe (2p+1)2^q

De n a Z : phi qui a n associe (n-2 si n est pair, -(n+1)/2 si n impair

De Q dans ZxN* : qui a r associe (p,q) ou (p,q) est le representant canonique de r

Question 32

Pourquoi {0,1}^N n’est pas denombrable ?

Answer 32

car phi de P(N) dans {0,1}^N qui a A associe f de N dans {0,1} qui a x associe 1 si x est ds A, 0 sinon
est bijective

Question 33

Théorème - Produit de Cauchy et séries absolument convergentes, démonstration dans le cadre des K-algèbres normées de dim finie

Answer 33

Soit E une K-algèbre normée, soman et sombn des series absolument convergente d’elts de E.
pt n de N, on pose cn=som(0,n)akbn-k. On va mq som(0,8)cn=som(0,8)ansom(0,8)bn
pt n, on pose alphan=||an|| et betan=||bn||et gamman=som(0,n)alphakbetan-k
On sait déjà que somgamman converge d’pres le cas scalaire.
Posons pt n: Cn=[|0,n|] et Tn={(i+j)de N tq i+j=n}
TnCCn et ||som(0,n)aisom(0,n)bj - som(i,j,deTn)aibj|| = ||som(i,jdeCn)aibj-som(i,jdeTn)aibj||=||som(i,jdeCn\Tn)aibj|| car TnCCn et inf som(i,jdeCn\Tn)||ai||||bj||= som(i,j)deCn||ai||||bj|| - som(i,jdeTn)||ai||||b|| = som(0,n)alphaisom(0,n)betaj - som(0,n)alphai ce qui tend vers 0 d’apres le cas scalaire

Question 34

Combien y-a t’il de mots de 6 lettres avec exactement 2 A et 3 B? On note Omega cet ensemble

Answer 34

Notons A={Alphabet}
Omega la reunion disjointe des Omégax ou x décrit A{A,B} et Omégax={Mots de 6 lettres, avec 2A, 3B, 1x}
Tous les Omégax ont le meme cardinal donc card Oméga = Card A{A,B} Card Omégac = 27 CardOmégac
Omégac est la réunion disjointe des Oméga i ou idécrit 1,6 et Omégai = [Mots de 6 lettres, 2A, 3B, 1c en position i}. TOus les Omégai ont le meme cardinal et card Omégac = 6 card Oméga1
Oméga 1 est équipotent a l’ensemble des mots de 5 lettres avec 2A et 3B donc card Oméga1 = (2parmi5)
d’où card Oméga = 6 * (2 parmi 5) * 24