Fonctions Vectorielles Flashcards
Definition-fonction vectorielle
On appelle foctio vectorielle une fonction definie sur une partie A de R et a valeurs dans un EVN E
Que dire de la structure de F(I,E) = E^I
Grace a la structure d’EVN de E on peut munir E^I d’une loi d’addition et de multiplication externe ce qui lui confere une structure de KeV et si E est une K-algebre, on en deduis une meme structure pour E^I
Definition - Application norme d’une fonction vectorielle
On appelle application norme de f et on note ||f|| la fonction
||f|| : I dans R+
t associe ||f(t)||
En fait c’est ||.||of et non la norme d’un element de E^I
Definition fonction coordonnées associés a une fonction vectorielle dans une base
On appelle p-uplet des fonctions coordonnees de f dans une base B l’unique p uplet (f1,…,fp) de fonction de I dans K tq pt t de I
f(t) = som(1,p) fi(t)ei fi la ieme coordonné de f dans la base B
fi= e*i o f en effet fi depend de B
Exemple fonction coordonnées
Si E est le R-ev C et si B=(1,i) alors les foncions coordonnees de f sont Re(f) et Im(f)
Continuité d’une fonction vectorielle :
2 points
On sais que f est continue (ponctuellement ou globalement) ssi ses fonctions coordonnees le sont (base quelconque)
On sait que la continuité (globale ou ponctuel) de f ne dependra pas de la norme choisie car elles sont equivalentes
Relations de comparaisons pour les fonctions vectorielles
f: I dans E et g: I dans F
On notera f(t)=o(to) g(t) et on dira f negligeable devant g en to si ||f(t)||=o(to)||g(t)|| ie il existe Epsilon de I dans R de lim 0 en to tq ||f||=Epsilon||g|| sur voisinage relatif de to ds I
- f(t)=O(to)g si Epsilon = Beta de I ds R+ borné au voisinage de o
- f~g si f-g =o(to)g (E=F)
Definition - Fonction de taux d’accroissement d’une fonction en un point
On appelle fonction taux d’acroissement de f en to et on note Tto(f) l’application de I\to dans E
Tto(f) : t associe (f(t)-f(to))/(t-to)
Definition-derivabilité en un point d’une foncion vectorielle
On dit que f est derivable en to si l’app Tto(f) admet une limite finie l en to. Si c’est le cas l=f’(to) derivée de f en to
Derivabilité et developpement limité s l’ordre 1
f derivable en to ssi elle admet un DL1 en to ie il existe gamma €E tq f(t) =to=f(to) +(t-to)gamma + o(t-to) si tel est le cas gamma = f’(to)
Derivabilité et approximation affine
Ainsi, f est derivable en to ssi elle est egale a une fonction affine (somme fonction constante et fonction lineaire) a un negligeable devant t- (t-to) en to pres
Lien entre derivabilité et continuité d’une fonction vectorielle
Si f derivable en to alors f continue en to
Traduction de la derivabilité a l’aide des coordonnees
La fonction f est derivable en t ssi pt i€[1,p] les fonctions coordonnees fi sont derivables en t et on a alors
f’(t)=som(1,p)f’(t)ei
Dans ce chapitre
K designe R ou C I et J designent des interieurs non vide E,F,G,H des evn sur K de dim finie. B une base de E f et g des applications de I dans E
Derivabilité a droite et a gauche d’une foncion en un point
On dit qe f est derivable a g si Tto admet une limite finie lg a gauche en to. On appelle alors derivee a gauche de f en to et on note f’g(to) = lg
On def la meme a droite
Equivalences
Lorsque to appartient a °I (derivabilite)
f est derivable en to ssi f derivable a gauche et a droite en to et f’g(to) = f’d(to)
(f derivable a g et a d en to n’est pas condition suffisante pir que f soit deriveble en to, en revanche c’est une cond suffisante pour la continuité en to
Combinaisons lineaires de fonctions derivables
L’ensemble ♎️ des fonctions de I dans E derivable en a est un Kev et phi: ♎️ dans E qui a f associe f’(a) est lineaire
Derivation et composition par une application lineaire
Si f est derivable en a et si L € L(E,F) alors Lof est derivable en a et (Lof)’(a)=L(f’(a))
Derivaion et composition avec une application bilineaire
Si f:I dans E et g:I dans F sont derivables en a et si B: ExF dans G est bilineaire alors B(f,g) est derivable en a et
(B(f,g))’(a)=B(f(a),g’(a)) + B(f’(a),g(a))
Exemple : operation sur les fonctions derivables
On suppose f et g derivables en a
- Si E une K-algebre. Et B(u,v) associe uv on a (fg)’(a)=f’(a)g(a)+f(a)g’(a)
- si (E,(.|.)) est espace prehilbertien reel alors (f|g) derivable en a et (f|g)’(a)=(f’(a)|g(a))+(f(a)|g’(a))
Exemple - Derivée de fonctions a valeurs matricielles
Si A et B des fonctions de I dans Mn(K) derivables en a alors AB derivable en a et (AB)’(a)= A’(a)B(a) + A(a)B’(a)
Composée d’applications derivables
Soit phi: J dans I une fonction derivable en b € J. On suppose f derivable en a=def=phi(b). La fonction fophi est derivable et (fophi)’(b)=f’(phi(b))phi’(b)=f’(b)f’(a)
Definition-Derivabilité globale
On dit que f est derivable sur I si elle est derivable en chaque points de I. On peut alors definit l’application derivée de f de I dans E notee f’.
On note D(I,E) l’ensemble des applications derivables de I dans E
Graces aux propriétés de la derivabilité ponctuelle on étends naturellement quelques resultats à la continuité globale.
si f derivable sur I alors f continue sur I
- l’aplication de D(I,E) dans E^I qui a f renvoit f’ est lineaire et si E est une K-algebre alors D(I,E) est ss algebre de E^I et pt (f,g) € D(I,E) :
(fg) ‘= f’g + fg’
